数学
七年级
下册
1.「2026安徽蚌埠月考」要使算式$-3^2□[(-3)^2 - (-2)^3]$的计算结果最小，则在“□”里填入的运算符号应是（）

A.+
B.-
C.×
D.÷

1.C $-3^2=-9,(-3)^2-(-2)^3=9+8=17$,因为$-9+17=8,-9-17=-26,-9×17=-153,-9÷17=-\frac{9}{17},-153＜-26＜-\frac{9}{17}＜8$,所以要使计算结果最小,“□”里应填×.

【分析】
要找到使算式结果最小的运算符号，解题思路分为三步：第一步先正确计算出算式中固定部分的数值，也就是$-3^2$的值和中括号内$[(-3)^2 - (-2)^3]$的值；第二步将四个选项的运算符号分别代入算式，计算出四种情况下的结果；第三步比较四个结果的大小，最小结果对应的运算符号即为所求。计算时要特别注意乘方的符号规则，避免符号错误。
【解析】
首先计算固定部分的数值：
① 计算$-3^2$：根据乘方运算规则，$-3^2=-(3×3)=-9$；
② 计算中括号内的部分：$(-3)^2 - (-2)^3 = 9 - (-8) = 9 + 8 = 17$。
接下来分别代入四个运算符号计算结果：
填“$+$”时：$-9 + 17 = 8$；
填“$-$”时：$-9 - 17 = -26$；
填“$×$”时：$-9 × 17 = -153$；
填“$÷$”时：$-9 ÷ 17 = -\frac{9}{17}$。
最后比较结果大小：根据有理数大小比较规则，负数小于正数，且负数的绝对值越大数值越小，可得$-153 ＜ -26 ＜ -\frac{9}{17} ＜ 8$，因此填入“$×$”时结果最小。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算、有理数大小比较、有理数四则运算
【点评】
本题考查有理数的混合运算相关知识，解题的核心是先准确计算出固定部分的数值，再代入不同运算符号求解比较，需要注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的运算差异，避免出现符号计算错误。
【难度系数】
0.7

中科版
2. 学科特色易错题 在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是 （）
甲：$9 - 3^2 ÷ 8 = 0 ÷ 8 = 0$；
乙：$24 - 4 × 3^2 = 24 - 4 × 6 = 0$；
丙：$(36 - 12) ÷ \frac{3}{2} = 36 × \frac{2}{3} - 12 × \frac{2}{3} = 16$；
丁：$(-3)^2 ÷ \frac{1}{3} × 3 = 9 ÷ 1 = 9$。

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

2.C 甲:$9-3^2÷8=9-9÷8=7\frac{7}{8}$,故甲没有做对；
乙:$24-4×3^2=24-4×9=-12$,故乙没有做对；
丙:$(36-12)÷\frac{3}{2}=36×\frac{2}{3}-12×\frac{2}{3}=16$,故丙做对了；
丁:$(-3)^2÷\frac{1}{3}×3=9×3×3=81$,故丁没有做对.故选 C.

【分析】
本题需逐一判断四位同学的有理数运算是否正确，解题核心是牢记有理数混合运算规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算；有括号先算括号内的，也可合理运用运算律简化计算，我们按照该规则逐一验证四人的计算过程即可。
【解析】
我们逐个验证四位同学的计算：
1. 甲的计算：$9 - 3^2 ÷ 8$，先算乘方得$3^2=9$，再算除法得$9÷8=\frac{9}{8}$，最后算减法得$9-\frac{9}{8}=7\frac{7}{8}$，甲错误地先算减法，运算顺序错误，故甲做错。
2. 乙的计算：$24 - 4 × 3^2$，先算乘方得$3^2=9$，再算乘法得$4×9=36$，最后算减法得$24-36=-12$，乙将$3^2$错误计算为6，乘方运算错误，故乙做错。
3. 丙的计算：$(36 - 12) ÷ \frac{3}{2}$，除以$\frac{3}{2}$等价于乘$\frac{2}{3}$，运用乘法分配律可得$36×\frac{2}{3}-12×\frac{2}{3}=24-8=16$，计算完全正确，故丙做对。
4. 丁的计算：$(-3)^2 ÷ \frac{1}{3} × 3$，先算乘方得$(-3)^2=9$，后续是同级运算，从左到右依次计算得$9×3×3=81$，丁错误地先算右侧的乘法，运算顺序错误，故丁做错。
综上只有丙做对，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数混合运算的基础易错题，常见错误点包括运算顺序混淆、乘方计算错误、运算律使用不当，做题时需严格按照运算规则逐步计算，避免跳步出错。
【难度系数】
0.7

3.「2026 安徽马鞍山二十中期中」定义一种运算符号“★”：$a★b=a^2 - ab$，如$(-2)★3=(-2)^2 - (-2)×3=10$，那么$[(-3)★(-2)]★2$的结果是。

3.答案 3
解析 根据题意可知,$[(-3)★(-2)]★2=[(-3)^2-(-3)×(-2)]★2=(9-6)★2=3★2=3^2-3×2=3$.

