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11. (1)若多项式$x^4 + 2x^{m+1} - 3x^3y^3$的次数与单项式$-\frac{1}{3}a^4b^3$的次数相同，则$m$的值为________；
(2)若多项式$4xy^{|k+1|} - \frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{5}(k-2)y^3 + 1$（$k$为常数）是四次四项式，则$k$的值是________；
(3)已知多项式$(a-b)x^4 + \frac{(b-1)x^3}{2} - (a-2)x^2 + ax -4$中不含$x^3$和$x^2$项，当$x=-2$时，这个多项式的值为________。
(2)若多项式$4xy^{|k+1|} - \frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{5}(k-2)y^3 + 1$（$k$为常数）是四次四项式，则$k$的值是________；
(3)已知多项式$(a-b)x^4 + \frac{(b-1)x^3}{2} - (a-2)x^2 + ax -4$中不含$x^3$和$x^2$项，当$x=-2$时，这个多项式的值为________。
答案
11. (1)6 解析:因为单项式$-\frac{1}{3}a^4b^3$的次数是7,所以多项式$x^4+2x^{m+1}-3x^3y^3$的次数是7,所以$m+1=7$,所以$m=6$.
(2)-4 解析:由题意得$1+|k+1|=4$,且$k-2≠0$,解得$k=-4$.
(3)8 解析:由题意得$b-1=0,a-2=0$,解得$b=1,a=2$,所以原多项式为$x^4+2x-4$,当$x=-2$时,原式$=16-4-4=8$.
(2)-4 解析:由题意得$1+|k+1|=4$,且$k-2≠0$,解得$k=-4$.
(3)8 解析:由题意得$b-1=0,a-2=0$,解得$b=1,a=2$,所以原多项式为$x^4+2x-4$,当$x=-2$时,原式$=16-4-4=8$.
解析
【分析】
(1) 先明确单项式次数是所有字母指数的和，先算出已知单项式的次数；多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，找到多项式中次数最高的项，令其次数等于单项式的次数，列方程即可求出m的值。
(2) 四次四项式说明两个条件：一是多项式的最高次数是4，二是多项式共有4个项。首先最高次项是$4xy^{|k+1|}$，它的次数为$1+|k+1|$，令其等于4得到绝对值方程；同时要保证第三项$\frac{3}{5}(k-2)y^3$的系数不为0，否则项数不足4项，解方程后排除不符合条件的解即可得到k的值。
(3) 多项式不含$x^3$和$x^2$项，说明这两项的系数都为0，据此列方程求出a、b的值，代入原多项式化简，再将$x=-2$代入化简后的多项式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 单项式$-\frac{1}{3}a^4b^3$的次数为$4+3=7$。
多项式$x^4 + 2x^{m+1} - 3x^3y^3$的次数与该单项式次数相同，观察多项式各项：$x^4$次数是4，$-3x^3y^3$次数是$3+3=6$，因此最高次项为$2x^{m+1}$，可得$m+1=7$，解得$m=6$。
(2) 已知多项式是四次四项式，因此最高次项次数为4，且项数为4。
最高次项为$4xy^{|k+1|}$，可得$1+|k+1|=4$，解得$|k+1|=3$，即$k=2$或$k=-4$。
要保证是四项式，则$\frac{3}{5}(k-2)≠0$，即$k≠2$，因此$k=-4$。
(3) 多项式不含$x^3$和$x^2$项，说明这两项的系数为0：
$x^3$项系数：$\frac{b-1}{2}=0$，解得$b=1$；
$x^2$项系数：$-(a-2)=0$，解得$a=2$。
将$a=2、b=1$代入原多项式化简得$x^4+2x-4$，代入$x=-2$：
原式$=(-2)^4 +2×(-2) -4=16-4-4=8$。
【答案】
(1)6；(2)-4；(3)8
【知识点】
单项式与多项式的次数，多项式项的系数，代数式求值
