9 如图，点B，M，N，C在同一条直线上，且△ABM≌△ACN，∠B=20°，∠CAN=30°。求∠MAN的度数。

9. $\because △ ABM ≌ △ ACN$,$∠B=20°$,$∠CAN=30°$,$\therefore ∠BAM=∠CAN=30°$,$∠B=∠C=20°$. 又 $\because ∠B+∠C+∠BAC=180°$,$\therefore ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-20°-20°=140°$.
$\therefore ∠MAN=∠BAC-∠BAM-∠CAN=140°-30°-30°=80°$

【分析】
解题时首先利用全等三角形对应角相等的性质，结合已知的角的度数，得到对应相等的角；再根据三角形内角和为180°，求出△ABC中∠BAC的度数；最后通过角的和差关系，用∠BAC减去两个已知的小角∠BAM和∠CAN，即可得出∠MAN的度数。
【解析】
解：$\because △ABM ≌ △ACN$，$∠B=20°$，$∠CAN=30°$，
$\therefore ∠BAM=∠CAN=30°$，$∠C=∠B=20°$（全等三角形的对应角相等）。
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得$∠B+∠C+∠BAC=180°$，
$\therefore ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-20°-20°=140°$。
$\therefore ∠MAN=∠BAC-∠BAM-∠CAN=140°-30°-30°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
全等三角形的性质、三角形内角和定理、角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确找到全等三角形的对应角，结合三角形内角和定理与角的和差关系即可求解，需注意不要混淆全等三角形的对应元素。
【难度系数】
0.8

10 如图，$△ ABC ≌ △ DEC$，A 和 D 是对应顶点，过点 A 作 $AF ⊥ CD$，垂足为 F。若 $∠ BCE = 65°$，则 $∠ CAF$ 的度数为 （）

A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$65°$

10. A

【分析】
解题时先结合全等三角形的性质，根据对应顶点确定相等的对应角∠ACB和∠DCE，两个角同时减去公共部分∠ACE，即可推导出∠ACD=∠BCE，得到∠ACD的度数；再根据AF垂直CD可知△AFC是直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质，就能计算出∠CAF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC≌△DEC，A和D是对应顶点，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
已知∠BCE=65°，
∴∠ACD=65°，
又
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF + ∠ACD = 90°，
∴∠CAF=90° - 65°=25°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是准确利用全等三角形对应角相等的性质推导待求角所在直角三角形的已知锐角度数，再结合直角三角形的角度关系求解，熟练掌握全等三角形的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

11 如图，$△ ABC ≌ △ ADE$，$BC$与$DE$交于点$F$.
（1）若$∠ EAC = 30°$，则$∠ BAD$的度数为________；
（2）若$∠ BAE = 130°$，$∠ CAD = 60°$，则$∠ CFE = \_\_\_\_\_\_$.

11. (1) $30°$ (2) $35°$

【分析】
（1）本题可根据全等三角形对应角相等的性质，得到∠BAC与∠DAE相等，两个角同时减去公共角∠CAF，即可推出∠EAC和∠BAD相等，直接代入已知角度计算即可。
（2）同样先利用全等三角形对应角相等，得到∠BAC=∠DAE、∠C=∠E，先通过角的和差关系求出∠EAC的度数，再结合对顶角相等和三角形内角和定理，即可推出∠CFE与∠EAC相等，代入数值计算即可。
【解析】
（1）
∵ $△ ABC ≌ △ ADE$
∴ $∠ BAC = ∠ DAE$
∴ $∠ BAC - ∠ CAF = ∠ DAE - ∠ CAF$
即 $∠ BAD = ∠ EAC$
∵ $∠ EAC = 30°$
∴ $∠ BAD = 30°$
（2）
∵ $△ ABC ≌ △ ADE$
∴ $∠ BAC = ∠ DAE$，$∠ C = ∠ E$
∴ $∠ BAC - ∠ CAD = ∠ DAE - ∠ CAD$
即 $∠ BAD = ∠ EAC$
∵ $∠ BAE = ∠ BAD + ∠ CAD + ∠ EAC = 130°$，$∠ CAD = 60°$
∴ $∠ BAD + ∠ EAC = 130° - 60° = 70°$
∴ $∠ EAC = 70°÷2 = 35°$
设AC与DE交于点G，在$△ CGF$和$△ AGE$中：
$∠ C = ∠ E$，$∠ CGF = ∠ AGE$（对顶角相等）
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ CFE = ∠ EAC = 35°$
【答案】
（1）$\boxed{30°}$；（2）$\boxed{35°}$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用类题目，解题的核心是准确识别全等三角形的对应角，结合角的和差关系、三角形内角和及对顶角的性质推导未知角的度数，是全等三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7

