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1. 若关于 y 的方程$|a|y+a=4+4y$无解,求 a的值.
答案
(1) $＜$；(2) $＞$
解析
(1) 对两数同时立方比较：计算得$2.3^3=2.3×2.3×2.3=12.167$，因为$10＜12.167$，所以$\sqrt[3]{10}＜2.3$；
(2) 作差通分比较：$\frac{4-\sqrt{5}}{2}-\frac{3}{8}=\frac{16-4\sqrt{5}-3}{8}=\frac{13-4\sqrt{5}}{8}$，估算得$\sqrt{5}\approx2.236$，$4\sqrt{5}\approx8.944$，$13-8.944＞0$，即差为正，所以$\frac{4-\sqrt{5}}{2}＞\frac{3}{8}$。
(2) 作差通分比较：$\frac{4-\sqrt{5}}{2}-\frac{3}{8}=\frac{16-4\sqrt{5}-3}{8}=\frac{13-4\sqrt{5}}{8}$，估算得$\sqrt{5}\approx2.236$，$4\sqrt{5}\approx8.944$，$13-8.944＞0$，即差为正，所以$\frac{4-\sqrt{5}}{2}＞\frac{3}{8}$。
2. 若关于$x$的一元一次方程$\frac{kx - 1}{3} - a = \frac{x - 2}{6} - \frac{3}{2}$的解是$x=m$，其中$a,m,k$为常数.是否存在$m$的值使得关于$y$的方程$m(k - 3)y = 2 + (3a - m)y$无解？若存在，请求出$m$的值；若不存在，请说明理由.
答案
2. 存在.关于 y 的方程整理得$(mk-2m-3a)y=2$,因为该方程无解,所以 $mk-2m-3a=0$,即 $mk=2m+3a$. 把 $x=m$ 代入$\frac{kx-1}{3}-a=\frac{x-2}{6}-\frac{3}{2}$得$\frac{km-1}{3}-a=\frac{m-2}{6}-\frac{3}{2}$,整理方程得$2km=m+6a-9$,把 $mk=2m+3a$ 代入得 $2(2m+3a)=m+6a-9$,解得 $m=-3$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：① 先回忆一元一次方程无解的条件：对于形如$Ay=B$的一元一次方程，当$A=0$且$B≠0$时，方程无解；② 先整理关于$y$的方程，根据无解的条件得到$m,k,a$的关系式；③ 再把$x=m$代入已知的一元一次方程，得到$m,k,a$的另一个关系式，通过代换消去$k$和$a$，即可求出$m$的值，判断是否存在。
【解析】
1. 整理关于$y$的方程，推导无解的条件
原方程为 $m(k - 3)y = 2 + (3a - m)y$
移项得：$m(k - 3)y - (3a - m)y = 2$
合并同类项得：$(mk - 2m - 3a)y = 2$
若该方程无解，需满足$y$的系数为0且常数项不为0，由于常数项$2≠0$，因此只需：
$mk - 2m - 3a = 0$，整理得 $mk = 2m + 3a$ ---①
2. 结合$x=m$是第一个方程的解，建立等量关系
把$x=m$代入方程$\frac{kx - 1}{3} - a = \frac{x - 2}{6} - \frac{3}{2}$，得：
$\frac{km - 1}{3} - a = \frac{m - 2}{6} - \frac{3}{2}$
两边同时乘6消去分母：
$2(km - 1) - 6a = (m - 2) - 9$
展开整理得：
$2km = m + 6a - 9$ ---②
3. 整体代换求解$m$
把①式$mk = 2m + 3a$代入②式，得：
$2(2m + 3a) = m + 6a - 9$
展开左边后消去$6a$，得：
$4m = m - 9$
解得$m=-3$
因此存在满足条件的$m$。
【答案】
存在，$m$的值为$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1. 一元一次方程解的定义
2. 一元一次方程无解的条件
3. 等式的性质
【点评】
