登录
1.下列方程组是三元一次方程组的是（
A.$\begin{cases}3a - b = 2 \\ b + 3c = -3 \\ 4a + 3d = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = -1 \\ 2y = -5 \\ x - 2z = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x - 1 = 0 \\ y + 1 = 3x \\ xy + 2z = -4\end{cases}$
D.$\begin{cases}y - x = -2 \\ x + y = 4 \\ 2y + 3x = 11\end{cases}$
B
）A.$\begin{cases}3a - b = 2 \\ b + 3c = -3 \\ 4a + 3d = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = -1 \\ 2y = -5 \\ x - 2z = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x - 1 = 0 \\ y + 1 = 3x \\ xy + 2z = -4\end{cases}$
D.$\begin{cases}y - x = -2 \\ x + y = 4 \\ 2y + 3x = 11\end{cases}$
答案
选项A中含有4个未知数,故不是三元一次方程组;选项B符合三元一次方程组的定义;选项C中xy的次数是2,故不是三元一次方程组;选项D中含有2个未知数,故不是三元一次方程组.故选B.
解析
【分析】要判断给定的方程组是否为三元一次方程组，需紧扣三元一次方程组的三个核心判定要点：①方程组中总共含有3个不同的未知数；②每个方程都是整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1；③方程组中至少包含2个方程。解题时对照这三个要点逐一排查每个选项即可。
【解析】首先明确三元一次方程组的定义：含有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且由整式方程组成的方程组叫做三元一次方程组。
选项A：方程组中含有a、b、c、d共4个未知数，不符合三元一次方程组“仅含3个未知数”的要求，不是三元一次方程组；
选项B：方程组中有x、y、z共3个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，且都是整式方程，符合三元一次方程组的定义；
选项C：方程$xy + 2z = -4$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是三元一次方程组；
选项D：方程组中仅含有x、y共2个未知数，不符合三元一次方程组的要求，不是三元一次方程组。
综上，正确选项为B。
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的定义；单项式的次数
【点评】本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记三元一次方程组的判定要点，做题时要注意逐一核对未知数个数、含未知数项的次数，避免因粗心导致判断错误。
【难度系数】0.8
【解析】首先明确三元一次方程组的定义：含有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且由整式方程组成的方程组叫做三元一次方程组。
选项A：方程组中含有a、b、c、d共4个未知数，不符合三元一次方程组“仅含3个未知数”的要求，不是三元一次方程组；
选项B：方程组中有x、y、z共3个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，且都是整式方程，符合三元一次方程组的定义；
选项C：方程$xy + 2z = -4$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是三元一次方程组；
选项D：方程组中仅含有x、y共2个未知数，不符合三元一次方程组的要求，不是三元一次方程组。
综上，正确选项为B。
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的定义；单项式的次数
【点评】本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记三元一次方程组的判定要点，做题时要注意逐一核对未知数个数、含未知数项的次数，避免因粗心导致判断错误。
【难度系数】0.8
2.解三元一次方程组$\begin{cases}x+y+z=3①, \\3x+2y+z=10②, \\2x-y+z=-1③,\end{cases}$若要消去未知数$z$,则应对方程组变形为（ ）
A.①+③,①×2−②
B.①+③,③×2+②
C.②−①,②−③
D.①−②,①×2−③
A.①+③,①×2−②
B.①+③,③×2+②
C.②−①,②−③
D.①−②,①×2−③
答案
②-①,得2x+y=7,②-③,得x+3y=11,由此可组成关于x,y的二元一次方程组,A,B,D选项中的变形方式均无法消去未知数z.故选C.
