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10.「2026安徽亳州月考，★☆」信息安全保障越来越受到人们的重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为明文$a,b,c,d$分别对应密文$3a-b$，$2b+c$，$c+2d$，$-d$。例如，明文1,2,3,4对应密文1,7,11,−4。当接收方收到密文11,18,0,5时，解密得到的明文的四个数之和为
14
。答案
解析 因为-d=5,所以d=-5,
根据题意可得$\begin{cases}3a-b=11, \\2b+c=18, \\c+2×(-5)=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=5, \\b=4, \\c=10,\end{cases}$
所以a+b+c+d=5+4+10-5=14,即解密得到的明文的四个数之和为14.
根据题意可得$\begin{cases}3a-b=11, \\2b+c=18, \\c+2×(-5)=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=5, \\b=4, \\c=10,\end{cases}$
所以a+b+c+d=5+4+10-5=14,即解密得到的明文的四个数之和为14.
解析
【分析】
本题属于加密解密类的新定义运算问题，解题核心是理清密文与明文的对应关系，从含未知数最少的方程入手求解：首先观察加密规则，第四个密文对应的表达式仅含d，可直接求出d的值，再将d代入第三个表达式求出c，接着把c代入第二个表达式求出b，最后将b代入第一个表达式求出a，计算四个明文的和即可得到结果。
【解析】
根据加密规则，结合接收的密文11,18,0,5，可得以下等式：
$\begin{cases}3a-b=11① \\2b+c=18② \\c+2d=0③ \\-d=5④\end{cases}$
1. 解等式④：$-d=5$，解得$d=-5$；
2. 将$d=-5$代入等式③：$c+2×(-5)=0$，即$c-10=0$，解得$c=10$；
3. 将$c=10$代入等式②：$2b+10=18$，移项得$2b=8$，解得$b=4$；
4. 将$b=4$代入等式①：$3a-4=11$，移项得$3a=15$，解得$a=5$；
计算四个明文的和：$a+b+c+d=5+4+10+(-5)=14$。
【答案】
14
【知识点】
一元一次方程求解；代入消元法；新定义运算
【点评】
本题结合信息加密的生活场景考查方程的应用，解题的关键是找准密文与明文的对应关系，优先求解仅含单个未知数的方程，再通过逐步代入求出所有未知量，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题属于加密解密类的新定义运算问题，解题核心是理清密文与明文的对应关系，从含未知数最少的方程入手求解：首先观察加密规则，第四个密文对应的表达式仅含d，可直接求出d的值，再将d代入第三个表达式求出c，接着把c代入第二个表达式求出b，最后将b代入第一个表达式求出a，计算四个明文的和即可得到结果。
【解析】
根据加密规则，结合接收的密文11,18,0,5，可得以下等式：
$\begin{cases}3a-b=11① \\2b+c=18② \\c+2d=0③ \\-d=5④\end{cases}$
1. 解等式④：$-d=5$，解得$d=-5$；
2. 将$d=-5$代入等式③：$c+2×(-5)=0$，即$c-10=0$，解得$c=10$；
3. 将$c=10$代入等式②：$2b+10=18$，移项得$2b=8$，解得$b=4$；
4. 将$b=4$代入等式①：$3a-4=11$，移项得$3a=15$，解得$a=5$；
计算四个明文的和：$a+b+c+d=5+4+10+(-5)=14$。
【答案】
14
【知识点】
一元一次方程求解；代入消元法；新定义运算
【点评】
本题结合信息加密的生活场景考查方程的应用，解题的关键是找准密文与明文的对应关系，优先求解仅含单个未知数的方程，再通过逐步代入求出所有未知量，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
11.「★☆」如图,某汽车在相距72 km的A,B两地往返行驶,从A地到B地的行程中有一坡度均匀的小山,该汽车从A地到B地需要2 h 42 min,而从B地回到A地需要2 h 24 min.假设汽车在平地上的平均速度为30 km/h,上坡的平均速度为20 km/h,下坡的平均速度为40 km/h,从A地到B地的行程中,平路、上坡路、下坡路各是多少千米？
答案
解析 设从A地到B地的行程中,平路有x km、上坡路有y km、下坡路有z km,
2 h 42 min=2.7 h,2 h 24 min=2.4 h,
根据题意,得$\begin{cases}x+y+z=72, \\\frac{x}{30}+\frac{y}{20}+\frac{z}{40}=2.7, \\\frac{x}{30}+\frac{z}{20}+\frac{y}{40}=2.4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=36, \\y=24, \\z=12.\end{cases}$
答:从A地到B地的行程中,平路有36 km、上坡路有24 km、下坡路有12 km.
