1. 按一定规律排列的一列数依次为－3，8，－15，24，－35，…，按此规律排列下去，这列数中第n个数(n为正整数)为 （）

A.$n(n+2)$
B.$(-1)^n[(n+1)^2 -1]$
C.$(-1)^n(n^2 -1)$
D.$-n(n+1)$

1. B 根据题意,可知第 1 个数为$-3=(-1)^{1} ×[(1+1)^{2}-1]$,第 2 个数为$8=(-1)^{2} ×[(2+1)^{2}-1]$,第 3 个数为$-15=(-1)^{3} ×[(3+1)^{2}-1]$,第 4 个数为 $24=(-1)^{4} ×[(4+1)^{2}-1]$,第 5 个数为$-35=(-1)^{5} ×[(5+1)^{2}-1]$……第 $n$ 个数($n$ 为正整数)为$(-1)^{n}[(n+1)^{2}-1]$.

2. 一个小球落在数轴上的某点$ P_0 $（点$ P_0 $所表示的数为$ a $）处，第一次从点$ P_0 $处向右跳1个单位长度到点$ P_1 $处，第二次从点$ P_1 $处向左跳2个单位长度到点$ P_2 $处，第三次从点$ P_2 $处向右跳3个单位长度到点$ P_3 $处，第四次从点$ P_3 $处向左跳4个单位长度到点$ P_4 $处……若小球按以上规律跳了$ (2n+3) $次，则它落在数轴上的点$ P_{2n+3} $处所表示的数是（）

A.$ a+n $
B.$ a+n+2 $
C.$ a+n-1 $
D.$ a+n+3 $

2. B 因为点$ P_0 $所表示的数是 a,所以点$ P_1 $所表示的数是 a+1,点$ P_2 $所表示的数是 a+1-2=a-1,点$ P_3 $所表示的数是 a-1+3=a+2,点$ P_4 $所表示的数是 a+2-4=a-2,点$ P_5 $所表示的数是 a-2+5=a+3,点$ P_6 $所表示的数是 a+3-6=a-3……所以当 k 为奇数时,点 P_k 表示的数为$ a+\dfrac{k+1}{2};$当 k 为偶数时,点 P_k 表示的数为$ a-\dfrac{k}{2}(k≥ 1,$且 k 为整数).因为 2n+3 是奇数,所以点$ P_{2n+3} $表示的数为$ a+\dfrac{2n+3+1}{2}=a+n+2.$

3. 按规律排列的一组数如下：$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$，$□$，$\frac{7}{17}$，$\frac{9}{26}$，$\frac{11}{37}$，…，其中，$□$内应填的数是。

3. $\dfrac{1}{2}$ 观察这组数,发现分子为连续的奇数,分母为对应数所在序号的平方加 1,所以第 $n$ 个数为 $\dfrac{2n-1}{n^2+1}$. 所以当$n=3$ 时,$\dfrac{2n-1}{n^2+1}=\dfrac{2× 3-1}{3^2+1}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$,即$□$内应填的数是$\dfrac{1}{2}$.

4. 如图,用棋子按以下规律摆图形,则摆第n个图形需要棋子 （）

A.3n枚
B.(3n−1)枚
C.(3n+1)枚
D.(3n+2)枚

4. D 因为第 1 个图形有 5 枚棋子,结合图形,棋子枚数可以看作是 $3+2=3× 1+2$;第 2 个图形有 8 枚棋子,结合图形,棋子的枚数可以看作是 $3+3+2=3× 2+2$;第 3 个图形有 11 枚棋子,结合图形,棋子的枚数可以看作是 $3+3+3+2=3× 3+2$……所以第 $n$ 个图形需要棋子 $(3n+2)$ 枚.

5. 如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成图形，第1个图形中“●”的个数为$a_1$，第2个图形中“●”的个数为$a_2$，第3个图形中“●”的个数为$a_3$……以此类推，则第$n$（$n$为正整数）个图形中“●”的个数为，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_8}$的值为。

5. $(n+1)^2-1\quad \dfrac{29}{45}$ 由题图,可知第 1 个图形中“●”的个数为 $a_1=3=2^2-1$,第 2 个图形中“●”的个数为 $a_2=8=3^2-1$,第 3 个图形中“●”的个数为 $a_3=15=4^2-1$……所以第 $n$ 个图形中“●”的个数为 $a_n=(n+1)^2-1$,则$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\dots+\dfrac{1}{a_8}=\dfrac{1}{2^2-1}+\dfrac{1}{3^2-1}+\dfrac{1}{4^2-1}+\dots+\dfrac{1}{9^2-1}=\dfrac{1}{1× 3}+\dfrac{1}{2× 4}+\dfrac{1}{3× 5}+\dots+\dfrac{1}{8× 10}=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{10})=\dfrac{1}{2}×(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{58}{45}=\dfrac{29}{45}$.

6. 观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式.
（1）第6层等号右侧的第一个数是，第n层等号右侧的第一个数是（用含n的代数式表示，n是正整数）.
（2）数2023排在第几层？
（3）求第99层等号右侧最后三个数的和.

6. (1) $43;n^2+n+1$. 由题图,知第 6 层等号左侧的第一个数是 $6^2=36$,所以第 6 层等号右侧的第一个数是 $36+6+1=43$. 因为第 $n$ 层等号左侧的第一个数是 $n^2$,所以第 $n$ 层等号右侧的第一个数是 $n^2+n+1$. (2) 由题意,知第 $n$ 层等号左侧的第一个数是 $n^2$. 因为 $44^2=1\ 936,45^2=2\ 025$,所以 $44^2＜2\ 023＜45^2$. 所以数 2023 排在第 44 层. (3) 由题意,知第 99 层等号右侧最后三个数是 $100^2-1$,$100^2-2$,$100^2-3$. 所以 $(100^2-1)+(100^2-2)+(100^2-3)=3× 10\ 000-6=29\ 994$. 所以第 99 层等号右侧最后三个数的和为 29 994.