【点评】
本题围绕多项式核心概念设题，解题关键是准确理解多项式次数、项数、项系数的含义，注意“不含某一项”即该项系数为0，求解含绝对值的参数问题时要注意检验是否符合题目的附加条件。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确单项式次数是所有字母指数的和，先算出已知单项式的次数；多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，找到多项式中次数最高的项，令其次数等于单项式的次数，列方程即可求出m的值。
(2) 四次四项式说明两个条件：一是多项式的最高次数是4，二是多项式共有4个项。首先最高次项是$4xy^{|k+1|}$，它的次数为$1+|k+1|$，令其等于4得到绝对值方程；同时要保证第三项$\frac{3}{5}(k-2)y^3$的系数不为0，否则项数不足4项，解方程后排除不符合条件的解即可得到k的值。
(3) 多项式不含$x^3$和$x^2$项，说明这两项的系数都为0，据此列方程求出a、b的值，代入原多项式化简，再将$x=-2$代入化简后的多项式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 单项式$-\frac{1}{3}a^4b^3$的次数为$4+3=7$。
多项式$x^4 + 2x^{m+1} - 3x^3y^3$的次数与该单项式次数相同，观察多项式各项：$x^4$次数是4，$-3x^3y^3$次数是$3+3=6$，因此最高次项为$2x^{m+1}$，可得$m+1=7$，解得$m=6$。
(2) 已知多项式是四次四项式，因此最高次项次数为4，且项数为4。
最高次项为$4xy^{|k+1|}$，可得$1+|k+1|=4$，解得$|k+1|=3$，即$k=2$或$k=-4$。
要保证是四项式，则$\frac{3}{5}(k-2)≠0$，即$k≠2$，因此$k=-4$。
(3) 多项式不含$x^3$和$x^2$项，说明这两项的系数为0：
$x^3$项系数：$\frac{b-1}{2}=0$，解得$b=1$；
$x^2$项系数：$-(a-2)=0$，解得$a=2$。
将$a=2、b=1$代入原多项式化简得$x^4+2x-4$，代入$x=-2$：
原式$=(-2)^4 +2×(-2) -4=16-4-4=8$。
【答案】
(1)6；(2)-4；(3)8
【知识点】
单项式与多项式的次数，多项式项的系数，代数式求值
【点评】
本题围绕多项式核心概念设题，解题关键是准确理解多项式次数、项数、项系数的含义，注意“不含某一项”即该项系数为0，求解含绝对值的参数问题时要注意检验是否符合题目的附加条件。
【难度系数】
0.7
12. 已知多项式$3y^5 + x^4 - 8x^m y^2$是五次三项式，且m为正整数，则m可取的值为
1或2或3
。答案
12. 1或2或3 解析:由题意得$m+2=5$或$m+2=4$或$m+2=3$,故m可取的值为3或2或1.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：一是单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，二是多项式的次数是多项式中次数最高项的次数。首先观察已知多项式，已有次数为5的项$3y^5$和次数为4的项$x^4$，第三项$-8x^m y^2$的次数为$m+2$。因为该多项式是五次三项式，首先它的最高次必须是5，所以第三项的次数不能超过5，否则多项式的次数会高于5；又因为m是正整数，所以m≥1，可推出第三项的次数最小为3，因此$m+2$的取值只能是3、4、5，对应求解m即可。
【解析】
解：根据单项式次数与多项式次数的定义：
1. 先确定各已知项的次数：
项$3y^5$的次数是5，项$x^4$的次数是4，项$-8x^m y^2$的次数为$m+2$。
2. 结合“五次三项式”的条件分析：
因为多项式是五次多项式，所以最高次项的次数为5，已有次数为5的项$3y^5$，因此第三项的次数需满足$m+2 ≤ 5$，否则多项式次数会超过5，不符合要求。
又因为m是正整数，即$m ≥ 1$，因此$m+2 ≥ 1+2=3$。
3. 确定$m+2$的可能取值为3、4、5，分别求解：
当$m+2=3$时，解得$m=1$；
当$m+2=4$时，解得$m=2$；