2 h 42 min=2.7 h,2 h 24 min=2.4 h,
根据题意,得$\begin{cases}x+y+z=72, \\\frac{x}{30}+\frac{y}{20}+\frac{z}{40}=2.7, \\\frac{x}{30}+\frac{z}{20}+\frac{y}{40}=2.4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=36, \\y=24, \\z=12.\end{cases}$
答:从A地到B地的行程中,平路有36 km、上坡路有24 km、下坡路有12 km.
解析
【分析】
这是行程类实际应用题，包含平路、上坡路、下坡路三个未知量，可通过设三个未知数建立三元一次方程组求解。首先梳理等量关系：①三段路程之和等于A、B两地总距离72km；②从A到B的总时间=平路行驶时间+上坡时间+下坡时间，注意先将时间单位统一换算为小时；③从B返回A时，原上坡路变为下坡路、原下坡路变为上坡路，总时间=平路行驶时间+原下坡路的上坡行驶时间+原上坡路的下坡行驶时间。列方程组后求解即可得到各段路程长度。
【解析】
先统一单位：$2\ \mathrm{h}\ 42\ \mathrm{min}=2+\frac{42}{60}=2.7\ \mathrm{h}$，$2\ \mathrm{h}\ 24\ \mathrm{min}=2+\frac{24}{60}=2.4\ \mathrm{h}$。
设从A地到B地的行程中，平路有$x\ \mathrm{km}$、上坡路有$y\ \mathrm{km}$、下坡路有$z\ \mathrm{km}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y+z=72, \\\frac{x}{30}+\frac{y}{20}+\frac{z}{40}=2.7, \\\frac{x}{30}+\frac{z}{20}+\frac{y}{40}=2.4,\end{cases}$
解方程组：先将后两个方程相减消去$x$，得到$y$与$z$的数量关系，再结合第一个方程和任意一个时间方程求解，最终得：
$\begin{cases}x=36, \\y=24, \\z=12.\end{cases}$
答：从A地到B地的行程中，平路有36 km、上坡路有24 km、下坡路有12 km。
【答案】
平路36 km，上坡路24 km，下坡路12 km
【知识点】
三元一次方程组的应用；行程问题公式应用
【点评】
本题核心是结合行程关系列三元一次方程组求解，易错点是忽略往返时上下坡路程互换，以及时间单位未统一，解题时抓住这两个注意点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是行程类实际应用题，包含平路、上坡路、下坡路三个未知量，可通过设三个未知数建立三元一次方程组求解。首先梳理等量关系：①三段路程之和等于A、B两地总距离72km；②从A到B的总时间=平路行驶时间+上坡时间+下坡时间，注意先将时间单位统一换算为小时；③从B返回A时，原上坡路变为下坡路、原下坡路变为上坡路，总时间=平路行驶时间+原下坡路的上坡行驶时间+原上坡路的下坡行驶时间。列方程组后求解即可得到各段路程长度。
【解析】
先统一单位：$2\ \mathrm{h}\ 42\ \mathrm{min}=2+\frac{42}{60}=2.7\ \mathrm{h}$，$2\ \mathrm{h}\ 24\ \mathrm{min}=2+\frac{24}{60}=2.4\ \mathrm{h}$。
设从A地到B地的行程中，平路有$x\ \mathrm{km}$、上坡路有$y\ \mathrm{km}$、下坡路有$z\ \mathrm{km}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y+z=72, \\\frac{x}{30}+\frac{y}{20}+\frac{z}{40}=2.7, \\\frac{x}{30}+\frac{z}{20}+\frac{y}{40}=2.4,\end{cases}$
解方程组：先将后两个方程相减消去$x$，得到$y$与$z$的数量关系，再结合第一个方程和任意一个时间方程求解，最终得：
$\begin{cases}x=36, \\y=24, \\z=12.\end{cases}$
答：从A地到B地的行程中，平路有36 km、上坡路有24 km、下坡路有12 km。
【答案】
平路36 km，上坡路24 km，下坡路12 km
【知识点】
三元一次方程组的应用；行程问题公式应用
【点评】
本题核心是结合行程关系列三元一次方程组求解，易错点是忽略往返时上下坡路程互换，以及时间单位未统一，解题时抓住这两个注意点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12.「2026广东广州开学测试，★☆」有A,B,C三种盐水，按A与B的质量之比为2:1混合，得到浓度为13%的盐水；按A与B的质量之比为1:2混合，得到浓度为14%的盐水.如果A,B,C的质量之比为1:1:3，那么混合成的盐水的浓度为10.2%.问盐水C的浓度是多少？
