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7.「2026山东青岛即墨期中，★☆」对于有理数$a,b$定义一种新运算“※”：$a※b = \dfrac{ab - b^2}{2a}$，则$2※(-2) = $
-2
。答案
7.答案 -2
解析 由题意得,$2※(-2)=\frac{2×(-2)-(-2)^2}{2×2}=\frac{-4-4}{4}=-2.$
解析 由题意得,$2※(-2)=\frac{2×(-2)-(-2)^2}{2×2}=\frac{-4-4}{4}=-2.$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题首先要明确新运算“※”的运算规则，先确定所求式子中对应规则里的a、b的取值，再把数值代入运算公式，最后按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的）计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义$a※b = \dfrac{ab - b^2}{2a}$，在$2※(-2)$中，$a=2$，$b=-2$，代入公式得：
$2※(-2)=\dfrac{2×(-2)-(-2)^2}{2×2}$
先计算分子：$2×(-2)=-4$，$(-2)^2=4$，因此分子为$-4-4=-8$；
再计算分母：$2×2=4$；
最终计算得：$\dfrac{-8}{4}=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对新运算规则的理解能力和有理数混合运算的计算能力，解题时只要准确对应新运算中的参数，计算过程中注意符号问题就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题首先要明确新运算“※”的运算规则，先确定所求式子中对应规则里的a、b的取值，再把数值代入运算公式，最后按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的）计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义$a※b = \dfrac{ab - b^2}{2a}$，在$2※(-2)$中，$a=2$，$b=-2$，代入公式得：
$2※(-2)=\dfrac{2×(-2)-(-2)^2}{2×2}$
先计算分子：$2×(-2)=-4$，$(-2)^2=4$，因此分子为$-4-4=-8$；
再计算分母：$2×2=4$；
最终计算得：$\dfrac{-8}{4}=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对新运算规则的理解能力和有理数混合运算的计算能力，解题时只要准确对应新运算中的参数，计算过程中注意符号问题就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
8. 情境 数学文化 发展史 「2026 广东潮州期末，★☆」我们常用的是十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量。如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如$\overline{2513}=2×7^3 +5×7^2 +1×7^1 +3$）记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是
565
。答案
8.答案 565
解析 由题图得,孩子自出生后的天数是$1×7^3+4×7^2+3×7^1+5=565.$
解析 由题图得,孩子自出生后的天数是$1×7^3+4×7^2+3×7^1+5=565.$
解析
【分析】
解题时首先明确题目规则：本题采用七进制计数，满七进一，从右到左的绳子依次对应七进制的个位（$7^0$位）、$7^1$位、$7^2$位、$7^3$位。第一步先数出从右到左每根绳子上的结数，作为对应数位上的数字；第二步按照七进制转十进制的规则：将每个数位的数字乘对应位的权值（7的n次方，n从0开始从右往左递增），再按照有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减）计算总和即可得到结果。
【解析】
观察题图可知，从右到左每根绳子的结数依次为5、3、4、1，对应七进制数从低位到高位的数字。根据七进制转十进制的规则，孩子自出生后的天数计算如下：
$\begin{aligned}&1×7^3 + 4×7^2 + 3×7^1 + 5×7^0\\=&1×343 + 4×49 + 3×7 + 5×1\\=&343 + 196 + 21 + 5\\=&565\end{aligned}$
【答案】
565
【知识点】
进制转换，有理数混合运算，乘方运算
【点评】
