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7.「★☆」现有 A,B 两种食品,每份食品的质量为50 g,其核心营养成分及能量如下表:
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 kcal能量和62 g蛋白质,应选用 A,B 两种食品各多少份?
(2)若小明午餐选用这两种食品共 300 g,从 A,B两种食品中摄入碳水化合物的总量为170 g,则他选用 A,B 两种食品各多少份?
(1)若要从这两种食品中摄入1 280 kcal能量和62 g蛋白质,应选用 A,B 两种食品各多少份?
(2)若小明午餐选用这两种食品共 300 g,从 A,B两种食品中摄入碳水化合物的总量为170 g,则他选用 A,B 两种食品各多少份?
答案
解析 (1)设应选用A种食品x份,B种食品y份,
根据题意得$\begin{cases} 240x+280y=1\ 280, \\ 12x+13y=62, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
答:应选用A种食品3份,B种食品2份.
(2)设他选用A种食品m份,B种食品n份,
根据题意得$\begin{cases} 50m+50n=300, \\ 29.8m+27.6n=170, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=2, \\ n=4. \end{cases}$
答:他选用A种食品2份,B种食品4份.
根据题意得$\begin{cases} 240x+280y=1\ 280, \\ 12x+13y=62, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
答:应选用A种食品3份,B种食品2份.
(2)设他选用A种食品m份,B种食品n份,
根据题意得$\begin{cases} 50m+50n=300, \\ 29.8m+27.6n=170, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=2, \\ n=4. \end{cases}$
答:他选用A种食品2份,B种食品4份.
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问需要找到两个等量关系：①A食品总能量+B食品总能量=1280kcal；②A食品总蛋白质质量+B食品总蛋白质质量=62g。设选用A食品x份、B食品y份，结合表格中每份的能量、蛋白质含量即可列方程组求解。
2. 第(2)问的等量关系为：①A食品总质量+B食品总质量=300g（每份质量为50g，总质量可用份数表示）；②A食品总碳水化合物质量+B食品总碳水化合物质量=170g。设选用A食品m份、B食品n份，结合已知条件列方程组求解即可。
【解析】
(1) 设应选用A种食品x份，B种食品y份，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 240x+280y=1280 \\ 12x+13y=62 \end{cases}$
化简第一个方程得$6x+7y=32$，将其乘2得$12x+14y=64$，与第二个方程相减得$y=2$，将$y=2$代入$12x+13y=62$，解得$x=3$。
即$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
答：应选用A种食品3份，B种食品2份。
(2) 设他选用A种食品m份，B种食品n份，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 50m+50n=300 \\ 29.8m+27.6n=170 \end{cases}$
化简第一个方程得$m+n=6$，即$m=6-n$，代入第二个方程得$29.8(6-n)+27.6n=170$，计算整理得$-2.2n=-8.8$，解得$n=4$，则$m=6-4=2$。
即$\begin{cases} m=2 \\ n=4 \end{cases}$
答：他选用A种食品2份，B种食品4份。
【答案】
(1) A种食品3份，B种食品2份；
(2) A种食品2份，B种食品4份。
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解方程组；等量关系分析
【点评】
本题是基础的实际应用题型，解题核心是准确提取题干和表格中的有效信息，找到两个独立的等量关系建立方程组，计算时可先化简方程降低运算难度，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问需要找到两个等量关系：①A食品总能量+B食品总能量=1280kcal；②A食品总蛋白质质量+B食品总蛋白质质量=62g。设选用A食品x份、B食品y份，结合表格中每份的能量、蛋白质含量即可列方程组求解。
