登录
1 等腰三角形的一个角为$50°$，则它的底角的度数为 （
A.$50°$
B.$65°$
C.$50°$或$65°$
D.$80°$
C
）A.$50°$
B.$65°$
C.$50°$或$65°$
D.$80°$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的角度计算，解题时首先要明确等腰三角形两底角相等的性质。由于题干仅说明一个角为50°，未指明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解，最后还要验证两种情况是否满足三角形内角和为180°，避免出现不符合题意的结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当已知的50°角为等腰三角形的底角时，底角的度数就是50°，此时顶角为$180°-50°×2=80°$，符合三角形内角和定理；
② 当已知的50°角为等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两底角相等的性质，底角的度数为$(180°-50°)÷2=65°$，此时两个底角均为65°，符合三角形内角和定理。
综上，等腰三角形的底角度数为$50°$或$65°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，易错点是忽略未明确角的类型，未进行分类讨论导致漏解，解题时需注意所有角度结果要满足三角形内角和为180°的要求。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形的角度计算，解题时首先要明确等腰三角形两底角相等的性质。由于题干仅说明一个角为50°，未指明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解，最后还要验证两种情况是否满足三角形内角和为180°，避免出现不符合题意的结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当已知的50°角为等腰三角形的底角时，底角的度数就是50°，此时顶角为$180°-50°×2=80°$，符合三角形内角和定理；
② 当已知的50°角为等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两底角相等的性质，底角的度数为$(180°-50°)÷2=65°$，此时两个底角均为65°，符合三角形内角和定理。
综上，等腰三角形的底角度数为$50°$或$65°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，易错点是忽略未明确角的类型，未进行分类讨论导致漏解，解题时需注意所有角度结果要满足三角形内角和为180°的要求。
【难度系数】
0.7
2 如图，直线a，b交于点O，∠α＝60°，A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB＝
60°或30°
。答案
2. 60°或 30°
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的性质求解，由于未明确△OAB的腰和底边，且点B可在直线b的不同位置，因此需分类讨论：①点B在射线Ob上，此时∠AOB=60°；②点B在射线Ob的反向延长线上，此时∠AOB=120°。再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，分别计算∠OAB的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点B在射线Ob上时，∠AOB=∠α=60°：
若△OAB为等腰三角形，无论OA=OB、OA=AB还是OB=AB，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此三个内角均为60°，即∠OAB=60°。
2. 当点B在射线Ob的反向延长线上时，∠AOB=180°-60°=120°：
此时△OAB为等腰三角形，由于三角形内角和为180°，120°只能为顶角，因此两个底角相等：
∠OAB=(180°-120°)÷2=30°。
综上，∠OAB的度数为60°或30°。
【答案】
60°或30°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形中典型的分类讨论问题，解题的关键是考虑到点B的位置有两种可能性，避免漏解，同时利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的性质可简化计算。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形的性质求解，由于未明确△OAB的腰和底边，且点B可在直线b的不同位置，因此需分类讨论：①点B在射线Ob上，此时∠AOB=60°；②点B在射线Ob的反向延长线上，此时∠AOB=120°。再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，分别计算∠OAB的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点B在射线Ob上时，∠AOB=∠α=60°：
若△OAB为等腰三角形，无论OA=OB、OA=AB还是OB=AB，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此三个内角均为60°，即∠OAB=60°。
2. 当点B在射线Ob的反向延长线上时，∠AOB=180°-60°=120°：
此时△OAB为等腰三角形，由于三角形内角和为180°，120°只能为顶角，因此两个底角相等：
∠OAB=(180°-120°)÷2=30°。
综上，∠OAB的度数为60°或30°。
【答案】
60°或30°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形中典型的分类讨论问题，解题的关键是考虑到点B的位置有两种可能性，避免漏解，同时利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的性质可简化计算。
【难度系数】
0.6
