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10 教材P85习题T9变式 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B两处望灯塔C，测得$∠ NAC = 30°$，$∠ NBC = 60°$。
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问：还要经过多长时间，船与灯塔C的距离最短？
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问：还要经过多长时间，船与灯塔C的距离最短？
答案
10. (1) 由题意,得 $AB=15×2=30$(海里).
∵ $∠NBC=60°$,
$∠NAC=30°,∴ ∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°. ∴ ∠ACB=∠NAC. ∴ BC=AB=30$ 海里.
∴ 从海岛 B 到灯塔 C 的距离为30海里
(2) 如图,过点 C 作 $CP⊥AN$ 于点 P. 根据垂线段最短,可知线段 CP 的长为船与灯塔 C 的最短距离.
∵ $∠BPC=90°,∠NBC=60°,∴ ∠PCB=180°-∠BPC-∠CBP=30°$.
∴ $PB=\dfrac{1}{2}BC=15$ 海里.
∵ $15÷15=1$(小时),
∴ 还要经过1小时,船与灯塔 C 的距离最短
解析
【分析】
（1）要计算海岛B到灯塔C的距离，首先根据船的航行速度和行驶时间算出AB的长度；再观察角度关系，∠NBC是△ABC的外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可推出∠ACB=∠NAC，根据等角对等边即可得到BC=AB，从而求出BC的长度。
（2）要找船与灯塔C的最短距离，根据垂线段最短的结论，过点C作AN的垂线，垂足为P，船航行到P点时距离C最近；接下来在Rt△BCP中，利用∠NBC=60°可得∠PCB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，算出BP的长度，再用路程除以航行速度即可得到所需时间。
【解析】
(1) 由题意，船从A到B的航行时间为$10-8=2$小时，因此 $AB=15×2=30$(海里)。
∵ $∠NBC$是$△ ABC$的外角，$∠NBC=60°$，$∠NAC=30°$，
∴ $∠ACB=∠NBC-∠NAC=60°-30°=30°$，
∴ $∠ACB=∠NAC$，
∴ $BC=AB=30$ 海里。
(2) 过点C作 $CP⊥AN$ 于点P，根据垂线段最短，可知船航行到点P时与灯塔C的距离最短。
∵ 在$Rt△ BPC$中，$∠BPC=90°$，$∠CBP=∠NBC=60°$，
∴ $∠PCB=180°-90°-60°=30°$，
∴ $PB=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×30=15$ 海里，
已知船航行速度为15海里/时，因此所需时间为 $15÷15=1$(小时)。
【答案】
(1) 海岛B到灯塔C的距离为30海里；
(2) 还要经过1小时，船与灯塔C的距离最短
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
这是一道结合方位角的几何实际应用题，将行程问题和几何性质相结合，解题时需要把实际场景转化为几何模型，理清角度和边长的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）要计算海岛B到灯塔C的距离，首先根据船的航行速度和行驶时间算出AB的长度；再观察角度关系，∠NBC是△ABC的外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可推出∠ACB=∠NAC，根据等角对等边即可得到BC=AB，从而求出BC的长度。
（2）要找船与灯塔C的最短距离，根据垂线段最短的结论，过点C作AN的垂线，垂足为P，船航行到P点时距离C最近；接下来在Rt△BCP中，利用∠NBC=60°可得∠PCB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，算出BP的长度，再用路程除以航行速度即可得到所需时间。
【解析】
(1) 由题意，船从A到B的航行时间为$10-8=2$小时，因此 $AB=15×2=30$(海里)。
∵ $∠NBC$是$△ ABC$的外角，$∠NBC=60°$，$∠NAC=30°$，
∴ $∠ACB=∠NBC-∠NAC=60°-30°=30°$，
∴ $∠ACB=∠NAC$，
∴ $BC=AB=30$ 海里。
(2) 过点C作 $CP⊥AN$ 于点P，根据垂线段最短，可知船航行到点P时与灯塔C的距离最短。
∵ 在$Rt△ BPC$中，$∠BPC=90°$，$∠CBP=∠NBC=60°$，
∴ $∠PCB=180°-90°-60°=30°$，
∴ $PB=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×30=15$ 海里，
已知船航行速度为15海里/时，因此所需时间为 $15÷15=1$(小时)。
【答案】
(1) 海岛B到灯塔C的距离为30海里；
(2) 还要经过1小时，船与灯塔C的距离最短
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
这是一道结合方位角的几何实际应用题，将行程问题和几何性质相结合，解题时需要把实际场景转化为几何模型，理清角度和边长的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ A = 30°$，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E.
（1）求证：$AE = 2CE$；
（2）连接 CD，请判断$△ BCD$的形状，并说明理由.
（第 11 题）
（1）求证：$AE = 2CE$；
（2）连接 CD，请判断$△ BCD$的形状，并说明理由.
（第 11 题）
答案
11. (1) 连接 BE.
∵ ∠ACB=90°,∠A=30°,
∴ ∠ABC=60°.
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ BE=AE.
