1 如图，$△ ACB$ 和 $△ DCE$ 均为等腰三角形，点$A$，$D$，$E$ 在同一条直线上，连接 $BE$，$∠ CAB=∠ CBA=∠ CDE=∠ CED=50°$.
（1）求证：$AD=BE$；
（2）$∠ AEB$ 的度数为 .

(1) $\because ∠ CAB=∠ CBA=∠ CDE=∠ CED=50°, \therefore CA=CB, CD=CE, ∠ ACB=∠ DCE=180°-2×50°=80°.$
$\therefore ∠ ACB-∠ DCB=∠ DCE-∠ DCB,即∠ ACD=∠ BCE.$ 在$△ ACD$ 和$△ BCE$ 中,$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ ACD=∠ BCE, \\ CD=CE, \end{cases} \therefore △ ACD ≌ △ BCE.$
$\therefore AD=BE$
(2) $80°$ 【解析】设AE与BC交于点O. $\because △ ACD ≌ △ BCE,$
$\therefore ∠ CAD = ∠ CBE. \because ∠ COA = ∠ BOE, \therefore ∠ ACO=∠ BEO=80°,即∠ AEB=80°.$

【分析】
（1）要证明AD=BE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先根据已知相等的底角，结合等腰三角形“等角对等边”可得CA=CB、CD=CE，再由三角形内角和算出两个等腰三角形的顶角度数相等，通过角的和差推出∠ACD=∠BCE，即可利用SAS证明△ACD≌△BCE，进而得到AD=BE。
（2）求∠AEB的度数可借助第一问的全等结论：由全等可得对应角∠CAD=∠CBE，再结合AE与BC相交形成的对顶角相等，利用三角形内角和的性质即可推出∠AEB与∠ACB相等，代入数值计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases} CA=CB \\ ∠ACD=∠BCE \\ CD=CE \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE。
（2）设AE与BC交于点O，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又
∵∠COA=∠BOE（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得∠ACO=∠BEO=80°，即∠AEB=80°。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形“手拉手”模型的典型习题，核心是通过全等三角形实现线段和角的等量转化，解题的关键是先利用等腰三角形的性质得到边、角的等量关系，再通过角的和差构造全等三角形的判定条件，属于几何全等应用的基础题型。
【难度系数】
0.7

2 如图①，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE$，且点$B$，$A$，$D$在同一条直线上，连接$BE$，$CD$，$M$，$N$分别为$BE$，$CD$的中点，连接$AM$，$AN$，$MN$。
（1）求证：
① $BE=CD$；
② $AM=AN$。
（2）在图①的基础上，将$△ ADE$绕点$A$按顺时针方向旋转$180°$，其他条件不变，得到如图②所示的图形。请判断（1）中的两个结论是否仍然成立，并说明理由。

(1) ① $\because ∠ BAC=∠ DAE, \therefore ∠ BAC+∠ CAE=∠ DAE+∠ CAE, 即 ∠ BAE = ∠ CAD.$ 在 $△ BAE$ 和 $△ CAD$ 中,$\begin{cases} BA=CA, \\ ∠ BAE=∠ CAD, \\ AE=AD, \end{cases} \therefore △ BAE ≌ △ CAD. \therefore BE = CD$
② $\because △ BAE ≌ △ CAD, \therefore ∠ ABE=∠ ACD.$ 由①, 知 $BE=CD$, 又$\because M,N$ 分别为 $BE,CD$ 的中点, $\therefore BM=CN.$ 在$△ ABM$ 和 $△ ACN$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ ABM=∠ ACN, \\ BM=CN, \end{cases} \therefore △ ABM ≌ △ ACN. \therefore AM=AN$
(2) (1)中的两个结论仍然成立 理由：由题意,易得点A,D,B在同一条直线上. 在$△ BAE$ 和$△ CAD$ 中,$\begin{cases} BA=CA, \\ ∠ BAE=∠ CAD, \\ AE=AD, \end{cases} \therefore △ BAE ≌ △ CAD. \therefore ∠ ABE=∠ ACD, BE=CD. \because M,N$ 分别为 $BE,CD$ 的中点, $\therefore BM=CN.$ 在$△ ABM$ 和$△ ACN$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ ABM=∠ ACN, \\ BM=CN, \end{cases} \therefore △ ABM ≌ △ ACN. \therefore AM=AN.$