当$m+2=5$时，解得$m=3$。
综上，m可取的值为1或2或3。
【答案】
1或2或3
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，正整数的概念
【点评】
本题是多项式相关的基础易错题，核心考查对多项式次数定义的理解，易错点是容易误认为最高次项只能有一个，从而只算出$m=3$这一个结果，解题时要注意最高次项可以有多个，只要多项式的最高次数符合要求即可，同时不要忽略题目给出的m为正整数的限制条件。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确两个核心概念：一是单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，二是多项式的次数是多项式中次数最高项的次数。首先观察已知多项式，已有次数为5的项$3y^5$和次数为4的项$x^4$，第三项$-8x^m y^2$的次数为$m+2$。因为该多项式是五次三项式，首先它的最高次必须是5，所以第三项的次数不能超过5，否则多项式的次数会高于5；又因为m是正整数，所以m≥1，可推出第三项的次数最小为3，因此$m+2$的取值只能是3、4、5，对应求解m即可。
【解析】
解：根据单项式次数与多项式次数的定义：
1. 先确定各已知项的次数：
项$3y^5$的次数是5，项$x^4$的次数是4，项$-8x^m y^2$的次数为$m+2$。
2. 结合“五次三项式”的条件分析：
因为多项式是五次多项式，所以最高次项的次数为5，已有次数为5的项$3y^5$，因此第三项的次数需满足$m+2 ≤ 5$，否则多项式次数会超过5，不符合要求。
又因为m是正整数，即$m ≥ 1$，因此$m+2 ≥ 1+2=3$。
3. 确定$m+2$的可能取值为3、4、5，分别求解：
当$m+2=3$时，解得$m=1$；
当$m+2=4$时，解得$m=2$；
当$m+2=5$时，解得$m=3$。
综上，m可取的值为1或2或3。
【答案】
1或2或3
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，正整数的概念
【点评】
本题是多项式相关的基础易错题，核心考查对多项式次数定义的理解，易错点是容易误认为最高次项只能有一个，从而只算出$m=3$这一个结果，解题时要注意最高次项可以有多个，只要多项式的最高次数符合要求即可，同时不要忽略题目给出的m为正整数的限制条件。
【难度系数】
0.6
13. (1)已知多项式:$x^{10}-x^{9}y+x^{8}y^{2}-x^{7}y^{3}+···$,按这样的规律写下去,第六项是
(2)(甘肃中考)一组按规律排列的整式:$a+2b,a^{2}-2b^{3},a^{3}+2b^{5},a^{4}-2b^{7},···$,则第$n$个式子是
$-x^5y^5$
,最后一项是$y^{10}$
,这个多项式是十
次十一
项式.(2)(甘肃中考)一组按规律排列的整式:$a+2b,a^{2}-2b^{3},a^{3}+2b^{5},a^{4}-2b^{7},···$,则第$n$个式子是
$a^n + (-1)^{n+1}·2b^{2n-1}$
.答案
(1)
已修长度/m空缺从左到右依次填写：150，200
剩下长度/m空缺从左到右依次填写：750，700，$800-a$
(2) $a+b=800$；800米；800米
(3)
$800-380=420$（米）
$800-108=692$（米）
答：当a=380时，剩下长度为420米，当b=108时，已修长度为692米。
已修长度/m空缺从左到右依次填写：150，200
剩下长度/m空缺从左到右依次填写：750，700，$800-a$
(2) $a+b=800$；800米；800米
(3)
$800-380=420$（米）
$800-108=692$（米）
答：当a=380时，剩下长度为420米，当b=108时，已修长度为692米。
14. 改编题 如图是一个长为a m,宽为b m的长方形广场,广场上有两条宽度均匀的道路(阴影部分),它们均是底边在长方形对边上的平行四边形.
(1)若要在该长方形广场上道路之外的区域种植草坪,请用含字母a,b的代数式表示草坪的面积.
(2)若该广场长为30 m,宽为20 m,种植草坪每平方米花费100元,求种植草坪的总费用.