3 若等腰三角形的两边长$a$，$b$满足$|a-3|+\sqrt{b-5}=0$，则这个三角形的周长是
11或13
.答案
3. 11 或 13
解析
【分析】
解题第一步先根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此求出a、b的值；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：①3为腰长，5为底边长；②5为腰长，3为底边长；第三步根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断两种情况是否都能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
∵ |a-3|≥0，$\sqrt{b-5}$≥0，且$|a-3|+\sqrt{b-5}=0$
∴ $\begin{cases}a-3=0\\b-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=5\end{cases}$
已知该三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为3，底边长为5时，三角形三边长为3，3，5
∵ 3+3=6＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形
此时周长为：$3+3+5=11$
② 当腰长为5，底边长为3时，三角形三边长为5，5，3
∵ 3+5=8＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形
此时周长为：$5+5+3=13$
综上，这个三角形的周长是11或13。
【答案】
11或13
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时需注意分情况讨论腰长和底边长，同时一定要验证三边是否符合三角形三边关系，避免出现不符合实际的错误解。
【难度系数】
0.7
解题第一步先根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此求出a、b的值；第二步结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论：①3为腰长，5为底边长；②5为腰长，3为底边长；第三步根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断两种情况是否都能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
∵ |a-3|≥0，$\sqrt{b-5}$≥0，且$|a-3|+\sqrt{b-5}=0$
∴ $\begin{cases}a-3=0\\b-5=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3\\b=5\end{cases}$
已知该三角形为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当腰长为3，底边长为5时，三角形三边长为3，3，5
∵ 3+3=6＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形
此时周长为：$3+3+5=11$
② 当腰长为5，底边长为3时，三角形三边长为5，5，3
∵ 3+5=8＞5，满足三角形三边关系，可构成三角形
此时周长为：$5+5+3=13$
综上，这个三角形的周长是11或13。
【答案】
11或13
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时需注意分情况讨论腰长和底边长，同时一定要验证三边是否符合三角形三边关系，避免出现不符合实际的错误解。
【难度系数】
0.7
4 已知一个等腰三角形的周长为45 cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，求这个等腰三角形的腰长。
答案
4.
∵ 等腰三角形的周长为 45 cm,一腰上的中线将这个三角形的周长分为 3 : 2 的两部分,
∴ 这两部分的周长分别为 27 cm,18 cm. 设等腰三角形的腰长为 x cm,底边长为 y cm. 根据题意,得$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=27,\\y+\dfrac{x}{2}=18\end{cases}$或$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=18,\\y+\dfrac{x}{2}=27,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=18,\\y=9\end{cases}$或$\begin{cases}x=12,\\y=21.\end{cases}$ 经检验,$\begin{cases}x=18,\\y=9\end{cases}$和$\begin{cases}x=12,\\y=21\end{cases}$都符合三角形的三边关系.
∴ 这个等腰三角形的腰长为 18 cm 或 12 cm
∵ 等腰三角形的周长为 45 cm,一腰上的中线将这个三角形的周长分为 3 : 2 的两部分,
∴ 这两部分的周长分别为 27 cm,18 cm. 设等腰三角形的腰长为 x cm,底边长为 y cm. 根据题意,得$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=27,\\y+\dfrac{x}{2}=18\end{cases}$或$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=18,\\y+\dfrac{x}{2}=27,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=18,\\y=9\end{cases}$或$\begin{cases}x=12,\\y=21.\end{cases}$ 经检验,$\begin{cases}x=18,\\y=9\end{cases}$和$\begin{cases}x=12,\\y=21\end{cases}$都符合三角形的三边关系.