本题属于一元一次方程的探究类问题，解题核心是先明确方程无解的判定条件，再结合方程解的定义建立等量关系，通过整体代换消去多余参数求解，解题时需注意消分母不要漏乘常数项，移项要变号。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以分三步思考：① 先回忆一元一次方程无解的条件：对于形如$Ay=B$的一元一次方程，当$A=0$且$B≠0$时，方程无解；② 先整理关于$y$的方程，根据无解的条件得到$m,k,a$的关系式；③ 再把$x=m$代入已知的一元一次方程，得到$m,k,a$的另一个关系式，通过代换消去$k$和$a$，即可求出$m$的值，判断是否存在。
【解析】
1. 整理关于$y$的方程，推导无解的条件
原方程为 $m(k - 3)y = 2 + (3a - m)y$
移项得：$m(k - 3)y - (3a - m)y = 2$
合并同类项得：$(mk - 2m - 3a)y = 2$
若该方程无解，需满足$y$的系数为0且常数项不为0，由于常数项$2≠0$，因此只需：
$mk - 2m - 3a = 0$，整理得 $mk = 2m + 3a$ ---①
2. 结合$x=m$是第一个方程的解，建立等量关系
把$x=m$代入方程$\frac{kx - 1}{3} - a = \frac{x - 2}{6} - \frac{3}{2}$，得：
$\frac{km - 1}{3} - a = \frac{m - 2}{6} - \frac{3}{2}$
两边同时乘6消去分母：
$2(km - 1) - 6a = (m - 2) - 9$
展开整理得：
$2km = m + 6a - 9$ ---②
3. 整体代换求解$m$
把①式$mk = 2m + 3a$代入②式，得：
$2(2m + 3a) = m + 6a - 9$
展开左边后消去$6a$，得：
$4m = m - 9$
解得$m=-3$
因此存在满足条件的$m$。
【答案】
存在，$m$的值为$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1. 一元一次方程解的定义
2. 一元一次方程无解的条件
3. 等式的性质
【点评】
本题属于一元一次方程的探究类问题，解题核心是先明确方程无解的判定条件，再结合方程解的定义建立等量关系，通过整体代换消去多余参数求解，解题时需注意消分母不要漏乘常数项，移项要变号。
【难度系数】
0.6
3. 已知关于$x$的方程$2a(x-1)-(5-a)x=3b$有无数多个解，求常数$a,b$的值.
答案
3. 化简得 $2ax-2a-5x+ax=3b$,即 $(3a-5)x=2a+3b$,根据题意得 $3a-5=0,2a+3b=0$,解得 $a=\frac{5}{3},b=-\frac{10}{9}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程有无数解的判定规则：对于形如$mx=n$的方程，当一次项系数$m=0$且常数项$n=0$时，无论$x$取何值等式都成立，即方程有无数个解。解题时先把原方程通过去括号、合并同类项整理为$mx=n$的标准形式，再根据无数解的条件列出关于$a$、$b$的等式，最后求解即可得到$a$、$b$的值。
【解析】
对原方程先去括号：
$2ax - 2a - 5x + ax = 3b$
合并同类项，将含$x$的项合并，常数项移到等号右侧：
$(2a + a - 5)x = 2a + 3b$
整理得：$(3a - 5)x = 2a + 3b$
因为方程有无数多个解，所以一次项系数和常数项均为0，可列等式：
$3a - 5 = 0$，$2a + 3b = 0$
解第一个等式：$3a - 5 = 0$，得$a = \frac{5}{3}$
把$a = \frac{5}{3}$代入第二个等式：$2×\frac{5}{3} + 3b = 0$
计算得$\frac{10}{3} + 3b = 0$，移项得$3b = -\frac{10}{3}$，解得$b = -\frac{10}{9}$
【答案】
$a=\frac{5}{3},b=-\frac{10}{9}$
【知识点】
1. 一元一次方程解的判定
2. 整式化简
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程解的探究类常考题型，解题核心是掌握方程有无数个解的判定条件，注意先将原方程整理为标准形式，再根据系数与常数项的关系列式求解，解题时要注意合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确一元一次方程有无数解的判定规则：对于形如$mx=n$的方程，当一次项系数$m=0$且常数项$n=0$时，无论$x$取何值等式都成立，即方程有无数个解。解题时先把原方程通过去括号、合并同类项整理为$mx=n$的标准形式，再根据无数解的条件列出关于$a$、$b$的等式，最后求解即可得到$a$、$b$的值。