∴ ∠ABE=∠A=30°.
∴ ∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
∴ 在 Rt△BCE 中,BE=2CE.
∴ AE=2CE
(2) △BCD 是等边三角形 理由:
∵ DE垂直平分 AB,
∴ ∠ADE=90°.
∵ ∠A=30°,
∴ 在 Rt△ADE中,AE=2DE. 由(1),知 AE=2CE,
∴ DE=CE.
∴ ∠EDC=∠ECD.
∵ ∠DEC=∠A + ∠ADE = 120°,
∴$ ∠EDC=∠ECD=\dfrac{1}{2}(180°-∠DEC)=30°. $
∴ ∠DCB=∠ACB -∠ECD=60°.
∵ ∠ABC=60°,
∴ ∠DCB=∠DBC=∠BDC=60°.
∴ △BCD 是等边三角形.
∵ ∠ACB=90°,∠A=30°,
∴ ∠ABC=60°.
∵ DE 垂直平分 AB,
∴ BE=AE.
∴ ∠ABE=∠A=30°.
∴ ∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
∴ 在 Rt△BCE 中,BE=2CE.
∴ AE=2CE
(2) △BCD 是等边三角形 理由:
∵ DE垂直平分 AB,
∴ ∠ADE=90°.
∵ ∠A=30°,
∴ 在 Rt△ADE中,AE=2DE. 由(1),知 AE=2CE,
∴ DE=CE.
∴ ∠EDC=∠ECD.
∵ ∠DEC=∠A + ∠ADE = 120°,
∴$ ∠EDC=∠ECD=\dfrac{1}{2}(180°-∠DEC)=30°. $
∴ ∠DCB=∠ACB -∠ECD=60°.
∵ ∠ABC=60°,
∴ ∠DCB=∠DBC=∠BDC=60°.
∴ △BCD 是等边三角形.
解析
【分析】
(1) 要证AE=2CE，可结合含30°角的直角三角形的性质推导：先连接BE，利用垂直平分线的性质将AE转化为等长的BE，再通过角度计算证明BE是含30°角的Rt△BCE的斜边，即可得到BE=2CE，等量代换后即可得证。
(2) 判断△BCD的形状，已知∠ABC=60°，可先结合垂直平分线性质和(1)的结论推导角度，证明△BCD的三个内角均为60°，即可判断三角形的形状。
【解析】
(1) 连接BE：
∵ ∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ ∠ABC=180°-90°-30°=60°，
∵ DE是AB的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，
∴ BE=AE，
∴ ∠ABE=∠A=30°，
∴ ∠CBE=∠ABC-∠ABE=60°-30°=30°，
在Rt△BCE中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ BE=2CE，
又
∵ BE=AE，
∴ AE=2CE。
(2) △BCD是等边三角形，理由如下：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ ∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴ AE=2DE，
由(1)可知AE=2CE，
∴ DE=CE，即△DEC为等腰三角形，
∴ ∠EDC=∠ECD，
∵ ∠DEC是△ADE的外角，外角等于不相邻两个内角和，
∴ ∠DEC=∠A+∠ADE=30°+90°=120°，
∴ ∠EDC=∠ECD=$\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
∴ ∠DCB=∠ACB-∠ECD=90°-30°=60°，
又
∵ ∠ABC=60°，
∴ ∠BDC=180°-60°-60°=60°，即∠DCB=∠DBC=∠BDC=60°，
∴ △BCD是等边三角形。
【答案】
(1) AE=2CE得证；
(2) △BCD是等边三角形。
【知识点】
垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题核心是合理添加辅助线，灵活运用线段、角度的相关性质转化关系，能有效巩固特殊三角形的性质应用，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AE=2CE，可结合含30°角的直角三角形的性质推导：先连接BE，利用垂直平分线的性质将AE转化为等长的BE，再通过角度计算证明BE是含30°角的Rt△BCE的斜边，即可得到BE=2CE，等量代换后即可得证。
(2) 判断△BCD的形状，已知∠ABC=60°，可先结合垂直平分线性质和(1)的结论推导角度，证明△BCD的三个内角均为60°，即可判断三角形的形状。
【解析】
(1) 连接BE：
∵ ∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ ∠ABC=180°-90°-30°=60°，
∵ DE是AB的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，
∴ BE=AE，
∴ ∠ABE=∠A=30°，
∴ ∠CBE=∠ABC-∠ABE=60°-30°=30°，
在Rt△BCE中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ BE=2CE，
又
∵ BE=AE，
∴ AE=2CE。
(2) △BCD是等边三角形，理由如下：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ ∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴ AE=2DE，
由(1)可知AE=2CE，
∴ DE=CE，即△DEC为等腰三角形，
∴ ∠EDC=∠ECD，
∵ ∠DEC是△ADE的外角，外角等于不相邻两个内角和，
∴ ∠DEC=∠A+∠ADE=30°+90°=120°，
∴ ∠EDC=∠ECD=$\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
∴ ∠DCB=∠ACB-∠ECD=90°-30°=60°，
又
∵ ∠ABC=60°，
∴ ∠BDC=180°-60°-60°=60°，即∠DCB=∠DBC=∠BDC=60°，
∴ △BCD是等边三角形。
【答案】
(1) AE=2CE得证；
(2) △BCD是等边三角形。
【知识点】
垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题核心是合理添加辅助线，灵活运用线段、角度的相关性质转化关系，能有效巩固特殊三角形的性质应用，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
1 如图,在等腰三角形 ABC 中,$AB=AC=12,∠A=30^{\circ }$,则$△ ABC$的面积为
36
.答案