(1)若要在该长方形广场上道路之外的区域种植草坪,请用含字母a,b的代数式表示草坪的面积.
(2)若该广场长为30 m,宽为20 m,种植草坪每平方米花费100元,求种植草坪的总费用.
答案
14. (1)$S=(ab-b+1)m^2$.
(2)$S=30×20-30-1=551(m^2)$,种植草坪的总费用为$551×100=55100$(元).
(2)$S=30×20-30-1=551(m^2)$,种植草坪的总费用为$551×100=55100$(元).
解析
【分析】
(1) 求草坪面积可采用平移法：把两条道路分别向长方形的边缘平移，空白草坪部分可拼成一个新的规则长方形，新长方形的长为原长$a$减去道路水平宽度1，宽为原宽$b$减去道路竖直宽度1，根据长方形面积公式即可求出草坪面积；也可以用“广场总面积减去道路实际总面积”的思路计算，注意两条道路有重叠部分，计算道路面积时要减去多算的重叠区域。
(2) 第二问直接将$a=30$、$b=20$代入第一问得到的代数式算出草坪面积，再乘每平方米的种植花费，即可得到总费用。
【解析】
(1) 方法1：平移法
将水平道路向广场底边平移，倾斜道路向广场右侧平移，剩余草坪可拼成一个长为$(a-1)\ \mathrm{m}$，宽为$(b-1)\ \mathrm{m}$的长方形。
根据长方形面积公式，草坪面积为：
$S=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1\ (\mathrm{m}^2)$
方法2：总面积减道路面积法
广场总面积为$ab\ \mathrm{m}^2$；
倾斜平行四边形道路底为1m，高为$b\ \mathrm{m}$，面积为$1× b=b\ \mathrm{m}^2$；
水平平行四边形（长方形）道路长为$a\ \mathrm{m}$，宽为1m，面积为$a×1=a\ \mathrm{m}^2$；
两条道路重叠部分是底1m、高1m的平行四边形，面积为$1×1=1\ \mathrm{m}^2$，该部分在计算两条道路面积时被重复计算了1次，因此道路实际总面积为$a+b-1\ \mathrm{m}^2$。
因此草坪面积为：
$S=ab-(a+b-1)=ab-a-b+1\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 把$a=30$，$b=20$代入$S=ab-a-b+1$，得：
$S=30×20-30-20+1=600-50+1=551(\mathrm{m}^2)$
种植草坪总费用为：$551×100=55100$（元）
【答案】
(1) $S=(ab-a-b+1)\ \mathrm{m}^2$
(2) 种植草坪的总费用为55100元
【知识点】
列代数式、代数式求值、图形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，平移法是解决这类带道路的图形面积问题的常用技巧，能将不规则的空白区域转化为规则图形简化计算，解题时要注意重叠部分不要多减或者漏算。
【难度系数】
0.7
(1) 求草坪面积可采用平移法：把两条道路分别向长方形的边缘平移，空白草坪部分可拼成一个新的规则长方形，新长方形的长为原长$a$减去道路水平宽度1，宽为原宽$b$减去道路竖直宽度1，根据长方形面积公式即可求出草坪面积；也可以用“广场总面积减去道路实际总面积”的思路计算，注意两条道路有重叠部分，计算道路面积时要减去多算的重叠区域。
(2) 第二问直接将$a=30$、$b=20$代入第一问得到的代数式算出草坪面积，再乘每平方米的种植花费，即可得到总费用。
【解析】
(1) 方法1：平移法
将水平道路向广场底边平移，倾斜道路向广场右侧平移，剩余草坪可拼成一个长为$(a-1)\ \mathrm{m}$，宽为$(b-1)\ \mathrm{m}$的长方形。
根据长方形面积公式，草坪面积为：
$S=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1\ (\mathrm{m}^2)$
方法2：总面积减道路面积法
广场总面积为$ab\ \mathrm{m}^2$；
倾斜平行四边形道路底为1m，高为$b\ \mathrm{m}$，面积为$1× b=b\ \mathrm{m}^2$；
水平平行四边形（长方形）道路长为$a\ \mathrm{m}$，宽为1m，面积为$a×1=a\ \mathrm{m}^2$；
两条道路重叠部分是底1m、高1m的平行四边形，面积为$1×1=1\ \mathrm{m}^2$，该部分在计算两条道路面积时被重复计算了1次，因此道路实际总面积为$a+b-1\ \mathrm{m}^2$。
因此草坪面积为：