【解析】
对原方程先去括号：
$2ax - 2a - 5x + ax = 3b$
合并同类项，将含$x$的项合并，常数项移到等号右侧：
$(2a + a - 5)x = 2a + 3b$
整理得：$(3a - 5)x = 2a + 3b$
因为方程有无数多个解，所以一次项系数和常数项均为0，可列等式：
$3a - 5 = 0$，$2a + 3b = 0$
解第一个等式：$3a - 5 = 0$，得$a = \frac{5}{3}$
把$a = \frac{5}{3}$代入第二个等式：$2×\frac{5}{3} + 3b = 0$
计算得$\frac{10}{3} + 3b = 0$，移项得$3b = -\frac{10}{3}$，解得$b = -\frac{10}{9}$
【答案】
$a=\frac{5}{3},b=-\frac{10}{9}$
【知识点】
1. 一元一次方程解的判定
2. 整式化简
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程解的探究类常考题型，解题核心是掌握方程有无数个解的判定条件，注意先将原方程整理为标准形式，再根据系数与常数项的关系列式求解，解题时要注意合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.6
4. 若不论k取什么数,关于x的方程$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$(m,n是常数)的解总是x=1,求m+n的值.
答案
4. 把 $x=1$ 代入方程得$\frac{2k+m}{3}=2+\frac{1-nk}{6}$,去分母得 $2(2k+m)=12+1-nk$,整理得 $(4+n)k=13-2m$,因为不论 k 取什么数,关于 x 的方程$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$(m,n 是常数)的解总是 x=1,所以 $4+n=0,13-2m=0$,解得 $n=-4,m=6.5$,则 $m+n=2.5$.
解析
【分析】
题目明确方程的解恒为x=1，且与k的取值无关，解题可按以下思路推进：首先根据方程解的定义，将x=1代入原方程，得到含有参数k、m、n的等式；再对等式去分母、整理，写成“含k的项=常数项”的形式；最后根据“等式对任意k都成立”的条件：k的系数必须为0（否则k变化时左边数值会随之改变，无法恒等于右边常数），同时右边的常数项也必须为0，据此即可求出m、n的值，最终计算m+n即可。
【解析】
解：把$x=1$代入原方程，得：
$\frac{2k+m}{3}=2+\frac{1-nk}{6}$
去分母，两边同时乘6，得：
$2(2k+m)=12+1-nk$
去括号，得：
$4k+2m=13-nk$
移项、合并同类项，得：
$(4+n)k=13-2m$
∵ 不论k取什么数，方程的解总是$x=1$，即上述等式对任意k都成立
∴ $\begin{cases}4+n=0 \\13-2m=0\end{cases}$
解得：$n=-4$，$m=6.5$
∴ $m+n=6.5+(-4)=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
一元一次方程的解；等式恒成立条件；解一元一次方程
【点评】
本题是典型的方程恒成立类探究题，解题核心是理解“解与参数k无关”的含义，即整理后含参数的项的系数为0，这类题型能有效考查对概念的理解和问题转化能力，掌握恒成立的条件是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
题目明确方程的解恒为x=1，且与k的取值无关，解题可按以下思路推进：首先根据方程解的定义，将x=1代入原方程，得到含有参数k、m、n的等式；再对等式去分母、整理，写成“含k的项=常数项”的形式；最后根据“等式对任意k都成立”的条件：k的系数必须为0（否则k变化时左边数值会随之改变，无法恒等于右边常数），同时右边的常数项也必须为0，据此即可求出m、n的值，最终计算m+n即可。
【解析】
