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5.[2025·亳州蒙城期末]如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度$AB=8\ \mathrm{m}$，然后用一根长为$4\ \mathrm{m}$的小竹竿$CD$竖直地接触地面和门的内壁，并测得$AC=1\ \mathrm{m}$，则门高$OE$为（
A.$9\ \mathrm{m}$
B.$\dfrac{64}{7}\ \mathrm{m}$
C.$8.7\ \mathrm{m}$
D.$9.3\ \mathrm{m}$
B
）A.$9\ \mathrm{m}$
B.$\dfrac{64}{7}\ \mathrm{m}$
C.$8.7\ \mathrm{m}$
D.$9.3\ \mathrm{m}$
答案
5.B
6.[新课标—情境题]如图,为了提醒司机安全驾驶,要在隧道中安装电子显示屏.已知隧道截面为抛物线型,水平路面宽AB=16米,抛物线顶点C到AB距离为12米.根据计划,安装矩形显示屏MNPQ的高MQ为1米,为了确保行车安全,显示屏底部距离地面至少8米.若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间,则该矩形显示屏MNPQ的长QP的最大长度为
6
米.答案
6.6
7. [教材P39练习第2题改编]图1是一个蔬菜大棚的横截面示意图，大棚截面顶部ADB的形状是抛物线，此截面上有7根垂直于地面AB的支柱(CD，MN是其中的两根支柱)，相邻两根支柱之间的距离均为4 m(支柱的粗细忽略不计)，地面的两端点A，B与最近的支柱之间的距离也是4 m，以A为坐标原点，地面AB为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，中间最高的支柱CD的高度是12 m.
(1)求大棚截面顶部抛物线的表达式；
(2)此截面上支柱MN在支柱CD的左边，且它们之间还有一根支柱，求支柱MN的高度；
(3)娟娟说：“垂直于地面的7根支柱中，一定有支柱的高度恰好是支柱CD高度的$\frac{1}{4}$.”娟娟的说法正确吗？请说明理由.
(1)求大棚截面顶部抛物线的表达式；
(2)此截面上支柱MN在支柱CD的左边，且它们之间还有一根支柱，求支柱MN的高度；
(3)娟娟说：“垂直于地面的7根支柱中，一定有支柱的高度恰好是支柱CD高度的$\frac{1}{4}$.”娟娟的说法正确吗？请说明理由.
答案
7.解:(1)由题意知,点 D 的坐标为$(16,12)$,
设抛物线的表达式为$y=a(x-16)^2+12$,
将点$(0,0)$代入,得$a(0-16)^2+12=0$,
解得$a=-\dfrac{3}{64}$,
∴大棚截面顶部抛物线的表达式为$y=-\dfrac{3}{64}(x-16)^2+12$.
(2)由题意,得点 M 与点 D 之间的水平距离是$4×2=8(\mathrm{m})$,
又
∵点 D 的坐标为$(16,12)$,
∴点 M 的横坐标为$16-8=8$,
将$x=8$代入$y=-\dfrac{3}{64}(x-16)^2+12$,得$y=-\dfrac{3}{64}×(8-16)^2+12=9$,
∴支柱 MN 的高度为 9 m.
(3)娟娟的说法不正确.
理由:
∵中间最高的支柱 CD 的高度是 12 m,
∴$\dfrac{1}{4}CD=3\ \mathrm{m}$,
当$y=3$时,得$3=-\dfrac{3}{64}(x-16)^2+12$,
解得$x=16\pm8\sqrt{3}$,
由(2)得点 D 的横坐标是 16.
∵相邻支柱之间的距离均为 4 m,
∴所有支柱底端点的横坐标 x 都是 4 的整数倍,
∴不存在支柱的高度恰好是 CD 高度的$\dfrac{1}{4}$.
设抛物线的表达式为$y=a(x-16)^2+12$,
将点$(0,0)$代入,得$a(0-16)^2+12=0$,
解得$a=-\dfrac{3}{64}$,
∴大棚截面顶部抛物线的表达式为$y=-\dfrac{3}{64}(x-16)^2+12$.
(2)由题意,得点 M 与点 D 之间的水平距离是$4×2=8(\mathrm{m})$,
又
∵点 D 的坐标为$(16,12)$,
∴点 M 的横坐标为$16-8=8$,
将$x=8$代入$y=-\dfrac{3}{64}(x-16)^2+12$,得$y=-\dfrac{3}{64}×(8-16)^2+12=9$,
∴支柱 MN 的高度为 9 m.
(3)娟娟的说法不正确.
理由:
∵中间最高的支柱 CD 的高度是 12 m,
∴$\dfrac{1}{4}CD=3\ \mathrm{m}$,
当$y=3$时,得$3=-\dfrac{3}{64}(x-16)^2+12$,
解得$x=16\pm8\sqrt{3}$,
由(2)得点 D 的横坐标是 16.
∵相邻支柱之间的距离均为 4 m,
∴所有支柱底端点的横坐标 x 都是 4 的整数倍,
∴不存在支柱的高度恰好是 CD 高度的$\dfrac{1}{4}$.