$S=ab-(a+b-1)=ab-a-b+1\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 把$a=30$，$b=20$代入$S=ab-a-b+1$，得：
$S=30×20-30-20+1=600-50+1=551(\mathrm{m}^2)$
种植草坪总费用为：$551×100=55100$（元）
【答案】
(1) $S=(ab-a-b+1)\ \mathrm{m}^2$
(2) 种植草坪的总费用为55100元
【知识点】
列代数式、代数式求值、图形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，平移法是解决这类带道路的图形面积问题的常用技巧，能将不规则的空白区域转化为规则图形简化计算，解题时要注意重叠部分不要多减或者漏算。
【难度系数】
0.7
15. 若关于 $ x $ 的多项式 $ ax^4 + 4x^2 - 1 $ 与多项式 $ 3x^{|b+1|} + 5x + 2 $ 的次数相同，且 $ m, n $ 互为相反数，求 $ (m+n)a + b $ 的值.
答案
(1) $y=2x$
(2) $2×450000=900000$
答：第二天接待游客900000人次。
(2) $2×450000=900000$
答：第二天接待游客900000人次。
16. (2024·重庆中考)已知整式$M: a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$，其中$n, a_{n-1}, \dots, a_0$为自然数，$a_n$为正整数，且$n + a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 = 5$。下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；③满足条件的整式M共有16个。其中正确的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
①满足条件的整式M中有5个单项式；②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；③满足条件的整式M共有16个。其中正确的个数是 (
D
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
(1)
① $2x=y$
② $2x+z=y$
③ $2x-k=y$
(2)
$2×660=1320$（毫升）
$1320-1200=120$（毫升）
答：将两个装满水的水杯的水倒入水壶，倒满容量为1200毫升的水壶后，水杯中还剩余120毫升水。
① $2x=y$
② $2x+z=y$
③ $2x-k=y$
(2)
$2×660=1320$（毫升）
$1320-1200=120$（毫升）
答：将两个装满水的水杯的水倒入水壶，倒满容量为1200毫升的水壶后，水杯中还剩余120毫升水。
17. (1)已知$m,n$是自然数,$a,b,c$均不为0,若$a^{m-3}b^2c - \frac{1}{7}a^2b^{n-3}c^4 + \frac{1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$是八次三项式,求$m,n$的值;
(2)已知有理数$a$和$b$满足多项式$A$,且$A=(a-1)x^5 + x^{|b+2|} - 2x^2 + bx + b(b≠-2)$是关于$x$的二次三项式,求$(a-b)^2$的值.
(2)已知有理数$a$和$b$满足多项式$A$,且$A=(a-1)x^5 + x^{|b+2|} - 2x^2 + bx + b(b≠-2)$是关于$x$的二次三项式,求$(a-b)^2$的值.
答案
17. (1)依题意,可得$a^{m-3}b^2c$的次数为$m-3+2+1=m$,$-\frac{1}{7}a^2b^{n-3}c^4$的次数为$2+n-3+4=n+3$,$\frac{1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$的次数为$m+1+n-1+1=m+n+1$.
由题意,得$m≥3,n≥3$,且m,n为自然数,所以$m+n+1＞m,m+n+1＞n+3$.因为$a^{m-3}b^2c-\frac{1}{7}a^2b^{n-3}c^4+\frac{1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$是八次三项式,所以$m+n+1=8$,所以$m=3,n=4$或$m=4,n=3$.