解：把$x=1$代入原方程，得：
$\frac{2k+m}{3}=2+\frac{1-nk}{6}$
去分母，两边同时乘6，得：
$2(2k+m)=12+1-nk$
去括号，得：
$4k+2m=13-nk$
移项、合并同类项，得：
$(4+n)k=13-2m$
∵ 不论k取什么数，方程的解总是$x=1$，即上述等式对任意k都成立
∴ $\begin{cases}4+n=0 \\13-2m=0\end{cases}$
解得：$n=-4$，$m=6.5$
∴ $m+n=6.5+(-4)=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
一元一次方程的解；等式恒成立条件；解一元一次方程
【点评】
本题是典型的方程恒成立类探究题，解题核心是理解“解与参数k无关”的含义，即整理后含参数的项的系数为0，这类题型能有效考查对概念的理解和问题转化能力，掌握恒成立的条件是解题的突破口。
【难度系数】
0.6
5. (2025·重庆月考)若关于x的方程$(k - 2025)x - 2023 = 7 - 2025(x + 1)$的解是整数，则整数k的取值个数是 (
A.2
B.3
C.4
D.6
C
)A.2
B.3
C.4
D.6
答案
5. C 解析:由 $(k-2025)x-2023=7-2025(x+1)$,得 $(k-2025)x+2025x=7+2023-2025$,即 $kx=5$,则 $x=\frac{5}{k}$.因为关于 x 的方程$(k-2025)x-2023=7-2025(x+1)$的解是整数,所以整数 $k=±1$或 $k=±5$,共 4 个.
解析
【分析】
这是一道含参数的一元一次方程整数解问题，解题思路如下：第一步先化简原方程，通过去括号、移项、合并同类项消去和参数无关的x项，得到x与参数k的最简关系；第二步结合“解是整数、k是整数”的条件，可知k为常数项的整数因数，要同时考虑正、负因数两种情况；第三步统计符合条件的k的总个数即可得到结果。
【解析】
对原方程逐步化简：
1. 展开等号右侧的括号：$(k - 2025)x - 2023 = 7 - 2025x - 2025$
2. 移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$(k - 2025)x + 2025x = 7 + 2023 - 2025$
3. 合并同类项得：$kx = 5$
4. 系数化为1得：$x = \frac{5}{k}$
因为方程的解x是整数，且k为整数，所以k是5的整数因数，符合条件的k为$\pm1、\pm5$，共4个取值。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程化简；含参方程整数解；整数因数
【点评】
本题属于一元一次方程的拓展题型，解题关键是先简化参数与方程解的关系，再结合整数性质求解，易错点是容易忽略负因数的情况，导致漏算符合条件的k值。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数的一元一次方程整数解问题，解题思路如下：第一步先化简原方程，通过去括号、移项、合并同类项消去和参数无关的x项，得到x与参数k的最简关系；第二步结合“解是整数、k是整数”的条件，可知k为常数项的整数因数，要同时考虑正、负因数两种情况；第三步统计符合条件的k的总个数即可得到结果。
【解析】
对原方程逐步化简：
1. 展开等号右侧的括号：$(k - 2025)x - 2023 = 7 - 2025x - 2025$
2. 移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$(k - 2025)x + 2025x = 7 + 2023 - 2025$
3. 合并同类项得：$kx = 5$
4. 系数化为1得：$x = \frac{5}{k}$
因为方程的解x是整数，且k为整数，所以k是5的整数因数，符合条件的k为$\pm1、\pm5$，共4个取值。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程化简；含参方程整数解；整数因数
【点评】
本题属于一元一次方程的拓展题型，解题关键是先简化参数与方程解的关系，再结合整数性质求解，易错点是容易忽略负因数的情况，导致漏算符合条件的k值。
【难度系数】
0.6
6. 若关于x的方程$ax-1=4+x$的解是自然数，求整数a的值.