2. 第(2)问的等量关系为：①A食品总质量+B食品总质量=300g（每份质量为50g，总质量可用份数表示）；②A食品总碳水化合物质量+B食品总碳水化合物质量=170g。设选用A食品m份、B食品n份，结合已知条件列方程组求解即可。
【解析】
(1) 设应选用A种食品x份，B种食品y份，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 240x+280y=1280 \\ 12x+13y=62 \end{cases}$
化简第一个方程得$6x+7y=32$，将其乘2得$12x+14y=64$，与第二个方程相减得$y=2$，将$y=2$代入$12x+13y=62$，解得$x=3$。
即$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
答：应选用A种食品3份，B种食品2份。
(2) 设他选用A种食品m份，B种食品n份，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 50m+50n=300 \\ 29.8m+27.6n=170 \end{cases}$
化简第一个方程得$m+n=6$，即$m=6-n$，代入第二个方程得$29.8(6-n)+27.6n=170$，计算整理得$-2.2n=-8.8$，解得$n=4$，则$m=6-4=2$。
即$\begin{cases} m=2 \\ n=4 \end{cases}$
答：他选用A种食品2份，B种食品4份。
【答案】
(1) A种食品3份，B种食品2份；
(2) A种食品2份，B种食品4份。
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解方程组；等量关系分析
【点评】
本题是基础的实际应用题型，解题核心是准确提取题干和表格中的有效信息，找到两个独立的等量关系建立方程组，计算时可先化简方程降低运算难度，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
8.「2026 安徽安庆望江月考，★☆」某水果店在去年8月份一共购进300个福建蜜柚和200个泰国青柚进行销售.已知每个泰国青柚的进价比每个福建蜜柚的进价多10元,且购进泰国青柚比福建蜜柚多花费1200元.已知福建蜜柚的销售价格为12元一个,泰国青柚的销售价格为24元一个,销售一段时间后发现福建蜜柚售出了总数的$\frac{2}{3}$,泰国青柚售出了总数的$\frac{3}{4}$,为了清仓,该店老板决定对剩下的福建蜜柚和泰国青柚以相同的折扣数打折销售,并很快全部售出.
(1)每个福建蜜柚和每个泰国青柚的进价分别为多少元?
(2)剩下的福建蜜柚和泰国青柚打几折,才能使这批水果的利润率为20%?
(1)每个福建蜜柚和每个泰国青柚的进价分别为多少元?
(2)剩下的福建蜜柚和泰国青柚打几折,才能使这批水果的利润率为20%?
答案
解析 (1)设每个福建蜜柚和每个泰国青柚的进价分别为x元、y元,
根据题意,得$\begin{cases} y=x+10, \\ 200y-300x=1\ 200, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=8, \\ y=18. \end{cases}$
答:每个福建蜜柚和每个泰国青柚的进价分别为8元、18元.
(2)设剩下的福建蜜柚和泰国青柚打a折,才能使这批水果的利润率为20%,
根据题意,得$\frac{2}{3}×300×(12-8)+\frac{3}{4}×200×(24-18)+$$\frac{1}{3}×300×(12×0.1a-8)+\frac{1}{4}×200×(24×0.1a-18)=$$(300×8+200×18)×20\%$,解得a=5.
答:剩下的福建蜜柚和泰国青柚打5折,才能使这批水果的利润率为20%.
根据题意,得$\begin{cases} y=x+10, \\ 200y-300x=1\ 200, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=8, \\ y=18. \end{cases}$
答:每个福建蜜柚和每个泰国青柚的进价分别为8元、18元.
(2)设剩下的福建蜜柚和泰国青柚打a折,才能使这批水果的利润率为20%,
根据题意,得$\frac{2}{3}×300×(12-8)+\frac{3}{4}×200×(24-18)+$$\frac{1}{3}×300×(12×0.1a-8)+\frac{1}{4}×200×(24×0.1a-18)=$$(300×8+200×18)×20\%$,解得a=5.
答:剩下的福建蜜柚和泰国青柚打5折,才能使这批水果的利润率为20%.