(2)有理数a和b满足多项式A,且$A=(a-1)x^5+x^{|b+2|}-2x^2+bx+b(b≠-2)$是关于x的二次三项式,当$a-1=0$,解得$a=1$.①当$|b+2|=2$时,解得$b=0$或-4,当$b=0$时,A不是二次三项式;当$b=-4$时,A是关于x的二次三项式;②当$|b+2|=1$时,解得$b=-1$或$b=-3$,当$b=-1$时,A不是二次三项式;当$b=-3$时,A是关于x的二次三项式;③当$|b+2|=0$时,解得$b=-2$(与题意不符,舍去).当$a-1=-1$且$|b+2|=5$,即$a=0,b=3$或$b=-7$时,此时A是关于x的二次三项式.综上所述,当$a=1,b=-4$时,$(a-b)^2=25$;当$a=1,b=-3$时,$(a-b)^2=16$;当$a=0,b=3$时,$(a-b)^2=9$;当$a=0,b=-7$时,$(a-b)^2=49$.
由题意,得$m≥3,n≥3$,且m,n为自然数,所以$m+n+1＞m,m+n+1＞n+3$.因为$a^{m-3}b^2c-\frac{1}{7}a^2b^{n-3}c^4+\frac{1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$是八次三项式,所以$m+n+1=8$,所以$m=3,n=4$或$m=4,n=3$.
(2)有理数a和b满足多项式A,且$A=(a-1)x^5+x^{|b+2|}-2x^2+bx+b(b≠-2)$是关于x的二次三项式,当$a-1=0$,解得$a=1$.①当$|b+2|=2$时,解得$b=0$或-4,当$b=0$时,A不是二次三项式;当$b=-4$时,A是关于x的二次三项式;②当$|b+2|=1$时,解得$b=-1$或$b=-3$,当$b=-1$时,A不是二次三项式;当$b=-3$时,A是关于x的二次三项式;③当$|b+2|=0$时,解得$b=-2$(与题意不符,舍去).当$a-1=-1$且$|b+2|=5$,即$a=0,b=3$或$b=-7$时,此时A是关于x的二次三项式.综上所述,当$a=1,b=-4$时,$(a-b)^2=25$;当$a=1,b=-3$时,$(a-b)^2=16$;当$a=0,b=3$时,$(a-b)^2=9$;当$a=0,b=-7$时,$(a-b)^2=49$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先明确多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，三项式说明三个单项式均存在，即各项字母的指数均为非负整数。先分别计算三个单项式的次数，比较得到最高次项的次数表达式，结合多项式是八次三项式的条件列等式，再结合m、n是自然数的要求求解即可。
(2) 解题思路：关于x的二次三项式，说明多项式中x的最高次数为2，且共有3个非零项。首先处理高于二次的x⁵项：若x⁵项系数不为0，则必须有另一个x⁵项与之抵消，即$|b+2|=5$且合并后x⁵项系数为0；若x⁵项系数为0，则根据最高次为2确定$|b+2|$的可能取值，逐一验证是否符合三项式要求，排除不符合的情况后，计算每种情况对应的$(a-b)^2$即可。
【解析】
(1) 先计算三个单项式的次数：
$a^{m-3}b^2c$的次数为$(m-3)+2+1=m$；
$-\frac{1}{7}a^2b^{n-3}c^4$的次数为$2+(n-3)+4=n+3$；
$\frac{1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$的次数为$(m+1)+(n-1)+1=m+n+1$。
因为多项式是三项式，所以各项指数非负，即$m-3≥0$，$n-3≥0$，得$m≥3$，$n≥3$（m、n为自然数）。
此时$m+n+1＞m$，$m+n+1＞n+3$，即最高次项为第三项。
由多项式是八次三项式得$m+n+1=8$，即$m+n=7$，结合$m≥3$，$n≥3$，可得$m=3,n=4$或$m=4,n=3$。
(2) 分两类情况讨论：
① 若x⁵项系数不为0，则需两个x⁵项合并后抵消：
$\begin{cases}|b+2|=5 \\ a-1+1=0\end{cases}$，解得$a=0$，$b=3$或$b=-7$，代入验证均为二次三项式，此时$(a-b)^2=(0-3)^2=9$或$(0-(-7))^2=49$。