解析
【分析】要消去未知数z，首先观察三个方程中z的系数特征：三个方程里z的系数均为1，根据加减消元法的原理，当两个方程中同一个未知数的系数相等时，两式相减即可消去该未知数。接下来逐个验证选项中的变形能否消去z，就能选出正确答案。
【解析】已知三个方程中z的系数均为1，可通过两式相减消去z：
1. 计算②-①：左边为$(3x+2y+z)-(x+y+z)=2x+y$，右边为$10-3=7$，z完全消去，得到方程$2x+y=7$；
2. 计算②-③：左边为$(3x+2y+z)-(2x-y+z)=x+3y$，右边为$10-(-1)=11$，z完全消去，得到方程$x+3y=11$。
验证其余选项：
A选项①+③后z的系数为2，未消去z；B选项①+③后z的系数为2，未消去z；D选项①×2−③后z的系数为$2×1-1=1$，未消去z，均不符合要求。
【答案】C
【知识点】加减消元法；三元一次方程组的解法
【点评】本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题核心是观察待消去未知数的系数特征，选择合适的加减运算实现消元，属于消元法的基础应用题型。
【难度系数】0.8
【解析】已知三个方程中z的系数均为1，可通过两式相减消去z：
1. 计算②-①：左边为$(3x+2y+z)-(x+y+z)=2x+y$，右边为$10-3=7$，z完全消去，得到方程$2x+y=7$；
2. 计算②-③：左边为$(3x+2y+z)-(2x-y+z)=x+3y$，右边为$10-(-1)=11$，z完全消去，得到方程$x+3y=11$。
验证其余选项：
A选项①+③后z的系数为2，未消去z；B选项①+③后z的系数为2，未消去z；D选项①×2−③后z的系数为$2×1-1=1$，未消去z，均不符合要求。
【答案】C
【知识点】加减消元法；三元一次方程组的解法
【点评】本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题核心是观察待消去未知数的系数特征，选择合适的加减运算实现消元，属于消元法的基础应用题型。
【难度系数】0.8
3.解方程组：
(1) $\begin{cases}x+y+z=6①, \\x+y-z=0②, \\x-y=-1③.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x-3y=-4①, \\3y-4z=5②, \\3x-5z=10③.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}x+y+z=6①, \\x+y-z=0②, \\x-y=-1③.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x-3y=-4①, \\3y-4z=5②, \\3x-5z=10③.\end{cases}$
答案
(1)①+②,得2x+2y=6,即x+y=3④,
③+④,得2x=2,解得x=1,
把x=1代入③,得1-y=-1,解得y=2,
把x=1,y=2代入②,得1+2-z=0,解得z=3,
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=1, \\y=2, \\z=3.\end{cases}$
(2)①+②,得x-4z=1④,
④×3-③,得-7z=-7,解得z=1,
将z=1代入④,得x-4=1,解得x=5,
将z=1代入②,得3y-4=5,解得y=3,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5, \\y=3, \\z=1.\end{cases}$
③+④,得2x=2,解得x=1,
把x=1代入③,得1-y=-1,解得y=2,
把x=1,y=2代入②,得1+2-z=0,解得z=3,
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=1, \\y=2, \\z=3.\end{cases}$
(2)①+②,得x-4z=1④,
④×3-③,得-7z=-7,解得z=1,
将z=1代入④,得x-4=1,解得x=5,
将z=1代入②,得3y-4=5,解得y=3,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5, \\y=3, \\z=1.\end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，通过消元将三元逐步降为二元、一元再求解。
对于(1)：观察到方程①和②中z的系数互为相反数，先将两式相加消去z，得到仅含x、y的方程④，再和方程③联立，用加减消元求出x、y的值，最后代入原方程求z即可。
