登录
1. 一般情况下,对于数$a$和$b$,$\frac{a}{2}+\frac{b}{4}≠\frac{a+b}{2+4}$(“≠”不等号),但是对于某些特殊的数$a$和$b$,$\frac{a}{2}+\frac{b}{4}=\frac{a+b}{2+4}$.我们把这些特殊的数$a$和$b$,称为“理想数对”,记作$(a,b)$.例如:当$a=1,b=-4$时,有$\frac{1}{2}+\frac{-4}{4}=\frac{1+(-4)}{2+4}$,那么$(1,-4)$就是“理想数对”.
(1)$(3,-12),(-2,4)$可以称为“理想数对”的是
(2)若$(m,n)$是“理想数对”,求$3[(9n-4m)-8(n-\frac{7}{6}m)]-4m-12$的值.
(1)$(3,-12),(-2,4)$可以称为“理想数对”的是
(3,-12)
.(2)若$(m,n)$是“理想数对”,求$3[(9n-4m)-8(n-\frac{7}{6}m)]-4m-12$的值.
答案
(1) $(3,-12)$. 因为$\frac{3}{2}+\frac{-12}{4}=\frac{3-12}{2+4}=-\frac{3}{2}$,所以$(3,-12)$是“理想数对”. 因为$\frac{-2}{2}+\frac{4}{4}=0,\frac{-2+4}{2+4}=\frac{1}{3}$,$0≠\frac{1}{3}$,所以$(-2,4)$不是理想数对.
(2) 因为$(m,n)$是“理想数对”,所以$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m+n}{2+4}$,即$n=-4m$. 原式$=3( 9n-4m-8n+\frac{28}{3}m )-4m-12=27n-12m-24n+28m-4m-12=3n+12m-12$. 将$n=-4m$代入,得原式$=-12m+12m-12=-12$.
(2) 因为$(m,n)$是“理想数对”,所以$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m+n}{2+4}$,即$n=-4m$. 原式$=3( 9n-4m-8n+\frac{28}{3}m )-4m-12=27n-12m-24n+28m-4m-12=3n+12m-12$. 将$n=-4m$代入,得原式$=-12m+12m-12=-12$.
2. 阅读以下材料，解答问题.
一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式.例如：式子$abc$中任意两个字母交换位置，可得到式子$bac$，$acb$，$cba$，因为$abc = bac = acb = cba$，所以$abc$是对称式.而式子$a - b$中字母$a$，$b$交换位置，得到式子$b - a$，因为$a - b ≠ b - a$，所以$a - b$不是对称式.
（1）给出下列式子：① $a + b + c$；② $a^2b$；③ $a^2 + b^2$.其中，是对称式的为________（填序号）.
（2）① 写出一个系数为$-2$，只含有字母$a$，$b$且次数为8的单项式，使该单项式是对称式.
② 写出一个只含有字母$a$，$b$的三次三项式，使该多项式是对称式.
（3）已知$A = a^2b - 2b^2c + 2ac^2$，$B = a^2b - 4b^2c$，求$5A - 3B$，并判断所得结果是否是对称式.
一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式.例如：式子$abc$中任意两个字母交换位置，可得到式子$bac$，$acb$，$cba$，因为$abc = bac = acb = cba$，所以$abc$是对称式.而式子$a - b$中字母$a$，$b$交换位置，得到式子$b - a$，因为$a - b ≠ b - a$，所以$a - b$不是对称式.
（1）给出下列式子：① $a + b + c$；② $a^2b$；③ $a^2 + b^2$.其中，是对称式的为________（填序号）.
（2）① 写出一个系数为$-2$，只含有字母$a$，$b$且次数为8的单项式，使该单项式是对称式.
② 写出一个只含有字母$a$，$b$的三次三项式，使该多项式是对称式.
（3）已知$A = a^2b - 2b^2c + 2ac^2$，$B = a^2b - 4b^2c$，求$5A - 3B$，并判断所得结果是否是对称式.
答案
(1) ①③. $a+b+c=a+c+b=b+a+c=c+b+a$.故①是对称式.$a^2b≠b^2a$.故②不是对称式.$a^2+b^2=b^2+a^2$.故③是对称式.
(2) ① 根据题意,可写出对称式为$-2a^4b^4$. ② 根据题意,写出对称式为$a^2b+ab^2+1$(答案不唯一).
(3) 因为$A=a^2b-2b^2c+2ac^2$,$B=a^2b-4b^2c$,所以$5A-3B=5(a^2b-2b^2c+2ac^2)-3(a^2b-4b^2c)=5a^2b-10b^2c+10ac^2-3a^2b+12b^2c=2a^2b+2b^2c+10ac^2$.根据对称式的定义,可知$2a^2b+2b^2c+10ac^2$不是对称式.
(2) ① 根据题意,可写出对称式为$-2a^4b^4$. ② 根据题意,写出对称式为$a^2b+ab^2+1$(答案不唯一).
(3) 因为$A=a^2b-2b^2c+2ac^2$,$B=a^2b-4b^2c$,所以$5A-3B=5(a^2b-2b^2c+2ac^2)-3(a^2b-4b^2c)=5a^2b-10b^2c+10ac^2-3a^2b+12b^2c=2a^2b+2b^2c+10ac^2$.根据对称式的定义,可知$2a^2b+2b^2c+10ac^2$不是对称式.