1. 36
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，可利用三角形面积公式$\frac{1}{2}×底×高$求解。已知等腰三角形的腰长$AB=AC=12$，$∠A=30°$，我们可以将AC作为底，通过作AC边上的高构造含30°角的直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度，再代入面积公式计算即可。
【解析】
过点B作$BD⊥AC$，垂足为D。
在$Rt△ABD$中，$∠ADB=90°$，$∠A=30°$，斜边$AB=12$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$。
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD$，将$AC=12$，$BD=6$代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×12×6=36$。
【答案】
36
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是通过作高构造出含30°角的直角三角形，将已知条件转化为求三角形高的条件，这类构造辅助线的方法在几何计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要计算△ABC的面积，可利用三角形面积公式$\frac{1}{2}×底×高$求解。已知等腰三角形的腰长$AB=AC=12$，$∠A=30°$，我们可以将AC作为底，通过作AC边上的高构造含30°角的直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求出高的长度，再代入面积公式计算即可。
【解析】
过点B作$BD⊥AC$，垂足为D。
在$Rt△ABD$中，$∠ADB=90°$，$∠A=30°$，斜边$AB=12$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$。
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD$，将$AC=12$，$BD=6$代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×12×6=36$。
【答案】
36
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是通过作高构造出含30°角的直角三角形，将已知条件转化为求三角形高的条件，这类构造辅助线的方法在几何计算中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
2 如图,在四边形ABCD中,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°.若AD=4,BC=1,则CD的长为
2
.答案
2. 2
解析
【分析】
不规则四边形无法直接求解CD的长度，考虑通过延长边构造含30°角的直角三角形，结合角度关系推导特殊三角形的性质，进而建立方程求解。第一步：延长AD、BC交于点E，利用△ABE的内角和求出∠E=60°；第二步：由∠ADC=120°得邻补角∠EDC=60°，可推出△EDC是等边三角形，得CD=DE=CE；第三步：设CD=x，用含x的式子表示出AE和BE，再根据含30°角的直角三角形的性质列方程求解即可。
【解析】
解：延长AD、BC，两线交于点E。
∵ 在△ABE中，∠A=30°，∠B=90°，
∴ ∠E=180°-90°-30°=60°，且根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$ BE=\frac{1}{2}AE $。
∵ ∠ADC=120°，
∴ ∠EDC=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴ △EDC中，∠E=∠EDC=60°，
∴ △EDC是等边三角形，即$ CD=DE=CE $。
设$ CD=x $，则$ DE=CE=x $，
∴ $ AE=AD+DE=4+x $，$ BE=BC+CE=1+x $，
代入$ BE=\frac{1}{2}AE $得：
$ 1 + x = \frac{1}{2}(4 + x) $
两边同乘2得：$ 2 + 2x = 4 + x $
解得$ x=2 $，即CD的长为2。
【答案】
2
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查不规则四边形的边长求解，解题关键是通过延长辅助线构造特殊三角形，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形和等边三角形中建立等量关系，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
不规则四边形无法直接求解CD的长度，考虑通过延长边构造含30°角的直角三角形，结合角度关系推导特殊三角形的性质，进而建立方程求解。第一步：延长AD、BC交于点E，利用△ABE的内角和求出∠E=60°；第二步：由∠ADC=120°得邻补角∠EDC=60°，可推出△EDC是等边三角形，得CD=DE=CE；第三步：设CD=x，用含x的式子表示出AE和BE，再根据含30°角的直角三角形的性质列方程求解即可。
【解析】
解：延长AD、BC，两线交于点E。
∵ 在△ABE中，∠A=30°，∠B=90°，
∴ ∠E=180°-90°-30°=60°，且根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$ BE=\frac{1}{2}AE $。
∵ ∠ADC=120°，
∴ ∠EDC=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴ △EDC中，∠E=∠EDC=60°，
∴ △EDC是等边三角形，即$ CD=DE=CE $。
设$ CD=x $，则$ DE=CE=x $，
∴ $ AE=AD+DE=4+x $，$ BE=BC+CE=1+x $，
代入$ BE=\frac{1}{2}AE $得：
$ 1 + x = \frac{1}{2}(4 + x) $
两边同乘2得：$ 2 + 2x = 4 + x $
解得$ x=2 $，即CD的长为2。
【答案】
2
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查不规则四边形的边长求解，解题关键是通过延长辅助线构造特殊三角形，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形和等边三角形中建立等量关系，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