12 如图，在$△ ABC$ 中，$AD ⊥ BC$ 于点 $D$，$△ ABD ≌ △ CFD$，$CF$ 的延长线交 $AB$ 于点 $E$。
（1）求证：$CE ⊥ AB$；
（2）若 $BC=7$，$AD=5$，求 $AF$ 的长。

12. (1) $\because △ ABD ≌ △ CFD, \therefore ∠BAD=∠FCD. \because AD ⊥ BC, \therefore ∠ADB = 90°. \therefore ∠B + ∠BAD = 90°. \therefore ∠B + ∠BCE=90°. \therefore ∠CEB=90°. \therefore CE ⊥ AB$
(2) $\because △ ABD ≌ △ CFD, \therefore AD=CD=5, BD=FD. \because BC=7, \therefore DF=BD=BC-CD=7-5=2. \therefore AF=AD-DF=5-2=3$

【分析】
（1）要证$CE⊥AB$，只需证$∠ CEB=90°$。已知$AD⊥BC$可得$△ ABD$是直角三角形，即$∠ B+∠ BAD=90°$，结合$△ ABD≌△ CFD$可得到对应角相等的关系，通过等量代换就能推出$∠ B+∠ FCD=90°$，进而得到$∠ CEB=90°$完成证明。
（2）要求$AF$的长，由图可知$AF=AD-DF$，已知$AD=5$，只需算出$DF$的长度即可。根据全等三角形对应边相等的性质可得$AD=CD$、$BD=FD$，结合$BC$的长度先算出$BD$的长，即可得到$DF$的长，最终求出$AF$。
【解析】
（1）证明：
$\because △ ABD ≌ △ CFD$，
$\therefore ∠BAD=∠FCD$（全等三角形对应角相等）。
$\because AD ⊥ BC$，
$\therefore ∠ADB = 90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠B + ∠BAD = 90°$（直角三角形两锐角互余），
将$∠BAD$替换为$∠FCD$，得$∠B + ∠BCE = 90°$，
$\therefore$在$△ BEC$中，$∠ CEB=180°-(∠ B+∠ BCE)=90°$，
$\therefore CE ⊥ AB$。
（2）解：
$\because △ ABD ≌ △ CFD$，
$\therefore AD=CD=5$，$BD=FD$（全等三角形对应边相等），
$\because BC=7$，
$\therefore BD=BC-CD=7-5=2$，
$\therefore DF=BD=2$，
$\therefore AF=AD-DF=5-2=3$。
【答案】
（1）$CE⊥AB$，证明成立；（2）$AF$的长为$\boldsymbol{3}$
【知识点】
全等三角形的性质，直角三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是利用全等三角形对应角相等、对应边相等的性质完成边角的等量转化，第一问通过角的代换推导垂直关系，第二问结合线段和差计算长度，是巩固全等三角形性质的典型题型。
【难度系数】
0.8

13 如图，A，D，E 三点在同一条直线上，且$△ BAD ≌ △ ACE$.
（1）求证：$BD = DE + CE$；
（2）若$∠ E = 90°$，求证：$△ ABC$ 是等腰直角三角形；
（3）若$∠ E = 90°$，则在图中可以通过平移、翻折、旋转中的哪些方法，使$△ BAD$ 与$△ ACE$ 完全重合？

13. (1) $\because △ BAD ≌ △ ACE, \therefore BD=AE, AD=CE$. 又 $\because A,D,E$三点在同一条直线上,$\therefore AE=DE+AD. \therefore BD=DE+CE$
(2) $\because △ BAD ≌ △ ACE, \therefore AB=CA, ∠BAD=∠ACE. \because ∠E=90°, \therefore ∠CAE+∠ACE=90°. \therefore ∠CAE+∠BAD=90°$,即$∠BAC=90°. \therefore △ ABC$是等腰直角三角形
(3) 答案不唯一,如将$△ BAD$先绕点D按顺时针方向旋转90°,再向下平移,即可与$△ ACE$完全重合