∴ 这个等腰三角形的腰长为 18 cm 或 12 cm
解析
【分析】
解题时首先明确：一腰上的中线将原三角形周长分成的两部分，分别是“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，中线长度不计入划分的周长内。第一步先根据总周长和3:2的比例，算出两部分周长的具体数值；第二步要分类讨论，因为不确定哪一部分是较长段、哪一部分是较短段，分两种情况列方程组求解；第三步必须用三角形三边关系验证解得的三边长能否构成三角形，排除不符合要求的结果。
【解析】
已知等腰三角形周长为45cm，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，先计算两部分的长度：
$45×\frac{3}{3+2}=27\ \mathrm{cm}$，$45×\frac{2}{3+2}=18\ \mathrm{cm}$，即两部分周长分别为27cm、18cm。
设等腰三角形的腰长为$x$ cm，底边长为$y$ cm，根据题意分两种情况：
情况1：$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=27\\y+\dfrac{x}{2}=18\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=18\\y=9\end{cases}$，此时三边长为18cm、18cm、9cm，满足$18+9＞18$，符合三角形三边关系。
情况2：$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=18\\y+\dfrac{x}{2}=27\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=12\\y=21\end{cases}$，此时三边长为12cm、12cm、21cm，满足$12+12＞21$，符合三角形三边关系。
【答案】
18 cm 或 12 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点为遗漏其中一种情况，或是求出边长后未验证是否满足三角形三边关系，解题时需注意分类的完整性和结果的合理性。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：一腰上的中线将原三角形周长分成的两部分，分别是“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，中线长度不计入划分的周长内。第一步先根据总周长和3:2的比例，算出两部分周长的具体数值；第二步要分类讨论，因为不确定哪一部分是较长段、哪一部分是较短段，分两种情况列方程组求解；第三步必须用三角形三边关系验证解得的三边长能否构成三角形，排除不符合要求的结果。
【解析】
已知等腰三角形周长为45cm，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，先计算两部分的长度：
$45×\frac{3}{3+2}=27\ \mathrm{cm}$，$45×\frac{2}{3+2}=18\ \mathrm{cm}$，即两部分周长分别为27cm、18cm。
设等腰三角形的腰长为$x$ cm，底边长为$y$ cm，根据题意分两种情况：
情况1：$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=27\\y+\dfrac{x}{2}=18\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=18\\y=9\end{cases}$，此时三边长为18cm、18cm、9cm，满足$18+9＞18$，符合三角形三边关系。
情况2：$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=18\\y+\dfrac{x}{2}=27\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=12\\y=21\end{cases}$，此时三边长为12cm、12cm、21cm，满足$12+12＞21$，符合三角形三边关系。
【答案】
18 cm 或 12 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点为遗漏其中一种情况，或是求出边长后未验证是否满足三角形三边关系，解题时需注意分类的完整性和结果的合理性。
【难度系数】
0.7
5 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$60°$,则该等腰三角形的底角的度数为 (
A.$15°$
B.$30°$
C.$15°$或$75°$
D.$30°$或$150°$
C
)A.$15°$
B.$30°$
C.$15°$或$75°$
D.$30°$或$150°$
答案
5. C
解析
【分析】
解决本题需结合等腰三角形的特性分类讨论：等腰三角形按角分可分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形，腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，两种情况对应的顶角度数不同，需分别计算顶角后，再利用三角形内角和与等腰三角形两底角相等的性质求底角，最后验证结果是否符合三角形内角和要求。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
高与另一腰的夹角为60°，在由高、腰构成的直角三角形中，两锐角互余，可得顶角为$90° - 60° = 30°$。