本题以古代结绳计数的传统文化为背景，考查七进制转十进制的计算方法，需要学生准确理解进制规则，熟练掌握有理数混合运算的计算顺序，解题时注意不要搞反数位的左右顺序即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目规则：本题采用七进制计数，满七进一，从右到左的绳子依次对应七进制的个位（$7^0$位）、$7^1$位、$7^2$位、$7^3$位。第一步先数出从右到左每根绳子上的结数，作为对应数位上的数字；第二步按照七进制转十进制的规则：将每个数位的数字乘对应位的权值（7的n次方，n从0开始从右往左递增），再按照有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减）计算总和即可得到结果。
【解析】
观察题图可知，从右到左每根绳子的结数依次为5、3、4、1，对应七进制数从低位到高位的数字。根据七进制转十进制的规则，孩子自出生后的天数计算如下：
$\begin{aligned}&1×7^3 + 4×7^2 + 3×7^1 + 5×7^0\\=&1×343 + 4×49 + 3×7 + 5×1\\=&343 + 196 + 21 + 5\\=&565\end{aligned}$
【答案】
565
【知识点】
进制转换，有理数混合运算，乘方运算
【点评】
本题以古代结绳计数的传统文化为背景，考查七进制转十进制的计算方法，需要学生准确理解进制规则，熟练掌握有理数混合运算的计算顺序，解题时注意不要搞反数位的左右顺序即可。
【难度系数】
0.8
9.「2026吉林长春期末，★☆」如图，A,B,C,D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A→B→C→D的运算可列式为$(5×2-3)^2+4$，-2经过C→D→A→B的运算可列式为$[(-2)^2+4]×2-3$，则8经过B→D→A→C的运算结果为
324
。答案
9.答案 324
解析 根据题意,得$[(8-3+4)×2]^2=[(5+4)×2]^2=(9×2)^2=18^2=324.$
解析 根据题意,得$[(8-3+4)×2]^2=[(5+4)×2]^2=(9×2)^2=18^2=324.$
解析
【分析】
解题时首先明确四张卡片对应的运算：A为乘2，B为减3，C为平方，D为加4；接下来理清给定的运算顺序是B→D→A→C，即先对8执行B的运算，将所得结果执行D的运算，再将新的结果执行A的运算，最后将得到的结果执行C的运算；列式时根据运算先后合理添加括号，避免因运算优先级出错，最后按照有理数混合运算规则计算即可。
【解析】
根据题意，8经过B→D→A→C的运算，列式为：
$[(8 - 3 + 4)×2]^2$
第一步计算小括号内的运算：$8 - 3 = 5$，$5 + 4 = 9$；
第二步计算中括号内的乘法：$9×2 = 18$；
第三步计算平方：$18^2 = 324$。
【答案】
324
【知识点】
有理数混合运算，自定义运算，运算顺序
【点评】
本题属于自定义运算类基础题，核心是准确理解给定的运算顺序，正确列出算式，计算时注意运算优先级，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确四张卡片对应的运算：A为乘2，B为减3，C为平方，D为加4；接下来理清给定的运算顺序是B→D→A→C，即先对8执行B的运算，将所得结果执行D的运算，再将新的结果执行A的运算，最后将得到的结果执行C的运算；列式时根据运算先后合理添加括号，避免因运算优先级出错，最后按照有理数混合运算规则计算即可。
【解析】
根据题意，8经过B→D→A→C的运算，列式为：
$[(8 - 3 + 4)×2]^2$
第一步计算小括号内的运算：$8 - 3 = 5$，$5 + 4 = 9$；
第二步计算中括号内的乘法：$9×2 = 18$；
第三步计算平方：$18^2 = 324$。
【答案】
324
【知识点】
有理数混合运算，自定义运算，运算顺序
【点评】
本题属于自定义运算类基础题，核心是准确理解给定的运算顺序，正确列出算式，计算时注意运算优先级，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
10.「★☆」你玩过24点游戏吗？就是让你将给定的四个数，用加、减、乘、除、乘方运算（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果等于24.
(1)若给你四个数:3,-6,7,-9,请列出算式.
(2)若给你四个数:5,7,-1,5,请列出算式.
(1)若给你四个数:3,-6,7,-9,请列出算式.
(2)若给你四个数:5,7,-1,5,请列出算式.
答案
10.解析 (1)$3×7+(-6)-(-9)$.
(2)$5^{7-5}+(-1).$
(2)$5^{7-5}+(-1).$
解析
【分析】
解决24点问题的核心思路是先联想结果为24的常见运算组合（如3×8、4×6、25-1等），再结合给定数字优先凑出接近24的数值，最后用剩余数字调整，同时保证四个数都用且仅用一次，运算仅限加减乘除乘方。