【分析】
这是新定义运算类题目，首先明确“★”的运算规则：a★b等于第一个数的平方减去两个数的乘积。计算时遵循有理数混合运算的顺序，先算中括号内的(-3)★(-2)，再将所得结果与2进行★运算，每一步严格代入运算规则，注意计算过程中的符号处理即可。
【解析】
根据新定义的运算规则$a★b=a^2 - ab$，先计算内层括号的部分：
$(-3)★(-2)=(-3)^2 - (-3)×(-2)=9 - 6=3$
再计算外层的运算：
$3★2=3^2 - 3×2=9 - 6=3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算，有理数的混合运算
【点评】
本题核心考查对新运算规则的理解与应用，解题关键是严格遵循给定的运算规则、按照运算顺序分步计算，计算时注意辨别符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

4.计算:
(1)「2026安徽芜湖期末」$-1^2×[18-(-3)^2]÷9.$
(2)「2026安徽合肥中科大附中期末」$-2^2+|5-8|+24÷(-3)×\frac{1}{3}.$
(3)$(-1)^{1001}-\frac{1}{3}×[3-(-3)^3]+2÷(-\frac{1}{2}).$
(4)「2026安徽淮南期中」$-1^{2026}-(-5)^2×[1+(-\frac{1}{5})^2]÷(-26).$

4.解析 (1)原式$=-1×(18-9)÷9=-1×9÷9=-1.$
(2)原式$=-4+3+24×(-\frac{1}{3})×\frac{1}{3}=-1-\frac{8}{3}=-\frac{11}{3}.$
(3)原式$=-1-\frac{1}{3}×(3+27)+2×(-2)$
$=-1-\frac{1}{3}×30-4=-1-10-4=-15.$
(4)原式$=-1-25×(1+\frac{1}{25})×(-\frac{1}{26})$
$=-1-25×\frac{26}{25}×(-\frac{1}{26})=-1+1=0.$

【分析】
这组题目考查有理数的混合运算，解题时需严格遵循运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同级运算从左到右依次计算。解题时要特别注意符号判断：①区分带负号的乘方（如$-1^2=-1$，$(-1)^2=1$）；②负数的乘方奇偶次幂的符号差异；③乘除运算中负号的个数对结果符号的影响。每道题按照“先处理乘方/绝对值→算括号内→乘除运算→加减运算”的步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 原式$=-1×(18-9)÷9=-1×9÷9=-1$
(2) 原式$=-4+3+24×(-\frac{1}{3})×\frac{1}{3}=-1-\frac{8}{3}=-\frac{11}{3}$
(3) 原式$=-1-\frac{1}{3}×(3+27)+2×(-2)$
$=-1-\frac{1}{3}×30-4=-1-10-4=-15$
(4) 原式$=-1-25×(1+\frac{1}{25})×(-\frac{1}{26})$
$=-1-25×\frac{26}{25}×(-\frac{1}{26})=-1+1=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{11}{3}}$；(3) $\boldsymbol{-15}$；(4) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，绝对值化简
【点评】
这类题是有理数运算的基础题型，易错点集中在乘方的符号判断、运算顺序混乱以及分数运算失误，计算时要养成分步检查符号的习惯，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7

5.计算:$(-1)^4 ÷ [-3^2 × (-\frac{1}{3})^2 -2] × \frac{1}{3}.$
下面是小聪的解答过程.请认真阅读并完成下列相关问题.
解:原式$=1 ÷ (-9 × \frac{1}{9} -2) × \frac{1}{3}$ …………… 第一步
$=1 ÷ (-3) × \frac{1}{3}$ ……………………………… 第二步
$=1 ÷ (-1)$ ………………………………………… 第三步
$=-1.$ ……………………………………………… 第四步
(1)小聪的运算从第步开始出现错误,这一步错误的原因是.
(2)请写出正确的解答过程.