根据等腰三角形两底角相等，底角度数为$\frac{180° - 30°}{2} = 75°$。
② 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
高与另一腰的夹角为60°，同理在直角三角形中可得顶角的邻补角为$90° - 60° = 30°$，因此顶角为$180° - 30° = 150°$。
底角度数为$\frac{180° - 150°}{2} = 15°$。
综上，该等腰三角形底角的度数为15°或75°，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时要先根据高的位置判断等腰三角形的形状，分情况计算后还要注意验证结果是否符合三角形内角和的限制，排除不符合实际的选项。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合等腰三角形的特性分类讨论：等腰三角形按角分可分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形，腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，两种情况对应的顶角度数不同，需分别计算顶角后，再利用三角形内角和与等腰三角形两底角相等的性质求底角，最后验证结果是否符合三角形内角和要求。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
高与另一腰的夹角为60°，在由高、腰构成的直角三角形中，两锐角互余，可得顶角为$90° - 60° = 30°$。
根据等腰三角形两底角相等，底角度数为$\frac{180° - 30°}{2} = 75°$。
② 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
高与另一腰的夹角为60°，同理在直角三角形中可得顶角的邻补角为$90° - 60° = 30°$，因此顶角为$180° - 30° = 150°$。
底角度数为$\frac{180° - 150°}{2} = 15°$。
综上，该等腰三角形底角的度数为15°或75°，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时要先根据高的位置判断等腰三角形的形状，分情况计算后还要注意验证结果是否符合三角形内角和的限制，排除不符合实际的选项。
【难度系数】
0.7
6 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在的直线相交所得到的锐角为$50°$，则$∠ B$的度数为________。
答案
6. 20°或 70°
解析
【分析】
解题时首先注意到AB的垂直平分线是与AC所在的直线相交，而非仅与线段AC相交，因此需要分类讨论：①△ABC为锐角三角形，此时垂直平分线与线段AC相交；②△ABC为钝角三角形，此时垂直平分线与CA的延长线相交。先根据垂直平分线的夹角求出顶角∠A的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角∠B的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当AB的垂直平分线与线段AC相交时，相交得到的锐角为50°，因此顶角∠A = 90° - 50° = 40°。
已知AB=AC，即△ABC为等腰三角形，∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-40°)÷2=70°$。
2. 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，相交得到的锐角为50°，因此$∠ DAB=90°-50°=40°$（D为垂直平分线与CA延长线的交点），此时顶角$∠ BAC=180°-40°=140°$。
同理，∠B=∠C，可得：
$∠ B=(180°-140°)÷2=20°$。
综上，∠B的度数为20°或70°。
【答案】
20°或70°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“AC所在直线”的表述，仅考虑交点在线段AC上的情况导致漏解，解答等腰三角形相关的角度问题时，要注意结合题意判断是否需要分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先注意到AB的垂直平分线是与AC所在的直线相交，而非仅与线段AC相交，因此需要分类讨论：①△ABC为锐角三角形，此时垂直平分线与线段AC相交；②△ABC为钝角三角形，此时垂直平分线与CA的延长线相交。先根据垂直平分线的夹角求出顶角∠A的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角∠B的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当AB的垂直平分线与线段AC相交时，相交得到的锐角为50°，因此顶角∠A = 90° - 50° = 40°。
已知AB=AC，即△ABC为等腰三角形，∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-40°)÷2=70°$。
2. 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，相交得到的锐角为50°，因此$∠ DAB=90°-50°=40°$（D为垂直平分线与CA延长线的交点），此时顶角$∠ BAC=180°-40°=140°$。
同理，∠B=∠C，可得：