【分析】
（1）①要证明$BE=CD$，可通过证明$BE$、$CD$所在的$△ BAE$和$△ CAD$全等来推导。已知$AB=AC$、$AD=AE$，结合$∠ BAC=∠ DAE$，通过角的和差可得到两个三角形的夹角$∠ BAE=∠ CAD$，满足SAS全等判定条件，即可证全等得到对应边相等。
②要证明$AM=AN$，可证明$AM$、$AN$所在的$△ ABM$和$△ ACN$全等。由①的全等可得$∠ ABE=∠ ACD$，结合$M$、$N$是$BE$、$CD$的中点，可得$BM=CN$，再搭配$AB=AC$的条件，用SAS即可证全等得到$AM=AN$。
（2）$△ ADE$旋转后，边、角的等量关系不发生改变，仍然按照（1）的思路，先证$△ BAE≌△ CAD$得到$BE=CD$和对应角相等，再证$△ ABM≌△ ACN$得到$AM=AN$，即可判断两个结论均成立。
【解析】
(1) ① $\because ∠ BAC=∠ DAE, \therefore ∠ BAC+∠ CAE=∠ DAE+∠ CAE,$ 即 $∠ BAE = ∠ CAD.$
在 $△ BAE$ 和 $△ CAD$ 中,
$\begin{cases} BA=CA, \\ ∠ BAE=∠ CAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BAE ≌ △ CAD\ (\mathrm{SAS}),$
$\therefore BE = CD.$
② $\because △ BAE ≌ △ CAD, \therefore ∠ ABE=∠ ACD.$
由①知 $BE=CD$, 又$\because M,N$ 分别为 $BE,CD$ 的中点, $\therefore BM=\frac{1}{2}BE,CN=\frac{1}{2}CD$，即$BM=CN.$
在$△ ABM$ 和 $△ ACN$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ ABM=∠ ACN, \\ BM=CN, \end{cases}$
$\therefore △ ABM ≌ △ ACN\ (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AM=AN.$
(2) （1）中的两个结论仍然成立，理由如下：
由旋转的性质可得$∠BAE=∠CAD$，在$△ BAE$ 和$△ CAD$ 中,
$\begin{cases} BA=CA, \\ ∠ BAE=∠ CAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BAE ≌ △ CAD\ (\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ ABE=∠ ACD, BE=CD.$
$\because M,N$ 分别为 $BE,CD$ 的中点, $\therefore BM=\frac{1}{2}BE,CN=\frac{1}{2}CD$，即$BM=CN.$
在$△ ABM$ 和$△ ACN$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ ABM=∠ ACN, \\ BM=CN, \end{cases}$
$\therefore △ ABM ≌ △ ACN\ (\mathrm{SAS}),$
$\therefore AM=AN.$
【答案】
(1) ①$BE=CD$，证明成立；②$AM=AN$，证明成立；
(2) （1）中的两个结论仍然成立，理由见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角的和差计算
3. 旋转的性质
【点评】
本题是典型的“手拉手”全等模型的应用，图形旋转不会改变边和角的等量关系，解题核心是找准共顶点的等线段、等角条件，通过证明三角形全等推导出对应边相等的结论，有助于提升对图形变换中不变量的分析能力。
【难度系数】
0.7

3 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$P$ 是 $△ ABC$ 外一点，且 $∠ ABP + ∠ ACP = 180°$，求证：$PB + PC = PA$。

如图,延长 PC 到点 D,使 CD=PB,连接 AD. $\because ∠ ABP+∠ ACP=180°, ∠ ACP+∠ ACD=180°, \therefore ∠ ABP=∠ ACD.$
$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB = AC, ∠ BAC = 60°.$
$\therefore △ ABP ≌ △ ACD. \therefore AP = AD, ∠ BAP = ∠ CAD.$
$\because ∠ BAP+∠ PAC=∠ BAC=60°, \therefore ∠ CAD+∠ PAC=60°,即∠ PAD=60°. \therefore △ PAD$ 是等边三角形. $\therefore PA=PD=PC+CD. \therefore PB+PC=PA$

【分析】
要证明PB+PC=PA，属于线段和差类证明问题，通常采用“截长补短”的思路求解。已知∠ABP+∠ACP=180°，而∠ACP与它的邻补角∠ACD互补，因此可选择“补短”法：延长PC到点D，使CD=PB，只需证明PA=PD即可。后续结合等边三角形的边角性质，先证△ABP与△ACD全等，再证明△PAD为等边三角形，即可得到PA=PD，进而推导出待证结论。
【解析】
证明：延长PC到点D，使CD=PB，连接AD。
∵ ∠ABP + ∠ACP = 180°，∠ACP + ∠ACD = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠ABP = ∠ACD（同角的补角相等）。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°。
在△ABP和△ACD中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠ABP=∠ACD\\ PB=CD\end{array} $
∴ △ABP ≌ △ACD（SAS），
∴ AP = AD，∠BAP = ∠CAD。
∵ ∠BAP + ∠PAC = ∠BAC = 60°，
∴ ∠CAD + ∠PAC = 60°，即∠PAD = 60°。
又
∵ AP = AD，
∴ △PAD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ PA = PD。
∵ PD = PC + CD，且CD = PB，
∴ PB + PC = PA。
【答案】
如图,延长 PC 到点 D,使 CD=PB,连接 AD.
$\because ∠ ABP+∠ ACP=180°, ∠ ACP+∠ ACD=180°, \therefore ∠ ABP=∠ ACD.$
$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB = AC, ∠ BAC = 60°.$
$\therefore △ ABP ≌ △ ACD. \therefore AP = AD, ∠ BAP = ∠ CAD.$
$\because ∠ BAP+∠ PAC=∠ BAC=60°, \therefore ∠ CAD+∠ PAC=60°,即∠ PAD=60°. \therefore △ PAD$ 是等边三角形. $\therefore PA=PD=PC+CD. \therefore PB+PC=PA$