对于(2)：观察到方程①和②中y的系数互为相反数，先将两式相加消去y，得到仅含x、z的方程④，再和方程③联立，用加减消元求出x、z的值，最后代入原方程求y即可。
【解析】
(1) ①+②，得$2x+2y=6$，即$x+y=3$ ④，
③+④，得$2x=2$，解得$x=1$，
把$x=1$代入③，得$1-y=-1$，解得$y=2$，
把$x=1$，$y=2$代入②，得$1+2-z=0$，解得$z=3$，
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=1, \\y=2, \\z=3.\end{cases}$
(2) ①+②，得$x-4z=1$ ④，
④×3-③，得$-7z=-7$，解得$z=1$，
将$z=1$代入④，得$x-4=1$，解得$x=5$，
将$z=1$代入②，得$3y-4=5$，解得$y=3$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5, \\y=3, \\z=1.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1, \\y=2, \\z=3.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=5, \\y=3, \\z=1.\end{cases}$
【知识点】
1. 三元一次方程组解法
2. 加减消元法
3. 消元思想
【点评】
这两道题是三元一次方程组的基础常规题，解题关键是观察未知数的系数特征，优先消去系数为±1或互为相反数的未知数，可大幅简化计算过程，熟练掌握消元方法是解题核心。
【难度系数】
0.8
解三元一次方程组的核心思路是消元，通过消元将三元逐步降为二元、一元再求解。
对于(1)：观察到方程①和②中z的系数互为相反数，先将两式相加消去z，得到仅含x、y的方程④，再和方程③联立，用加减消元求出x、y的值，最后代入原方程求z即可。
对于(2)：观察到方程①和②中y的系数互为相反数，先将两式相加消去y，得到仅含x、z的方程④，再和方程③联立，用加减消元求出x、z的值，最后代入原方程求y即可。
【解析】
(1) ①+②，得$2x+2y=6$，即$x+y=3$ ④，
③+④，得$2x=2$，解得$x=1$，
把$x=1$代入③，得$1-y=-1$，解得$y=2$，
把$x=1$，$y=2$代入②，得$1+2-z=0$，解得$z=3$，
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=1, \\y=2, \\z=3.\end{cases}$
(2) ①+②，得$x-4z=1$ ④，
④×3-③，得$-7z=-7$，解得$z=1$，
将$z=1$代入④，得$x-4=1$，解得$x=5$，
将$z=1$代入②，得$3y-4=5$，解得$y=3$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5, \\y=3, \\z=1.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1, \\y=2, \\z=3.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=5, \\y=3, \\z=1.\end{cases}$
【知识点】
1. 三元一次方程组解法
2. 加减消元法
3. 消元思想
【点评】
这两道题是三元一次方程组的基础常规题，解题关键是观察未知数的系数特征，优先消去系数为±1或互为相反数的未知数，可大幅简化计算过程，熟练掌握消元方法是解题核心。
【难度系数】
0.8
4. 学科特色教材变式 已知$y=ax^2+bx+c$，当$x=-1$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=-4$；当$x=2$时，$y=3$。
(1)求$a,b,c$的值。
(2)当$x=-3$时，求$y$的值。
(1)求$a,b,c$的值。
(2)当$x=-3$时，求$y$的值。
答案
(1)由题意得$\begin{cases}a-b+c=0, \\a+b+c=-4, \\4a+2b+c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=3, \\b=-2, \\c=-5.\end{cases}$
(2)由(1)知,$y=3x^2-2x-5$,
所以当x=-3时,
y=3×9+2×3-5=28.
(2)由(1)知,$y=3x^2-2x-5$,
所以当x=-3时,
y=3×9+2×3-5=28.