【分析】
（1）要证$BD=DE+CE$，可利用全等三角形对应边相等的性质转化线段：由$△ BAD ≌ △ ACE$可得$BD=AE$、$AD=CE$，结合A、D、E共线可知$AE=DE+AD$，将$AD$替换为$CE$即可得证；
（2）要证$△ABC$是等腰直角三角形，需同时证$AB=AC$且$∠BAC=90°$：由全等可得$AB=AC$，满足等腰条件；再结合$∠E=90°$得$Rt△ACE$中两锐角互余，利用全等对应角相等将角代换，即可推出$∠BAC=90°$，进而得证；
（3）观察两个三角形的位置关系，结合平移、旋转、翻折的特征，给出合理的变换方案即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 证明：$\because △ BAD ≌ △ ACE$，根据全等三角形对应边相等，$\therefore BD=AE, AD=CE$。
又$\because A,D,E$三点在同一条直线上，$\therefore AE=DE+AD$。
将$AD=CE$代入得：$BD=DE+CE$。
(2) 证明：$\because △ BAD ≌ △ ACE$，根据全等三角形对应边、对应角相等，$\therefore AB=CA, ∠BAD=∠ACE$。
$\because ∠E=90°$，在$Rt△ACE$中两锐角互余，$\therefore ∠CAE+∠ACE=90°$。
将$∠ACE=∠BAD$代入得：$∠CAE+∠BAD=90°$，即$∠BAC=90°$。
又$\because AB=CA$，$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形。
(3) 解：答案不唯一，示例：将$△ BAD$先绕点D按顺时针方向旋转90°，再向下平移，即可与$△ ACE$完全重合。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 证明成立；
(3) 答案不唯一，如将$△ BAD$先绕点D按顺时针方向旋转90°，再向下平移，即可与$△ ACE$完全重合。
【知识点】
全等三角形的性质、等腰直角三角形的判定、图形的变换
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，综合考查了线段和角的等量代换、等腰直角三角形判定以及几何变换的相关知识，解题核心是熟练运用全等三角形的性质找到对应边、对应角的等量关系。
【难度系数】
0.7

14 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$△ CAD ≌ △ CED$,$△ CEF ≌ △ BEF$,$△ CEF ≌ △ CAD$.
(1) 求$∠ A$,$∠ B$的度数;
(2) 猜想$AC$,$EF$之间的位置关系,并说明理由.

14. (1) $\because △ CAD ≌ △ CED, △ CEF ≌ △ CAD, \therefore ∠ACD=∠ECD, ∠ECF=∠ACD. \therefore ∠ACD=∠ECD=∠ECF. \because ∠ACD+∠ECD+∠ECF=∠ACB=90°, \therefore ∠ACD=∠ECD=∠ECF=30°$. 又 $\because △ CEF ≌ △ BEF, \therefore ∠ECF=∠B=30°. \therefore ∠A=90°-∠B=60°$
(2) $AC // EF$ 理由: $\because △ CEF ≌ △ BEF, \therefore ∠CFE=∠BFE$. 又 $\because ∠BFE + ∠CFE=180°, \therefore ∠BFE=90°. \therefore ∠ACB=∠BFE. \therefore AC // EF$

【分析】
(1) 求解∠A、∠B的度数时，首先利用全等三角形对应角相等的性质，可推导得出∠ACB被分成的∠ACD、∠ECD、∠ECF三个角大小相等，结合∠ACB=90°即可算出每个角的度数；再根据△CEF≌△BEF得到∠B=∠ECF，最后利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠A的度数。
(2) 猜想AC与EF的位置关系，观察图形可初步猜测为平行；要证明两直线平行，可找同位角相等的条件，利用△CEF≌△BEF得到∠CFE=∠BFE，结合平角为180°求出∠BFE=90°，与∠ACB相等，即可根据同位角相等证明两直线平行。
【解析】
(1) $\because △ CAD ≌ △ CED, △ CEF ≌ △ CAD, \therefore ∠ACD=∠ECD, ∠ECF=∠ACD. \therefore ∠ACD=∠ECD=∠ECF. \because ∠ACD+∠ECD+∠ECF=∠ACB=90°, \therefore ∠ACD=∠ECD=∠ECF=30°$. 又 $\because △ CEF ≌ △ BEF, \therefore ∠ECF=∠B=30°. \therefore ∠A=90°-∠B=60°$
(2) $AC // EF$ 理由: $\because △ CEF ≌ △ BEF, \therefore ∠CFE=∠BFE$. 又 $\because ∠BFE + ∠CFE=180°, \therefore ∠BFE=90°. \therefore ∠ACB=∠BFE. \therefore AC // EF$
【答案】
(1) $∠ A=60°$，$∠ B=30°$；
(2) $AC// EF$，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是基础几何题，侧重考查全等三角形性质的应用，结合了角的计算和平行线的判定，解题的核心是通过全等三角形对应角相等的性质理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7