【知识点】
截长补短法、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何线段和差证明的典型习题，将补角性质、全等三角形与等边三角形的知识有机结合，构造全等三角形实现线段转化是解题的关键，能有效锻炼几何辅助线构造能力与综合推理能力。
【难度系数】
0.6

4 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(1,0)$,以线段 OA 为边在第四象限内作等边三角形 AOB,C 为 x 轴正半轴上一动点$(OC＞1)$,连接 BC,以线段 BC 为边在第四象限内作等边三角形 CBD,连接 DA 并延长,交 y 轴于点 E.
(1) 判断$△ OBC$与$△ ABD$是否全等,并说明理由;
(2) 当点 C 运动到什么位置时,以 A,E,C 为顶点的三角形是等腰三角形?

(1) $△ OBC ≌ △ ABD$ 理由: $\because △ AOB, △ CBD$ 都是等边三角形, $\therefore OB=AB, CB=DB, ∠ BOA=∠ OAB=∠ OBA=∠ DBC=60°. \therefore ∠ OBA + ∠ ABC = ∠ DBC + ∠ ABC, 即∠ OBC=∠ ABD.$ 在$△ OBC$ 和$△ ABD$ 中,$\begin{cases} OB=AB, \\ ∠ OBC=∠ ABD, \\ CB=DB, \end{cases}$
$\therefore △ OBC ≌ △ ABD.$ (2) $\because △ OBC ≌ △ ABD, \therefore ∠ BOC=∠ BAD=60°.$ 又$\because ∠ OAB=60°, \therefore ∠ OAE=180°-60°-60°=60°. \therefore ∠ EAC=120°, ∠ OEA=30°. \therefore$ 当以 A,E,C 为顶点的三角形是等腰三角形时,AE 和 AC 是腰. $\because A(1,0), \therefore OA=1.$ 在$\mathrm{Rt}△ AOE$ 中, $\because ∠ OEA=30°, \therefore AE=2OA=2.$
$\therefore AC=AE=2. \therefore OC=OA+AC=1+2=3. \therefore C(3,0). \therefore$ 当点 C 的坐标为$(3,0)$时,以 A,E,C 为顶点的三角形是等腰三角形

【分析】
(1) 要判断两个三角形是否全等，结合已知两个等边三角形的条件，先得到等边三角形的对应边相等、内角为60°，再通过角的和差推导两边的夹角相等，即可用SAS判定全等。
(2) 先利用第一问的全等结论推导角的度数，得到∠EAC=120°，可知等腰△AEC中120°只能为顶角，即腰为AE和AC；再在Rt△AOE中利用含30°角的直角三角形的性质求出AE长度，即可得到AC长度，进而求出C点坐标。
【解析】
(1) $△ OBC ≌ △ ABD$，理由如下：
$\because △ AOB、△ CBD$都是等边三角形，
$\therefore OB=AB, CB=DB, ∠ BOA=∠ OAB=∠ OBA=∠ DBC=60°$，
$\therefore ∠ OBA + ∠ ABC = ∠ DBC + ∠ ABC$，即$∠ OBC=∠ ABD$，
在$△ OBC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases} OB=AB \\ ∠ OBC=∠ ABD \\ CB=DB \end{cases}$
$\therefore △ OBC ≌ △ ABD(\mathrm{SAS})$。
(2) $\because △ OBC ≌ △ ABD$，
$\therefore ∠ BOC=∠ BAD=60°$，
又$\because ∠ OAB=60°$，
$\therefore ∠ OAE=180° - 60° - 60°=60°$，
$\therefore ∠ EAC=180° - ∠ OAE=120°$，$∠ OEA=90° - ∠ OAE=30°$，
$\therefore$ 当以$A,E,C$为顶点的三角形是等腰三角形时，$120°$的$∠ EAC$只能为顶角，即腰为$AE$和$AC$。
$\because A(1,0)$，$\therefore OA=1$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$\because ∠ OEA=30°$，
$\therefore AE=2OA=2$，
$\therefore AC=AE=2$，
$\therefore OC=OA+AC=1+2=3$，即$C$点坐标为$(3,0)$。
【答案】
(1) $△ OBC ≌ △ ABD$；
(2) 当点$C$的坐标为$(3,0)$时，以$A,E,C$为顶点的三角形是等腰三角形。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形“手拉手”模型的典型考题，先通过等边三角形的边、角性质推导全等条件，再结合全等得到的角的关系确定等腰三角形的腰和底，进而求解点的坐标，解题时注意钝角为顶角的等腰三角形只有一种情况，避免多解错误。
【难度系数】
0.6