解析
【分析】
(1) 已知三组x与对应的y值，将三组数值分别代入$y=ax^2+bx+c$，即可得到三个关于a、b、c的方程，组成三元一次方程组，再通过加减消元法逐步消去未知数，就能求出a、b、c的值。(2) 把(1)中求出的a、b、c代回原式，得到y的具体表达式，再将$x=-3$代入表达式计算，即可求出对应的y值。
【解析】
(1) 根据题意，将$x=-1,y=0$；$x=1,y=-4$；$x=2,y=3$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得到方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0 \quad ① \\a+b+c=-4 \quad ② \\4a+2b+c=3 \quad ③\end{cases}$
①+②得：$2a+2c=-4$，化简得$a+c=-2 \quad ④$
①-②得：$-2b=4$，解得$b=-2$
将$b=-2$代入③得：$4a+2×(-2)+c=3$，化简得$4a+c=7 \quad ⑤$
⑤-④得：$3a=9$，解得$a=3$
将$a=3$代入④得：$3+c=-2$，解得$c=-5$
因此$\begin{cases}a=3 \\ b=-2 \\ c=-5\end{cases}$
(2) 由(1)可知函数表达式为$y=3x^2-2x-5$，将$x=-3$代入得：
$y=3×(-3)^2 -2×(-3) -5=3×9+6-5=28$
【答案】
(1) $\begin{cases}a=3 \\ b=-2 \\ c=-5\end{cases}$
(2) $28$
【知识点】
三元一次方程组的解法，待定系数法，代数式求值
【点评】
本题重点考查利用已知对应关系列三元一次方程组求解参数，再代入求值，解题时要注意数值代入的符号问题，选择简便的消元顺序可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
(1) 已知三组x与对应的y值，将三组数值分别代入$y=ax^2+bx+c$，即可得到三个关于a、b、c的方程，组成三元一次方程组，再通过加减消元法逐步消去未知数，就能求出a、b、c的值。(2) 把(1)中求出的a、b、c代回原式，得到y的具体表达式，再将$x=-3$代入表达式计算，即可求出对应的y值。
【解析】
(1) 根据题意，将$x=-1,y=0$；$x=1,y=-4$；$x=2,y=3$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得到方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0 \quad ① \\a+b+c=-4 \quad ② \\4a+2b+c=3 \quad ③\end{cases}$
①+②得：$2a+2c=-4$，化简得$a+c=-2 \quad ④$
①-②得：$-2b=4$，解得$b=-2$
将$b=-2$代入③得：$4a+2×(-2)+c=3$，化简得$4a+c=7 \quad ⑤$
⑤-④得：$3a=9$，解得$a=3$
将$a=3$代入④得：$3+c=-2$，解得$c=-5$
因此$\begin{cases}a=3 \\ b=-2 \\ c=-5\end{cases}$
(2) 由(1)可知函数表达式为$y=3x^2-2x-5$，将$x=-3$代入得：
$y=3×(-3)^2 -2×(-3) -5=3×9+6-5=28$
【答案】
(1) $\begin{cases}a=3 \\ b=-2 \\ c=-5\end{cases}$
(2) $28$
【知识点】
三元一次方程组的解法，待定系数法，代数式求值
【点评】
本题重点考查利用已知对应关系列三元一次方程组求解参数，再代入求值，解题时要注意数值代入的符号问题，选择简便的消元顺序可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
5.一个三位数,各个数位上的数字之和为10,百位数字比十位数字大1.若百位数字与个位数字对调,则所得新数比原数的3倍大61,那么原来的三位数是
217
.答案
解析 设这个三位数个位、十位、百位上的数字分别为x,y,z,根据题意,
得$\begin{cases}x+y+z=10, \\z-y=1, \\3(100z+10y+x)+61=100x+10y+z,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=7, \\y=1, \\z=2,\end{cases}$
所以原来的三位数是217.
得$\begin{cases}x+y+z=10, \\z-y=1, \\3(100z+10y+x)+61=100x+10y+z,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=7, \\y=1, \\z=2,\end{cases}$
所以原来的三位数是217.