5.解析 (1)三;没有按照运算顺序计算.
(2)$(-1)^4÷[-3^2×(-\frac{1}{3})^2-2]×\frac{1}{3}$
$=1÷(-9×\frac{1}{9}-2)×\frac{1}{3}=1÷(-3)×\frac{1}{3}$
$=1×(-\frac{1}{3})×\frac{1}{3}=-\frac{1}{9}.$

【分析】
解决本题首先明确有理数混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算；同级运算需按照从左到右的顺序依次计算。
针对第(1)问，逐核对小聪的解答步骤：第一步计算所有乘方项，运算正确；第二步计算括号内的结果，运算正确；第三步属于同级乘除运算，小聪先计算右侧的乘法，违背了从左到右的运算规则，因此第三步出错。
针对第(2)问，修正运算顺序，按照规则从左到右依次计算乘除，即可得到正确结果。
【解析】
(1) 小聪的前两步运算均符合运算规则，第三步中乘除为同级运算，应从左到右依次计算，小聪优先计算了后面的$(-3)×\frac{1}{3}$，违背运算顺序，因此从第三步开始出现错误，错误原因是没有按照运算顺序计算。
(2) 正确解答过程：
$\begin{aligned}&(-1)^4 ÷ [-3^2 × (-\frac{1}{3})^2 -2] × \frac{1}{3}\\=&1 ÷ (-9 × \frac{1}{9} -2) × \frac{1}{3}\\=&1 ÷ (-1-2) × \frac{1}{3}\\=&1 ÷ (-3) × \frac{1}{3}\\=&1×(-\frac{1}{3})×\frac{1}{3}\\=&-\frac{1}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) 三；没有按照运算顺序计算
(2) $-\frac{1}{9}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数混合运算顺序
【点评】
本题主要考查有理数混合运算的运算规则，需要注意运算顺序的优先级，尤其是同级运算要严格遵循从左到右的计算顺序，不可随意调整运算顺序导致计算错误。
【难度系数】
0.7

6. 学科特色 分类讨论思想 「2026安徽滁州天长期中，★☆」若$a,b$互为相反数，$x,y$互为倒数，$p$是最大的负整数，$p,q$在数轴上对应的两点的距离是3，则$\frac{a+b}{p} + xy - q^2$的值是（）

A.-2
B.-3
C.-2或-12
D.-3或-15

6.D 由题意得,$a+b=0,xy=1,p=-1$,因为$p,q$在数轴上对应的两点的距离是3,所以$p-q=3$或$q-p=3$,所以$q=-4$或$q=2$,所以原式$=\frac{0}{-1}+1-(-4)^2=-15$或原式$=\frac{0}{-1}+1-2^2=-3$.故选 D.

【分析】
解题时先从题目给出的概念条件入手，逐一推导已知量的值：首先根据相反数、倒数、最大负整数的定义，分别求出a+b、xy、p的值；再结合数轴上两点距离的含义，两点距离为3说明两点对应的数的差的绝对值为3，此时需分类讨论q的两个可能取值；最后将所有值代入代数式计算两种情况的结果即可。
【解析】
解：由题意可得：
1. 因为a、b互为相反数，互为相反数的两个数和为0，所以$a+b=0$；
2. 因为x、y互为倒数，互为倒数的两个数乘积为1，所以$xy=1$；
3. 因为p是最大的负整数，所以$p=-1$；
4. 因为p、q在数轴上对应的两点距离是3，所以$|q-p|=3$，即$q - (-1) = 3$或$q - (-1) = -3$，解得$q=2$或$q=-4$。
将上述值代入代数式$\frac{a+b}{p} + xy - q^2$计算：
① 当$q=2$时，原式$=\frac{0}{-1} + 1 - 2^2 = 0 + 1 - 4 = -3$；
② 当$q=-4$时，原式$=\frac{0}{-1} + 1 - (-4)^2 = 0 + 1 - 16 = -15$。
所以代数式的值为-3或-15。
【答案】
D
【知识点】
相反数与倒数的性质；数轴上两点的距离；有理数混合运算
【点评】
本题综合考查了有理数的相关基础概念，解题的关键是熟练掌握相反数、倒数、数轴距离的相关性质，解题时需注意数轴上到定点距离为定值的点有两个，要分情况讨论，避免漏解，渗透了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.7