解析
【分析】
(1) 第一问可通过建立二元一次方程组求解，首先提取题干两个等量关系：①每个泰国青柚的进价比福建蜜柚多10元；②购进泰国青柚的总花费比购进福建蜜柚的总花费多1200元，设两个未知数代入等量关系列方程组即可求解。
(2) 第二问属于销售利润问题，核心等量关系为：总利润=总成本×利润率。总利润由四部分构成：已售出的$\frac{2}{3}$福建蜜柚的利润、已售出的$\frac{3}{4}$泰国青柚的利润、剩余打折销售的福建蜜柚的利润、剩余打折销售的泰国青柚的利润。设折扣为a折时，打折后售价为原价×0.1a，分别计算各部分利润相加等于总利润，列一元一次方程即可求解。
【解析】
(1) 设每个福建蜜柚的进价为x元，每个泰国青柚的进价为y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} y=x+10 \\ 200y-300x=1200 \end{cases}$
将$y=x+10$代入第二个方程，得$200(x+10)-300x=1200$，
展开计算：$200x+2000-300x=1200$，
移项合并同类项：$-100x=-800$，解得$x=8$，
代入$y=x+10$得$y=18$。
(2) 设剩下的福建蜜柚和泰国青柚打a折，才能使这批水果的利润率为20%，
首先计算这批水果的总成本：$300×8+200×18=6000$元，
总利润需要达到：$6000×20\%=1200$元，
根据总利润的构成列方程：
$\frac{2}{3}×300×(12-8)+\frac{3}{4}×200×(24-18)+\frac{1}{3}×300×(12×0.1a-8)+\frac{1}{4}×200×(24×0.1a-18)=1200$
化简各项：$800+900+120a-800+120a-900=1200$，
合并同类项得：$240a=1200$，解得$a=5$。
【答案】
(1) 每个福建蜜柚进价为8元，每个泰国青柚进价为18元；
(2) 剩下的福建蜜柚和泰国青柚打5折。
【知识点】
二元一次方程组应用，销售利润计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，重点考查提取等量关系、列方程求解的能力。第一问较为基础，找准两个等量关系即可快速作答；第二问需要理清各部分利润的构成，计算时注意折扣换算和剩余数量的计算，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可通过建立二元一次方程组求解，首先提取题干两个等量关系：①每个泰国青柚的进价比福建蜜柚多10元；②购进泰国青柚的总花费比购进福建蜜柚的总花费多1200元，设两个未知数代入等量关系列方程组即可求解。
(2) 第二问属于销售利润问题，核心等量关系为：总利润=总成本×利润率。总利润由四部分构成：已售出的$\frac{2}{3}$福建蜜柚的利润、已售出的$\frac{3}{4}$泰国青柚的利润、剩余打折销售的福建蜜柚的利润、剩余打折销售的泰国青柚的利润。设折扣为a折时，打折后售价为原价×0.1a，分别计算各部分利润相加等于总利润，列一元一次方程即可求解。
【解析】
(1) 设每个福建蜜柚的进价为x元，每个泰国青柚的进价为y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} y=x+10 \\ 200y-300x=1200 \end{cases}$
将$y=x+10$代入第二个方程，得$200(x+10)-300x=1200$，
展开计算：$200x+2000-300x=1200$，
移项合并同类项：$-100x=-800$，解得$x=8$，
代入$y=x+10$得$y=18$。
(2) 设剩下的福建蜜柚和泰国青柚打a折，才能使这批水果的利润率为20%，
首先计算这批水果的总成本：$300×8+200×18=6000$元，
总利润需要达到：$6000×20\%=1200$元，
根据总利润的构成列方程：
$\frac{2}{3}×300×(12-8)+\frac{3}{4}×200×(24-18)+\frac{1}{3}×300×(12×0.1a-8)+\frac{1}{4}×200×(24×0.1a-18)=1200$
化简各项：$800+900+120a-800+120a-900=1200$，
合并同类项得：$240a=1200$，解得$a=5$。
【答案】
(1) 每个福建蜜柚进价为8元，每个泰国青柚进价为18元；
(2) 剩下的福建蜜柚和泰国青柚打5折。
【知识点】
二元一次方程组应用，销售利润计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，重点考查提取等量关系、列方程求解的能力。第一问较为基础，找准两个等量关系即可快速作答；第二问需要理清各部分利润的构成，计算时注意折扣换算和剩余数量的计算，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
9. 核心素养应用意识「2026安徽淮北期末」某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如下表.