解析
【分析】
这是一道数字类方程应用题，解题思路如下：首先明确三位数的表示规则：若百位、十位、个位数字分别为z、y、x，则原数可表示为$100z+10y+x$，对调百位和个位后的新数可表示为$100x+10y+z$。再从题目中提取三个等量关系：①三个数位的数字之和为10；②百位数字比十位数字大1；③新数=原数×3+61。我们设出三个数位的数字后，根据等量关系列出三元一次方程组，求解得到各数位数字后即可组合出原三位数。
【解析】
设这个三位数个位、十位、百位上的数字分别为$x$、$y$、$z$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y+z=10 \\z-y=1 \\3(100z+10y+x)+61=100x+10y+z\end{cases}$
由第二个方程得$z=y+1$，代入第一个方程得$x+2y=9$，即$x=9-2y$；
将$z=y+1$、$x=9-2y$代入第三个方程，化简求解可得$\begin{cases}x=7 \\ y=1 \\ z=2\end{cases}$
因此原来的三位数为$100×2 + 10×1 +7 = 217$。
【答案】
217
【知识点】
1. 三元一次方程组的应用
2. 多位数的表示
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确用数位表示多位数，准确提取题目中的等量关系列方程组，求解时可通过代入消元法逐步减少未知数个数，最终求出各数位的数字。
【难度系数】
0.6
这是一道数字类方程应用题，解题思路如下：首先明确三位数的表示规则：若百位、十位、个位数字分别为z、y、x，则原数可表示为$100z+10y+x$，对调百位和个位后的新数可表示为$100x+10y+z$。再从题目中提取三个等量关系：①三个数位的数字之和为10；②百位数字比十位数字大1；③新数=原数×3+61。我们设出三个数位的数字后，根据等量关系列出三元一次方程组，求解得到各数位数字后即可组合出原三位数。
【解析】
设这个三位数个位、十位、百位上的数字分别为$x$、$y$、$z$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y+z=10 \\z-y=1 \\3(100z+10y+x)+61=100x+10y+z\end{cases}$
由第二个方程得$z=y+1$，代入第一个方程得$x+2y=9$，即$x=9-2y$；
将$z=y+1$、$x=9-2y$代入第三个方程，化简求解可得$\begin{cases}x=7 \\ y=1 \\ z=2\end{cases}$
因此原来的三位数为$100×2 + 10×1 +7 = 217$。
【答案】
217
【知识点】
1. 三元一次方程组的应用
2. 多位数的表示
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确用数位表示多位数，准确提取题目中的等量关系列方程组，求解时可通过代入消元法逐步减少未知数个数，最终求出各数位的数字。
【难度系数】
0.6
6.一种饮料有大、中、小3种包装,1瓶大包装饮料比一瓶中包装饮料加一瓶小包装饮料贵0.4元,2瓶小包装饮料比1瓶中包装饮料贵0.2元,大、中、小包装饮料各买1瓶,需9.6元,问3种不同规格包装的饮料每瓶各多少元?
答案
解析 设1瓶小包装饮料的价格为x元,1瓶中包装饮料的价格为y元,1瓶大包装饮料的价格为z元,
根据题意得$\begin{cases}z-(y+x)=0.4, \\2x-y=0.2, \\x+y+z=9.6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1.6, \\y=3, \\z=5.\end{cases}$
答:1瓶小包装饮料1.6元,1瓶中包装饮料3元,1瓶大包装饮料5元.
根据题意得$\begin{cases}z-(y+x)=0.4, \\2x-y=0.2, \\x+y+z=9.6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1.6, \\y=3, \\z=5.\end{cases}$
答:1瓶小包装饮料1.6元,1瓶中包装饮料3元,1瓶大包装饮料5元.
解析
【分析】
本题有三个未知量，即大、中、小包装饮料的单价，我们可以通过设三个未知数，找等量关系列三元一次方程组求解。首先逐句分析题意提取等量关系：①1瓶大包装价格 -（1瓶中包装价格+1瓶小包装价格）=0.4元；②2瓶小包装价格 -1瓶中包装价格=0.2元；③三种包装各买1瓶的总价=9.6元。列完方程组后，观察方程特征，先消去未知数z，得到关于x、y的二元一次方程，再结合第二个方程用代入消元法依次求解各未知数即可。