答案
解析 设盐水A的浓度是x,盐水B的浓度是y,盐水C的浓度是z,根据题意,得
$\begin{cases}2x+y=(2+1)×13\%, \\x+2y=(1+2)×14\%, \\x+y+3z=(1+1+3)×10.2\%,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=12\%, \\y=15\%, \\z=8\%.\end{cases}$
答:盐水C的浓度是8%.
$\begin{cases}2x+y=(2+1)×13\%, \\x+2y=(1+2)×14\%, \\x+y+3z=(1+1+3)×10.2\%,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=12\%, \\y=15\%, \\z=8\%.\end{cases}$
答:盐水C的浓度是8%.
解析
【分析】
这是一道结合浓度问题的三元一次方程组应用题，解题核心是抓住“混合前后溶质总质量不变”这一等量关系。我们可以先分别设A、B、C三种盐水的浓度为x、y、z：首先根据A、B两种不同质量比混合后的浓度，列出两个关于x、y的二元一次方程，先解出A和B的浓度；再结合A、B、C按比例混合后的浓度列出第三个方程，代入已求出的x、y的值，就能算出C的浓度。
【解析】
解：设盐水A的浓度为x，盐水B的浓度为y，盐水C的浓度为z，根据混合前后溶质总质量相等，列方程组得：
$\begin{cases}2x+y=(2+1)×13\% \\x+2y=(1+2)×14\% \\x+y+3z=(1+1+3)×10.2\%\end{cases}$
先化简前两个方程：
$2x + y = 0.39$ ①
$x + 2y = 0.42$ ②
①×2 - ②得：$3x=0.36$，解得$x=12\%$
把$x=12\%$代入①得：$2×12\% + y=0.39$，解得$y=15\%$
把$x=12\%$、$y=15\%$代入第三个方程：
$12\% + 15\% + 3z = 5×10.2\%$
$0.27 + 3z = 0.51$
解得$z=8\%$
【答案】8%
【知识点】
三元一次方程组应用，浓度问题，溶质守恒
【点评】
本题是典型的溶液混合类应用题，解题关键是找准混合前后溶质总质量不变的等量关系列方程，可先通过前两个条件求出A、B的浓度，再代入第三个条件求解C的浓度，计算难度低，理清等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
这是一道结合浓度问题的三元一次方程组应用题，解题核心是抓住“混合前后溶质总质量不变”这一等量关系。我们可以先分别设A、B、C三种盐水的浓度为x、y、z：首先根据A、B两种不同质量比混合后的浓度，列出两个关于x、y的二元一次方程，先解出A和B的浓度；再结合A、B、C按比例混合后的浓度列出第三个方程，代入已求出的x、y的值，就能算出C的浓度。
【解析】
解：设盐水A的浓度为x，盐水B的浓度为y，盐水C的浓度为z，根据混合前后溶质总质量相等，列方程组得：
$\begin{cases}2x+y=(2+1)×13\% \\x+2y=(1+2)×14\% \\x+y+3z=(1+1+3)×10.2\%\end{cases}$
先化简前两个方程：
$2x + y = 0.39$ ①
$x + 2y = 0.42$ ②
①×2 - ②得：$3x=0.36$，解得$x=12\%$
把$x=12\%$代入①得：$2×12\% + y=0.39$，解得$y=15\%$
把$x=12\%$、$y=15\%$代入第三个方程：
$12\% + 15\% + 3z = 5×10.2\%$
$0.27 + 3z = 0.51$
解得$z=8\%$
【答案】8%
【知识点】
三元一次方程组应用，浓度问题，溶质守恒
【点评】
本题是典型的溶液混合类应用题，解题关键是找准混合前后溶质总质量不变的等量关系列方程，可先通过前两个条件求出A、B的浓度，再代入第三个条件求解C的浓度，计算难度低，理清等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
13. 核心素养 运算能力 「2025江苏南通如皋月考」“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”。如图1，计算$47 × 51$，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行（沿虚线箭头）加起来，得2 397，如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，求a的值。
答案
解析 设3a的十位上的数字是m,个位上的数字是n,如图,
根据题意得$\begin{cases}n+1=-2+9, \\a+m=2a-2, \\3a=10m+n,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2, \\m=0, \\n=6,\end{cases}$
所以a的值为2.