| | 甲种货车/辆 | 乙种货车/辆 | 运输总量/吨 |
| --- | --- | --- | --- |
| 第一次 | 4 |
5 | 31 |
| 第二次 | 3 | 6 | 30 |
(1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？
(2)该公司又新购买了45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？
(3)在(2)的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？最少费用是多少？
| | 甲种货车/辆 | 乙种货车/辆 | 运输总量/吨 |
| --- | --- | --- | --- |
| 第一次 | 4 |
5 | 31 || 第二次 | 3 | 6 | 30 |
(1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？
(2)该公司又新购买了45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？
(3)在(2)的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？最少费用是多少？
答案
解析 (1)设甲种货车满载时每辆能运输原料x吨,乙种货车满载时每辆能运输原料y吨,
根据题意,得$\begin{cases} 4x+5y=31, \\ 3x+6y=30, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=4, \\ y=3, \end{cases}$
答:甲种货车满载时每辆能运输原料4吨,乙种货车满载时每辆能运输原料3吨.
(2)设租用甲种货车m辆,乙种货车n辆,
根据题意,得4m+3n=45,则$m=\frac{45-3n}{4}$,
因为m,n均为正整数,
所以$\begin{cases} m=9, \\ n=3 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=6, \\ n=7 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=3, \\ n=11, \end{cases}$
所以共有3种租车方案,
方案1:租用9辆甲种货车,3辆乙种货车.
方案2:租用6辆甲种货车,7辆乙种货车.
方案3:租用3辆甲种货车,11辆乙种货车.
(3)方案1所需费用为300×9+200×3=3 300(元);
方案2所需费用为300×6+200×7=3 200(元);
方案3所需费用为300×3+200×11=3 100(元).
因为3 300＞3 200＞3 100,
所以方案3最省钱,即租用3辆甲种货车,11辆乙种货车最省钱,最少费用是3 100元.
根据题意,得$\begin{cases} 4x+5y=31, \\ 3x+6y=30, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=4, \\ y=3, \end{cases}$
答:甲种货车满载时每辆能运输原料4吨,乙种货车满载时每辆能运输原料3吨.
(2)设租用甲种货车m辆,乙种货车n辆,
根据题意,得4m+3n=45,则$m=\frac{45-3n}{4}$,
因为m,n均为正整数,
所以$\begin{cases} m=9, \\ n=3 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=6, \\ n=7 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=3, \\ n=11, \end{cases}$
所以共有3种租车方案,
方案1:租用9辆甲种货车,3辆乙种货车.
方案2:租用6辆甲种货车,7辆乙种货车.
方案3:租用3辆甲种货车,11辆乙种货车.
(3)方案1所需费用为300×9+200×3=3 300(元);
方案2所需费用为300×6+200×7=3 200(元);
方案3所需费用为300×3+200×11=3 100(元).
因为3 300＞3 200＞3 100,
所以方案3最省钱,即租用3辆甲种货车,11辆乙种货车最省钱,最少费用是3 100元.