② 若x⁵项系数为0，即$a-1=0$，得$a=1$，此时最高次为2，$|b+2|$可取2、1、0：
当$|b+2|=2$时，$b=0$或$b=-4$：$b=0$时A为单项式，舍去；$b=-4$时A为二次三项式，此时$(a-b)^2=(1-(-4))^2=25$。
当$|b+2|=1$时，$b=-1$或$b=-3$：$b=-1$时A为二次二项式，舍去；$b=-3$时A为二次三项式，此时$(a-b)^2=(1-(-3))^2=16$。
当$|b+2|=0$时，$b=-2$，与题设$b≠-2$矛盾，舍去。
【答案】
(1) $m=3,n=4$或$m=4,n=3$；
(2) $(a-b)^2$的值为9或16或25或49。
【知识点】
多项式的相关概念，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对多项式次数、项数定义的理解，解题时需注意单项式指数为非负整数的隐含条件，分类讨论时要逐一验证是否符合题意，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.3
(1) 解题思路：首先明确多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，三项式说明三个单项式均存在，即各项字母的指数均为非负整数。先分别计算三个单项式的次数，比较得到最高次项的次数表达式，结合多项式是八次三项式的条件列等式，再结合m、n是自然数的要求求解即可。
(2) 解题思路：关于x的二次三项式，说明多项式中x的最高次数为2，且共有3个非零项。首先处理高于二次的x⁵项：若x⁵项系数不为0，则必须有另一个x⁵项与之抵消，即$|b+2|=5$且合并后x⁵项系数为0；若x⁵项系数为0，则根据最高次为2确定$|b+2|$的可能取值，逐一验证是否符合三项式要求，排除不符合的情况后，计算每种情况对应的$(a-b)^2$即可。
【解析】
(1) 先计算三个单项式的次数：
$a^{m-3}b^2c$的次数为$(m-3)+2+1=m$；
$-\frac{1}{7}a^2b^{n-3}c^4$的次数为$2+(n-3)+4=n+3$；
$\frac{1}{12}a^{m+1}b^{n-1}c$的次数为$(m+1)+(n-1)+1=m+n+1$。
因为多项式是三项式，所以各项指数非负，即$m-3≥0$，$n-3≥0$，得$m≥3$，$n≥3$（m、n为自然数）。
此时$m+n+1＞m$，$m+n+1＞n+3$，即最高次项为第三项。
由多项式是八次三项式得$m+n+1=8$，即$m+n=7$，结合$m≥3$，$n≥3$，可得$m=3,n=4$或$m=4,n=3$。
(2) 分两类情况讨论：
① 若x⁵项系数不为0，则需两个x⁵项合并后抵消：
$\begin{cases}|b+2|=5 \\ a-1+1=0\end{cases}$，解得$a=0$，$b=3$或$b=-7$，代入验证均为二次三项式，此时$(a-b)^2=(0-3)^2=9$或$(0-(-7))^2=49$。
② 若x⁵项系数为0，即$a-1=0$，得$a=1$，此时最高次为2，$|b+2|$可取2、1、0：
当$|b+2|=2$时，$b=0$或$b=-4$：$b=0$时A为单项式，舍去；$b=-4$时A为二次三项式，此时$(a-b)^2=(1-(-4))^2=25$。
当$|b+2|=1$时，$b=-1$或$b=-3$：$b=-1$时A为二次二项式，舍去；$b=-3$时A为二次三项式，此时$(a-b)^2=(1-(-3))^2=16$。
当$|b+2|=0$时，$b=-2$，与题设$b≠-2$矛盾，舍去。
【答案】
(1) $m=3,n=4$或$m=4,n=3$；
(2) $(a-b)^2$的值为9或16或25或49。
【知识点】
多项式的相关概念，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对多项式次数、项数定义的理解，解题时需注意单项式指数为非负整数的隐含条件，分类讨论时要逐一验证是否符合题意，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.3