解析
【分析】
解题首先要明确“格子乘法”的运算规则：①两个乘数分别写在格子的上方和右侧；②上方每个数字与右侧每个数字相乘，乘积的十位填在对应格子的左上三角区，个位填在右下三角区；③沿斜行从右下向左上相加，和写在对应斜行的下方或左侧。
首先设上方数字3与右侧数字a的乘积3a的十位数字为m，个位数字为n，再根据规则找三组等量关系：最下方斜行的和等于下方标注的-2+9，中间斜行的和等于左侧标注的2a-2，乘积3a可表示为10m+n，联立三个方程求解即可得到a的值。
【解析】
设3和a的乘积3a的十位数字为m，个位数字为n，根据格子乘法的运算规则列方程组：
$\begin{cases}n+1=-2+9 \\a+m=2a-2 \\3a=10m+n\end{cases}$
解第一个方程：$n+1=7$，得$n=6$；
整理第二个方程得$m=a-2$；
将$n=6$、$m=a-2$代入第三个方程：
$3a=10(a-2)+6$
$3a=10a-14$
$7a=14$
解得$a=2$，此时$m=0$，符合题意。
【答案】
a的值为2
【知识点】
新定义运算，三元一次方程组应用，数位表示
【点评】
本题结合我国传统数学中的“铺地锦”算法设置问题，既考查对新运算规则的阅读理解能力，又考查方程组的实际应用能力，解题核心是准确梳理各量的对应关系，正确列方程求解。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确“格子乘法”的运算规则：①两个乘数分别写在格子的上方和右侧；②上方每个数字与右侧每个数字相乘，乘积的十位填在对应格子的左上三角区，个位填在右下三角区；③沿斜行从右下向左上相加，和写在对应斜行的下方或左侧。
首先设上方数字3与右侧数字a的乘积3a的十位数字为m，个位数字为n，再根据规则找三组等量关系：最下方斜行的和等于下方标注的-2+9，中间斜行的和等于左侧标注的2a-2，乘积3a可表示为10m+n，联立三个方程求解即可得到a的值。
【解析】
设3和a的乘积3a的十位数字为m，个位数字为n，根据格子乘法的运算规则列方程组：
$\begin{cases}n+1=-2+9 \\a+m=2a-2 \\3a=10m+n\end{cases}$
解第一个方程：$n+1=7$，得$n=6$；
整理第二个方程得$m=a-2$；
将$n=6$、$m=a-2$代入第三个方程：
$3a=10(a-2)+6$
$3a=10a-14$
$7a=14$
解得$a=2$，此时$m=0$，符合题意。
【答案】
a的值为2
【知识点】
新定义运算，三元一次方程组应用，数位表示
【点评】
本题结合我国传统数学中的“铺地锦”算法设置问题，既考查对新运算规则的阅读理解能力，又考查方程组的实际应用能力，解题核心是准确梳理各量的对应关系，正确列方程求解。
【难度系数】
0.6