$∠ B=(180°-140°)÷2=20°$。
综上，∠B的度数为20°或70°。
【答案】
20°或70°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“AC所在直线”的表述，仅考虑交点在线段AC上的情况导致漏解，解答等腰三角形相关的角度问题时，要注意结合题意判断是否需要分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
7 如图，$∠ MAN=30°$，B是射线AN上的定点，P是直线AM上的动点，要使$△ PAB$为等腰三角形，则满足条件的点P共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7. D
解析
【分析】
要确定使△PAB为等腰三角形的点P的个数，需对等腰三角形的腰和底进行分类讨论：等腰三角形的三边中任意两边都可作为腰，因此分三种情况：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底边，分别结合作图找到直线AM上符合条件的点即可，注意直线可向两端无限延伸，不要漏解。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点时，即$AB=AP$：以点A为圆心，AB长度为半径画弧，与直线AM交于2个点（一个在射线AM上，一个在AM的反向延长线上），这2个点均满足条件，可得到2个等腰三角形。
2. 当AB为腰，B为顶角顶点时，即$BA=BP$：以点B为圆心，BA长度为半径画弧，与直线AM除点A外还有1个交点，该点满足条件，可得到1个等腰三角形。
3. 当AB为底边时，即$AP=BP$：作线段AB的垂直平分线，与直线AM交于1个点，该点到A、B的距离相等，满足条件，可得到1个等腰三角形。
综上，满足条件的点P共有$2+1+1=4$个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题解题的核心是掌握等腰三角形的判定方法，注意分类讨论时不重不漏，尤其要注意题目中是“直线AM”而非射线，避免因忽略直线可向两端延伸导致漏解。
【难度系数】
0.6
要确定使△PAB为等腰三角形的点P的个数，需对等腰三角形的腰和底进行分类讨论：等腰三角形的三边中任意两边都可作为腰，因此分三种情况：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底边，分别结合作图找到直线AM上符合条件的点即可，注意直线可向两端无限延伸，不要漏解。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点时，即$AB=AP$：以点A为圆心，AB长度为半径画弧，与直线AM交于2个点（一个在射线AM上，一个在AM的反向延长线上），这2个点均满足条件，可得到2个等腰三角形。
2. 当AB为腰，B为顶角顶点时，即$BA=BP$：以点B为圆心，BA长度为半径画弧，与直线AM除点A外还有1个交点，该点满足条件，可得到1个等腰三角形。
3. 当AB为底边时，即$AP=BP$：作线段AB的垂直平分线，与直线AM交于1个点，该点到A、B的距离相等，满足条件，可得到1个等腰三角形。
综上，满足条件的点P共有$2+1+1=4$个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题解题的核心是掌握等腰三角形的判定方法，注意分类讨论时不重不漏，尤其要注意题目中是“直线AM”而非射线，避免因忽略直线可向两端延伸导致漏解。
【难度系数】
0.6
8 如图，在$5×5$的正方形网格中，点A，B都在格点处.若以线段AB为腰的等腰三角形ABC的另一顶点C也在格点处，则点C所处的位置的个数为（
A.3
B.4
C.5
D.6
D
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
8. D
解析
【分析】
本题是网格中等腰三角形的计数问题，已知AB为腰，需分两类讨论：①以点A为顶角顶点，此时AB=AC；②以点B为顶角顶点，此时BA=BC。先利用勾股定理求出AB的长度，再分别在网格中找出满足距离等于AB长度的格点C，注意排除重合的点，最后统计所有符合条件的点C的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
分两种情况讨论：
1. 当点A为等腰三角形的顶角顶点时，$AB=AC=\sqrt{10}$：
在网格中寻找到点A的距离为$\sqrt{10}$的格点，排除点B后，共可找到3个符合条件的格点C。
2. 当点B为等腰三角形的顶角顶点时，$BA=BC=\sqrt{10}$：
在网格中寻找到点B的距离为$\sqrt{10}$的格点，排除点A后，共可找到3个符合条件的格点C。
综上，符合条件的点C一共有$3+3=6$个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质进行分类讨论，解题时要注意避免漏解或重复计数，结合勾股定理在网格中查找格点是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是网格中等腰三角形的计数问题，已知AB为腰，需分两类讨论：①以点A为顶角顶点，此时AB=AC；②以点B为顶角顶点，此时BA=BC。先利用勾股定理求出AB的长度，再分别在网格中找出满足距离等于AB长度的格点C，注意排除重合的点，最后统计所有符合条件的点C的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
分两种情况讨论：
1. 当点A为等腰三角形的顶角顶点时，$AB=AC=\sqrt{10}$：