【解析】
解：设1瓶小包装饮料的价格为x元，1瓶中包装饮料的价格为y元，1瓶大包装饮料的价格为z元。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases} z-(y+x)=0.4 \quad \mathrm{①} \\ 2x-y=0.2 \quad \quad \quad \mathrm{②} \\ x+y+z=9.6 \quad \quad \mathrm{③} \end{cases}$
将①变形得：$z = x + y + 0.4$ ④，把④代入③得：
$x+y + x+y + 0.4 = 9.6$
化简得$2(x+y)=9.2$，即$x+y=4.6$ ⑤
将②变形得：$y=2x-0.2$ ⑥，把⑥代入⑤得：
$x + 2x - 0.2 = 4.6$
解得$3x=4.8$，$x=1.6$
把$x=1.6$代入⑥得：$y=2×1.6 -0.2=3$
把$x=1.6$，$y=3$代入④得：$z=1.6+3+0.4=5$
【答案】
1瓶小包装饮料1.6元，1瓶中包装饮料3元，1瓶大包装饮料5元。
【知识点】
三元一次方程组的应用、代入消元法、列方程解应用题
【点评】
本题是典型的三元一次方程组实际应用问题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，设出未知数列式，再通过消元法逐步求解，主要考查学生的读题分析能力和方程组求解能力。
【难度系数】
0.7
本题有三个未知量，即大、中、小包装饮料的单价，我们可以通过设三个未知数，找等量关系列三元一次方程组求解。首先逐句分析题意提取等量关系：①1瓶大包装价格 -（1瓶中包装价格+1瓶小包装价格）=0.4元；②2瓶小包装价格 -1瓶中包装价格=0.2元；③三种包装各买1瓶的总价=9.6元。列完方程组后，观察方程特征，先消去未知数z，得到关于x、y的二元一次方程，再结合第二个方程用代入消元法依次求解各未知数即可。
【解析】
解：设1瓶小包装饮料的价格为x元，1瓶中包装饮料的价格为y元，1瓶大包装饮料的价格为z元。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases} z-(y+x)=0.4 \quad \mathrm{①} \\ 2x-y=0.2 \quad \quad \quad \mathrm{②} \\ x+y+z=9.6 \quad \quad \mathrm{③} \end{cases}$
将①变形得：$z = x + y + 0.4$ ④，把④代入③得：
$x+y + x+y + 0.4 = 9.6$
化简得$2(x+y)=9.2$，即$x+y=4.6$ ⑤
将②变形得：$y=2x-0.2$ ⑥，把⑥代入⑤得：
$x + 2x - 0.2 = 4.6$
解得$3x=4.8$，$x=1.6$
把$x=1.6$代入⑥得：$y=2×1.6 -0.2=3$
把$x=1.6$，$y=3$代入④得：$z=1.6+3+0.4=5$
【答案】
1瓶小包装饮料1.6元，1瓶中包装饮料3元，1瓶大包装饮料5元。
【知识点】
三元一次方程组的应用、代入消元法、列方程解应用题
【点评】
本题是典型的三元一次方程组实际应用问题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，设出未知数列式，再通过消元法逐步求解，主要考查学生的读题分析能力和方程组求解能力。
【难度系数】
0.7
7.「2025福建泉州期末，★☆」若方程组$\begin{cases}x+y=9, \\ y+z=7, \\ z+x=2\end{cases}$的解满足方程$3k - x - y - z = 6$，则$k$的值为（ ）
A.1
B.3
C.5
D.7
A.1
B.3
C.5
D.7
答案
已知方程组$\begin{cases}x+y=9①, \\y+z=7②, \\z+x=2③,\end{cases}$
①+②+③,得2x+2y+2z=18,所以x+y+z=9,
因为方程组的解满足方程3k-x-y-z=6,
所以3k=6+x+y+z=6+9=15,解得k=5.故选C.
①+②+③,得2x+2y+2z=18,所以x+y+z=9,
因为方程组的解满足方程3k-x-y-z=6,
所以3k=6+x+y+z=6+9=15,解得k=5.故选C.