(1)观察3、-6、7、-9四个数，先计算3×7=21，已经接近24，剩余数字为-6和-9，计算得-6-(-9)=3，21+3刚好为24，可组合出符合要求的算式。
(2)观察5、7、-1、5四个数，联想25-1=24的组合，5的平方为25，可通过7-5=2得到指数，剩余数字-1刚好用来调整得到24，可组合出符合要求的算式。
【解析】
(1)先算3乘7得21，再用剩余的-6减去-9得3，两者相加得24，计算验证：
$3×7 + (-6) - (-9) = 21 - 6 + 9 = 24$，四个数字均只用了1次，符合要求。
(2)先算7减5得到指数2，再算5的2次方得25，最后加剩余的-1得24，计算验证：
$5^{7-5} + (-1) = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$，四个数字均只用了1次，符合要求。
【答案】
(1)$3×7+(-6)-(-9)$
(2)$5^{7-5}+(-1)$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，四则运算应用
【点评】
本题是有理数运算的趣味题型，需要熟练掌握有理数加减乘除、乘方的运算法则，解题时可先凑出接近24的数值，再用剩余数字调整，多尝试不同运算组合即可得出结果。
【难度系数】
0.7
解决24点问题的核心思路是先联想结果为24的常见运算组合（如3×8、4×6、25-1等），再结合给定数字优先凑出接近24的数值，最后用剩余数字调整，同时保证四个数都用且仅用一次，运算仅限加减乘除乘方。
(1)观察3、-6、7、-9四个数，先计算3×7=21，已经接近24，剩余数字为-6和-9，计算得-6-(-9)=3，21+3刚好为24，可组合出符合要求的算式。
(2)观察5、7、-1、5四个数，联想25-1=24的组合，5的平方为25，可通过7-5=2得到指数，剩余数字-1刚好用来调整得到24，可组合出符合要求的算式。
【解析】
(1)先算3乘7得21，再用剩余的-6减去-9得3，两者相加得24，计算验证：
$3×7 + (-6) - (-9) = 21 - 6 + 9 = 24$，四个数字均只用了1次，符合要求。
(2)先算7减5得到指数2，再算5的2次方得25，最后加剩余的-1得24，计算验证：
$5^{7-5} + (-1) = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$，四个数字均只用了1次，符合要求。
【答案】
(1)$3×7+(-6)-(-9)$
(2)$5^{7-5}+(-1)$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，四则运算应用
【点评】
本题是有理数运算的趣味题型，需要熟练掌握有理数加减乘除、乘方的运算法则，解题时可先凑出接近24的数值，再用剩余数字调整，多尝试不同运算组合即可得出结果。
【难度系数】
0.7
11. 核心素养运算能力【概念学习】规定:求若干个相同的有理数(均不为0)的除法运算叫作除方,如$3÷3÷3,(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$等.类比有理数的乘方,我们把$3÷3÷3$记作$3^{③}$,读作“3的圈3次方”,$(-2)÷(-2)÷(-2)÷(-2)$记作$(-2)^{④}$,读作“-2的圈4次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$4^{③}=$
【深入思考】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?(此处不用作答)
(2)试一试,将下列运算结果直接写成幂的形式:$(-3)^{④}=$
(3)想一想:将一个非零有理数$a$的圈$n$($n$为正整数,且$n≥3$)次方写成幂的形式为
【灵活应用】
(4)计算:$-5^2÷(-\dfrac{1}{5})^{⑤}×(-\dfrac{1}{2})^{④}$.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$4^{③}=$
$\frac{1}{4}$
, $(-\dfrac{1}{2})^{④}=$4
.【深入思考】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?(此处不用作答)
(2)试一试,将下列运算结果直接写成幂的形式:$(-3)^{④}=$
$(-\frac{1}{3})^2$
;$4^{⑥}=$$(\frac{1}{4})^4$
;$(\dfrac{1}{2})^{⑤}=$$2^3$
.(3)想一想:将一个非零有理数$a$的圈$n$($n$为正整数,且$n≥3$)次方写成幂的形式为
$(\frac{1}{a})^{n-2}$
.【灵活应用】
(4)计算:$-5^2÷(-\dfrac{1}{5})^{⑤}×(-\dfrac{1}{2})^{④}$.
答案
11.解析 (1)$\frac{1}{4}$;4.