解析
【分析】
(1) 要计算甲、乙两种货车的满载载重，可设两个未知数，根据两次运输“甲货车总运量+乙货车总运量=运输总量”的等量关系，列二元一次方程组即可求解。
(2) 已知总运输量为45吨，设租用甲、乙货车的数量分别为m、n辆，结合第一问求出的载重列出二元一次方程，再根据m、n均为正整数的限制，找出所有符合条件的解，即可得到所有租车方案。
(3) 要找最省钱的方案，只需根据每种方案的车辆数，分别计算对应的租金，再比较大小，费用最小的就是最优方案。
【解析】
(1) 设甲种货车满载时每辆能运输原料x吨，乙种货车满载时每辆能运输原料y吨，
根据题意，得$\begin{cases} 4x+5y=31 \\ 3x+6y=30 \end{cases}$，
化简第二个方程得$x+2y=10$，即$x=10-2y$，代入第一个方程解得$y=3$，再代入得$x=4$，
解得$\begin{cases} x=4 \\ y=3 \end{cases}$。
答：甲种货车满载时每辆能运输原料4吨，乙种货车满载时每辆能运输原料3吨。
(2) 设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
根据题意，得$4m+3n=45$，则$m=\frac{45-3n}{4}$，
因为m,n均为正整数，所以$45-3n$需为4的正整数倍，
解得符合条件的解为$\begin{cases} m=9 \\ n=3 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=6 \\ n=7 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=3 \\ n=11 \end{cases}$，
所以共有3种租车方案：
方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；
方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车。
(3) 分别计算三种方案的租金：
方案1所需费用为$300×9+200×3=3300$（元）；
方案2所需费用为$300×6+200×7=3200$（元）；
方案3所需费用为$300×3+200×11=3100$（元）。
因为$3300＞3200＞3100$，所以方案3费用最低。
答：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车最省钱，最少费用是3100元。
【答案】
(1) 甲种货车满载每辆运4吨，乙种货车满载每辆运3吨；
(2) 共3种租车方案：①租9辆甲种货车、3辆乙种货车；②租6辆甲种货车、7辆乙种货车；③租3辆甲种货车、11辆乙种货车；
(3) 租用3辆甲种货车、11辆乙种货车最省钱，最少费用为3100元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题结合实际运输场景，考查方程知识的实际应用，需要学生掌握方程组的解法，同时具备分类讨论的意识筛选合理方案，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要计算甲、乙两种货车的满载载重，可设两个未知数，根据两次运输“甲货车总运量+乙货车总运量=运输总量”的等量关系，列二元一次方程组即可求解。
(2) 已知总运输量为45吨，设租用甲、乙货车的数量分别为m、n辆，结合第一问求出的载重列出二元一次方程，再根据m、n均为正整数的限制，找出所有符合条件的解，即可得到所有租车方案。
(3) 要找最省钱的方案，只需根据每种方案的车辆数，分别计算对应的租金，再比较大小，费用最小的就是最优方案。
【解析】
(1) 设甲种货车满载时每辆能运输原料x吨，乙种货车满载时每辆能运输原料y吨，
根据题意，得$\begin{cases} 4x+5y=31 \\ 3x+6y=30 \end{cases}$，
化简第二个方程得$x+2y=10$，即$x=10-2y$，代入第一个方程解得$y=3$，再代入得$x=4$，
解得$\begin{cases} x=4 \\ y=3 \end{cases}$。
答：甲种货车满载时每辆能运输原料4吨，乙种货车满载时每辆能运输原料3吨。
(2) 设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
根据题意，得$4m+3n=45$，则$m=\frac{45-3n}{4}$，
因为m,n均为正整数，所以$45-3n$需为4的正整数倍，
解得符合条件的解为$\begin{cases} m=9 \\ n=3 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=6 \\ n=7 \end{cases}$ 或$\begin{cases} m=3 \\ n=11 \end{cases}$，
所以共有3种租车方案：
方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；
方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车。
(3) 分别计算三种方案的租金：
方案1所需费用为$300×9+200×3=3300$（元）；
方案2所需费用为$300×6+200×7=3200$（元）；
方案3所需费用为$300×3+200×11=3100$（元）。
因为$3300＞3200＞3100$，所以方案3费用最低。
答：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车最省钱，最少费用是3100元。
【答案】
(1) 甲种货车满载每辆运4吨，乙种货车满载每辆运3吨；
(2) 共3种租车方案：①租9辆甲种货车、3辆乙种货车；②租6辆甲种货车、7辆乙种货车；③租3辆甲种货车、11辆乙种货车；
(3) 租用3辆甲种货车、11辆乙种货车最省钱，最少费用为3100元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题结合实际运输场景，考查方程知识的实际应用，需要学生掌握方程组的解法，同时具备分类讨论的意识筛选合理方案，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