解析
【分析】
本题是三元一次方程组结合求参数的问题，解题时无需分别求出x、y、z的具体值，观察方程组的结构和待求方程中含有的x+y+z整体项，可先将三个方程相加，直接求出x+y+z的和，再整体代入含k的方程即可求解，能大幅简化计算步骤。
【解析】
已知方程组$\begin{cases}x+y=9①, \\y+z=7②, \\z+x=2③,\end{cases}$
将①+②+③，左边相加得$(x+y)+(y+z)+(z+x)=2x+2y+2z$，右边相加得$9+7+2=18$，即$2(x+y+z)=18$，化简得$x+y+z=9$。
因为方程组的解满足方程$3k - x - y - z = 6$，把$x+y+z=9$代入该方程，得$3k - 9 = 6$，移项计算得$3k=15$，解得$k=5$。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组解法，整体代入思想
【点评】
本题考查整体思想在方程组求解中的应用，无需逐个求解未知数，通过合并方程组得到目标整体值再代入计算，是这类题型的常用简便技巧，能有效降低运算量、减少计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是三元一次方程组结合求参数的问题，解题时无需分别求出x、y、z的具体值，观察方程组的结构和待求方程中含有的x+y+z整体项，可先将三个方程相加，直接求出x+y+z的和，再整体代入含k的方程即可求解，能大幅简化计算步骤。
【解析】
已知方程组$\begin{cases}x+y=9①, \\y+z=7②, \\z+x=2③,\end{cases}$
将①+②+③，左边相加得$(x+y)+(y+z)+(z+x)=2x+2y+2z$，右边相加得$9+7+2=18$，即$2(x+y+z)=18$，化简得$x+y+z=9$。
因为方程组的解满足方程$3k - x - y - z = 6$，把$x+y+z=9$代入该方程，得$3k - 9 = 6$，移项计算得$3k=15$，解得$k=5$。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组解法，整体代入思想
【点评】
本题考查整体思想在方程组求解中的应用，无需逐个求解未知数，通过合并方程组得到目标整体值再代入计算，是这类题型的常用简便技巧，能有效降低运算量、减少计算错误。
【难度系数】
0.8
8.「2026云南昆明期中，★☆」在等式$y=ax^2+bx+c$中，当$x=0$时，$y=-5$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=3$，则$a,b,c$的值分别为（
A.$-2,3,-5$
B.$3,-2,-5$
C.$-5,-2,3$
D.$-5,3,-2$
B
）A.$-2,3,-5$
B.$3,-2,-5$
C.$-5,-2,3$
D.$-5,3,-2$
答案
由题意,得$\begin{cases}-5=c, \\0=a-b+c, \\3=4a+2b+c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=3, \\b=-2, \\c=-5.\end{cases}$ 故选B.
解析
【分析】
解题思路如下：首先，题目给出了等式$y=ax^2+bx+c$在三组不同$x$取值下对应的$y$值，我们可以将每组$x$、$y$的值分别代入等式，得到三个关于$a$、$b$、$c$的方程，组成三元一次方程组。求解三元一次方程组可以先找最容易计算的未知数，本题中$x=0$时，$ax^2$和$bx$项都为0，可直接求出$c$的值，再将$c$代入剩余两个方程，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，用消元法即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
将三组$x$、$y$的取值分别代入等式$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-5 = c \quad \mathrm{①} \\0 = a - b + c \quad \mathrm{②} \\3 = 4a + 2b + c \quad \mathrm{③}\end{cases}$
把①代入②和③，消去$c$，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}a - b = 5 \quad \mathrm{④} \\4a + 2b = 8 \quad \mathrm{⑤}\end{cases}$
将⑤化简为$2a + b = 4$ ⑥，再用④+⑥：$3a=9$，解得$a=3$。
把$a=3$代入④：$3 - b =5$，解得$b=-2$。
综上可得$a=3$，$b=-2$，$c=-5$。
【答案】
B
【知识点】
1. 三元一次方程组的解法
2. 代入消元法
3. 代数式求值