答案
解：设长方形画纸的长为$5x\ \mathrm{m}$，宽为$4x\ \mathrm{m}$，其中$x＞0$。
根据长方形面积公式，得：
$5x·4x=40$
$20x^2=40$
$x^2=2$
解得$x=\sqrt{2}$（负值舍去）。
因此长方形画纸的宽为$4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
∵ 要裁出面积为$36\ \mathrm{m}^2$的正方形，
∴ 正方形的边长为$\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
∵ $4\sqrt{2}=\sqrt{16×2}=\sqrt{32}$，且$\sqrt{32}＜\sqrt{36}=6$，
即长方形画纸的宽小于正方形的边长，无法裁出符合要求的正方形。
答：她的想法不可行。
根据长方形面积公式，得：
$5x·4x=40$
$20x^2=40$
$x^2=2$
解得$x=\sqrt{2}$（负值舍去）。
因此长方形画纸的宽为$4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
∵ 要裁出面积为$36\ \mathrm{m}^2$的正方形，
∴ 正方形的边长为$\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
∵ $4\sqrt{2}=\sqrt{16×2}=\sqrt{32}$，且$\sqrt{32}＜\sqrt{36}=6$，
即长方形画纸的宽小于正方形的边长，无法裁出符合要求的正方形。
答：她的想法不可行。
解析
【分析】
解题时首先将参数a当作常数，按照一元一次方程的常规解法求解，得到用含a的代数式表示的x的值；再结合题目的限制条件：方程的解是自然数、a是整数，可知x的表达式的分母a-1必须是分子5的正约数，由此求出a-1的可能取值，进而得到整数a的值。
【解析】
解：对原方程移项，得$ax - x = 4 + 1$，
合并同类项，得$(a-1)x = 5$，
若$a=1$，方程左边为0，右边为5，等式不成立，因此$a≠1$，将x的系数化为1，得$x = \frac{5}{a-1}$。
因为方程的解是自然数，a是整数，所以$a-1$是5的正约数，
5的正约数为1、5，因此：
当$a-1=1$时，解得$a=2$，此时$x=5$，是自然数，符合题意；
当$a-1=5$时，解得$a=6$，此时$x=1$，是自然数，符合题意。
【答案】
$a=2$或$a=6$
【知识点】
1.一元一次方程的解法
2.方程的解的定义
3.自然数的概念
【点评】
本题是含参数一元一次方程的典型题型，解题核心是先把参数视为常数求出方程的解，再结合解的属性和参数的限制条件筛选出符合要求的参数值，解题时要注意分母不能为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先将参数a当作常数，按照一元一次方程的常规解法求解，得到用含a的代数式表示的x的值；再结合题目的限制条件：方程的解是自然数、a是整数，可知x的表达式的分母a-1必须是分子5的正约数，由此求出a-1的可能取值，进而得到整数a的值。
【解析】
解：对原方程移项，得$ax - x = 4 + 1$，
合并同类项，得$(a-1)x = 5$，
若$a=1$，方程左边为0，右边为5，等式不成立，因此$a≠1$，将x的系数化为1，得$x = \frac{5}{a-1}$。
因为方程的解是自然数，a是整数，所以$a-1$是5的正约数，
5的正约数为1、5，因此：
当$a-1=1$时，解得$a=2$，此时$x=5$，是自然数，符合题意；
当$a-1=5$时，解得$a=6$，此时$x=1$，是自然数，符合题意。
【答案】
$a=2$或$a=6$
【知识点】
1.一元一次方程的解法
2.方程的解的定义
3.自然数的概念
【点评】
本题是含参数一元一次方程的典型题型，解题核心是先把参数视为常数求出方程的解，再结合解的属性和参数的限制条件筛选出符合要求的参数值，解题时要注意分母不能为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.6