在网格中寻找到点A的距离为$\sqrt{10}$的格点，排除点B后，共可找到3个符合条件的格点C。
2. 当点B为等腰三角形的顶角顶点时，$BA=BC=\sqrt{10}$：
在网格中寻找到点B的距离为$\sqrt{10}$的格点，排除点A后，共可找到3个符合条件的格点C。
综上，符合条件的点C一共有$3+3=6$个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质进行分类讨论，解题时要注意避免漏解或重复计数，结合勾股定理在网格中查找格点是解题的关键。
【难度系数】
0.6
9 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0,3)，(4,3)，在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是
7
。答案
9. 7
解析
【分析】
首先先求出AB的长度，A(0,3)、B(4,3)纵坐标相同，故AB长为4，且AB平行于x轴。要使△ABC为等腰三角形，需分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（即AC=AB）；②AB为腰，B为顶角顶点（即BC=AB）；③AB为底边（即AC=BC）。再分别在x轴、y轴上找符合条件的点C，排除重合、不能构成三角形的点，统计总数即可。
【解析】
解：
∵点A(0,3)，B(4,3)，
∴AB=4-0=4，且AB平行于x轴，分三类讨论：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点，即AC=AB=4时：
（1）若C在y轴上：C点坐标为(0,3+4)即(0,7)，或(0,3-4)即(0,-1)，共2个点；
（2）若C在x轴上：设C(c,0)，由勾股定理得$\sqrt{c^2+3^2}=4$，解得$c=±\sqrt{7}$，即$C(\sqrt{7},0)$、$C(-\sqrt{7},0)$，共2个点；
本类共4个符合条件的点。
2. 当AB为腰，B为顶角顶点，即BC=AB=4时：
（1）若C在y轴上：设C(0,c)，由勾股定理得$\sqrt{4^2+(3-c)^2}=4$，解得c=3，即点A，此时A、B、C共线，无法构成三角形，舍去；
（2）若C在x轴上：设C(c,0)，由勾股定理得$\sqrt{(4-c)^2+3^2}=4$，解得$c=4±\sqrt{7}$，即$C(4+\sqrt{7},0)$、$C(4-\sqrt{7},0)$，共2个点；
本类共2个符合条件的点。
3. 当AB为底边，即AC=BC时：
此时C在AB的垂直平分线上，AB中点为(2,3)，AB平行x轴，故垂直平分线为直线x=2。直线x=2与坐标轴的交点为(2,0)（与y轴无交点），验证可知AC=BC，符合条件，本类共1个符合条件的点。
综上，符合条件的点C共有4+2+1=7个。
【答案】
7
【知识点】
等腰三角形的判定，坐标与图形性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的判定与平面直角坐标系的结合，解题关键是按照“AB为腰、AB为底”的标准分类讨论，注意排除共线不能构成三角形的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
首先先求出AB的长度，A(0,3)、B(4,3)纵坐标相同，故AB长为4，且AB平行于x轴。要使△ABC为等腰三角形，需分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（即AC=AB）；②AB为腰，B为顶角顶点（即BC=AB）；③AB为底边（即AC=BC）。再分别在x轴、y轴上找符合条件的点C，排除重合、不能构成三角形的点，统计总数即可。
【解析】
解：
∵点A(0,3)，B(4,3)，
∴AB=4-0=4，且AB平行于x轴，分三类讨论：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点，即AC=AB=4时：
（1）若C在y轴上：C点坐标为(0,3+4)即(0,7)，或(0,3-4)即(0,-1)，共2个点；
（2）若C在x轴上：设C(c,0)，由勾股定理得$\sqrt{c^2+3^2}=4$，解得$c=±\sqrt{7}$，即$C(\sqrt{7},0)$、$C(-\sqrt{7},0)$，共2个点；
本类共4个符合条件的点。
2. 当AB为腰，B为顶角顶点，即BC=AB=4时：
（1）若C在y轴上：设C(0,c)，由勾股定理得$\sqrt{4^2+(3-c)^2}=4$，解得c=3，即点A，此时A、B、C共线，无法构成三角形，舍去；
（2）若C在x轴上：设C(c,0)，由勾股定理得$\sqrt{(4-c)^2+3^2}=4$，解得$c=4±\sqrt{7}$，即$C(4+\sqrt{7},0)$、$C(4-\sqrt{7},0)$，共2个点；
本类共2个符合条件的点。
3. 当AB为底边，即AC=BC时：
此时C在AB的垂直平分线上，AB中点为(2,3)，AB平行x轴，故垂直平分线为直线x=2。直线x=2与坐标轴的交点为(2,0)（与y轴无交点），验证可知AC=BC，符合条件，本类共1个符合条件的点。
综上，符合条件的点C共有4+2+1=7个。
【答案】
7
【知识点】
等腰三角形的判定，坐标与图形性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的判定与平面直角坐标系的结合，解题关键是按照“AB为腰、AB为底”的标准分类讨论，注意排除共线不能构成三角形的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