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用题型，解题核心是通过代入已知值建立方程组，再利用消元法逐步降维求解，主要考察学生的方程建立能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，题目给出了等式$y=ax^2+bx+c$在三组不同$x$取值下对应的$y$值，我们可以将每组$x$、$y$的值分别代入等式，得到三个关于$a$、$b$、$c$的方程，组成三元一次方程组。求解三元一次方程组可以先找最容易计算的未知数，本题中$x=0$时，$ax^2$和$bx$项都为0，可直接求出$c$的值，再将$c$代入剩余两个方程，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，用消元法即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
将三组$x$、$y$的取值分别代入等式$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-5 = c \quad \mathrm{①} \\0 = a - b + c \quad \mathrm{②} \\3 = 4a + 2b + c \quad \mathrm{③}\end{cases}$
把①代入②和③，消去$c$，得到二元一次方程组：
$\begin{cases}a - b = 5 \quad \mathrm{④} \\4a + 2b = 8 \quad \mathrm{⑤}\end{cases}$
将⑤化简为$2a + b = 4$ ⑥，再用④+⑥：$3a=9$，解得$a=3$。
把$a=3$代入④：$3 - b =5$，解得$b=-2$。
综上可得$a=3$，$b=-2$，$c=-5$。
【答案】
B
【知识点】
1. 三元一次方程组的解法
2. 代入消元法
3. 代数式求值
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用题型，解题核心是通过代入已知值建立方程组，再利用消元法逐步降维求解，主要考察学生的方程建立能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
9.「2025上海普陀期末，★☆」在“幻方拓展课程”探索中，小普在如图所示的$3×3$的方格内填入了一些数字及字母，如果方格中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，那么$x+y+z$的值是
15
。答案
解析 根据题意,得$\begin{cases}x+7+6=x+y+z, \\4+3+z=x+y+z, \\6+y+4=x+y+z,\end{cases}$ 即$\begin{cases}7+6=y+z①, \\4+3=x+y②, \\6+4=x+z③,\end{cases}$
(①+②+③)÷2,得x+y+z=15.
(①+②+③)÷2,得x+y+z=15.
解析
【分析】
本题利用幻方“各行、各列、对角线上三个数的和都相等”的性质解题，首先根据该性质列出含x、y、z的等量关系，消去等式两边相同的项后得到三组两个未知数的和的表达式，再通过整体相加的方式直接求出x+y+z的值，无需单独计算每个未知数，可简化计算步骤。
【解析】
根据幻方的性质，各行、各列、对角线三数之和相等，可列等式：
$\begin{cases}x+7+6=x+y+z \\4+3+z=x+y+z \\6+y+4=x+y+z\end{cases}$
化简消去等式两边相同的项，得：
$\begin{cases}y+z=13 \quad ① \\x+y=7 \quad ② \\x+z=10 \quad ③\end{cases}$
将①②③三个式子相加，左边为$2x+2y+2z=2(x+y+z)$，右边为$13+7+10=30$，即：
$2(x+y+z)=30$
两边同时除以2，得$x+y+z=15$。
【答案】
$15$
【知识点】
幻方的性质；三元一次方程组的应用；整体代入求值
【点评】
本题结合幻方特点考查方程思想和整体思想的应用，无需逐个求解未知数，通过整体运算即可得到结果，能锻炼学生灵活运用数学思想简化计算的能力。
【难度系数】
0.7
本题利用幻方“各行、各列、对角线上三个数的和都相等”的性质解题，首先根据该性质列出含x、y、z的等量关系，消去等式两边相同的项后得到三组两个未知数的和的表达式，再通过整体相加的方式直接求出x+y+z的值，无需单独计算每个未知数，可简化计算步骤。
【解析】
根据幻方的性质，各行、各列、对角线三数之和相等，可列等式：
$\begin{cases}x+7+6=x+y+z \\4+3+z=x+y+z \\6+y+4=x+y+z\end{cases}$
化简消去等式两边相同的项，得：
$\begin{cases}y+z=13 \quad ① \\x+y=7 \quad ② \\x+z=10 \quad ③\end{cases}$
将①②③三个式子相加，左边为$2x+2y+2z=2(x+y+z)$，右边为$13+7+10=30$，即：
$2(x+y+z)=30$
两边同时除以2，得$x+y+z=15$。
【答案】
$15$
【知识点】
幻方的性质；三元一次方程组的应用；整体代入求值
【点评】
本题结合幻方特点考查方程思想和整体思想的应用，无需逐个求解未知数，通过整体运算即可得到结果，能锻炼学生灵活运用数学思想简化计算的能力。
【难度系数】
0.7