详解:$4^{③}=4÷4÷4=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4},(-\frac{1}{2})^{④}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2})×(-2)×(-2)×(-2)=4.$
(2)$(-\frac{1}{3})^2$;$(\frac{1}{4})^4$;$2^3.$
详解:$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^2$,
$4^{⑥}=4÷4÷4÷4÷4÷4=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^4$,
$(\frac{1}{2})^{⑤}=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×2×2×2×2=2^3.$
(3)$(\frac{1}{a})^{n-2}.$
(4)$-5^2÷(-\frac{1}{5})^{⑤}×(-\frac{1}{2})^{④}=-5^2÷(-5)^3×(-2)^2$
$=25×\frac{1}{125}×4=\frac{4}{5}.$
详解:$4^{③}=4÷4÷4=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4},(-\frac{1}{2})^{④}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2})×(-2)×(-2)×(-2)=4.$
(2)$(-\frac{1}{3})^2$;$(\frac{1}{4})^4$;$2^3.$
详解:$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^2$,
$4^{⑥}=4÷4÷4÷4÷4÷4=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^4$,
$(\frac{1}{2})^{⑤}=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×2×2×2×2=2^3.$
(3)$(\frac{1}{a})^{n-2}.$
(4)$-5^2÷(-\frac{1}{5})^{⑤}×(-\frac{1}{2})^{④}=-5^2÷(-5)^3×(-2)^2$
$=25×\frac{1}{125}×4=\frac{4}{5}.$
解析
【分析】
本题是新定义运算题型，解题核心是准确理解“除方”的定义：n个相同非零有理数连续相除就是这个数的圈n次方。解题思路如下：①第(1)问直接根据定义，把除方转化为连续除法，再转乘法计算即可；②第(2)问计算后观察结果与底数、圈的次方数的关系，把除方转化为幂的形式；③第(3)问通过第(2)问的例子总结通用规律，得到a的圈n次方的幂形式；④第(4)问先运用总结的规律把除方转化为乘方，再按照有理数混合运算的顺序（先乘方，后乘除，注意符号）计算即可。
【解析】
(1) 根据除方定义计算：
$4^{③}=4÷4÷4=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
$(-\frac{1}{2})^{④}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2})×(-2)×(-2)×(-2)=4$
(2) 将除方转化为幂的形式：
$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^2$
$4^{⑥}=4÷4÷4÷4÷4÷4=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^4$
$(\frac{1}{2})^{⑤}=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×2×2×2×2=2^3$
(3) 总结通用规律：非零有理数a的圈n次方（n≥3，n为正整数）是n个a连续相除，即
$a^{ⓝ}=a÷a÷\dots÷a（共n个a）=a×\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\dots×\frac{1}{a}（共n-1个\frac{1}{a}）=(\frac{1}{a})^{n-2}$
(4) 先将除方转化为幂，再按混合运算规则计算：
$-5^2÷(-\frac{1}{5})^{⑤}×(-\frac{1}{2})^{④}$
$=-25÷(-5)^{3}×(-2)^2$
$=-25÷(-125)×4$
$=\frac{1}{5}×4$
$=\frac{4}{5}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；$4$
(2) $(-\frac{1}{3})^2$；$(\frac{1}{4})^4$；$2^3$
(3) $(\frac{1}{a})^{n-2}$（$a≠0$，$n≥3$且n为正整数）
(4) $\frac{4}{5}$
【知识点】
新定义运算、有理数乘除运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义探究类题目，重点考查对新运算规则的理解能力和知识迁移能力，需要将陌生的除方运算转化为已经学过的乘除、乘方运算求解，计算过程中要格外注意符号判断和运算顺序，能有效锻炼运算能力。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算题型，解题核心是准确理解“除方”的定义：n个相同非零有理数连续相除就是这个数的圈n次方。解题思路如下：①第(1)问直接根据定义，把除方转化为连续除法，再转乘法计算即可；②第(2)问计算后观察结果与底数、圈的次方数的关系，把除方转化为幂的形式；③第(3)问通过第(2)问的例子总结通用规律，得到a的圈n次方的幂形式；④第(4)问先运用总结的规律把除方转化为乘方，再按照有理数混合运算的顺序（先乘方，后乘除，注意符号）计算即可。
【解析】
(1) 根据除方定义计算：
$4^{③}=4÷4÷4=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
$(-\frac{1}{2})^{④}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2})×(-2)×(-2)×(-2)=4$
(2) 将除方转化为幂的形式：
$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^2$
$4^{⑥}=4÷4÷4÷4÷4÷4=4×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=(\frac{1}{4})^4$
$(\frac{1}{2})^{⑤}=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×2×2×2×2=2^3$
(3) 总结通用规律：非零有理数a的圈n次方（n≥3，n为正整数）是n个a连续相除，即
$a^{ⓝ}=a÷a÷\dots÷a（共n个a）=a×\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×\dots×\frac{1}{a}（共n-1个\frac{1}{a}）=(\frac{1}{a})^{n-2}$
(4) 先将除方转化为幂，再按混合运算规则计算：
$-5^2÷(-\frac{1}{5})^{⑤}×(-\frac{1}{2})^{④}$
$=-25÷(-5)^{3}×(-2)^2$
$=-25÷(-125)×4$
$=\frac{1}{5}×4$
$=\frac{4}{5}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；$4$
(2) $(-\frac{1}{3})^2$；$(\frac{1}{4})^4$；$2^3$
(3) $(\frac{1}{a})^{n-2}$（$a≠0$，$n≥3$且n为正整数）
(4) $\frac{4}{5}$
【知识点】
新定义运算、有理数乘除运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义探究类题目，重点考查对新运算规则的理解能力和知识迁移能力，需要将陌生的除方运算转化为已经学过的乘除、乘方运算求解，计算过程中要格外注意符号判断和运算顺序，能有效锻炼运算能力。
【难度系数】
0.7
