8. [2026亳州段考]如图，抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$与x轴交于点$(0,0),(2,0)$，则关于x的方程$a(x-1)^2 + b(x-1)=0(a≠0)$的根为（）

A.$x_1=-1,x_2=1$
B.$x_1=0,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=3$
D.$x_1=2,x_2=4$

8 C

∵抛物线$y=ax^2 +bx(a≠0)$与x轴交于点$(0,0),(2,0)$,
∴方程$ax^2 +bx=0$的根为$x=0$或$x=2$. 把$x-1$看作一个整体,可知关于$x-1$的方程$a(x-1)^2 +b(x-1)=0$的根为$x-1=0$或$x-1=2$,解得$x_1=1,x_2=3$。

9. ▶一题多解 [2026六安段考]已知$m ＞ n ＞ 0$，若关于$x$的方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$的解为$x_1, x_2(x_1 ＜ x_2)$，关于$x$的方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$的解为$x_3, x_4(x_3 ＜ x_4)$，则下列结论正确的是 ()

A.$x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4$
B.$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2$
C.$x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4$
D.$x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2$

9 B 通解 如图1,设直线$y=m$与抛物线$y=x^2 +2x -3$交于A,B两点,直线$y=n$与抛物线$y=x^2 +2x -3$交于C,D两点.
∵$m＞n＞0$,关于x的方程$x^2 +2x -3 -m=0$的解为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$,关于x的方程$x^2 +2x -3 -n=0$的解为$x_3,x_4(x_3＜x_4)$,
∴$x_1,x_2,x_3,x_4$分别是点A,B,C,D的横坐标,
∴$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
另解 抛物线$y=x^2 +2x -3 -m$是由抛物线$y=x^2 +2x -3$向下平移m个单位长度得到的,抛物线$y=x^2 +2x -3 -n$是由抛物线$y=x^2 +2x -3$向下平移n个单位长度得到的,如图2所示,所以$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。

10. [2025齐齐哈尔中考] 如图, 二次函数 $y = ax^2 + bx + c(a≠0)$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $(-1,0),(x_1,0)$, 且 $2 ＜ x_1 ＜ 3$. 下列结论:①$abc ＞ 0$;②$2a + c ＜ 0$;③$4a - b + 2c ＜ 0$;④若 $m$ 和 $n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a(x + 1)·(x - x_1) + c = 0(a≠0)$ 的两根, 且 $m ＜ n$, 则 $m ＜ -1,n ＞ 2$;⑤关于 $x$ 的不等式 $ax^2 + bx + c ＞ -\frac{c}{x_1}x + c(a≠0)$ 的解集为 $0 ＜ x ＜ x_1$. 其中正确结论的个数是 ()


A.2
B.3
C.4
D.5

10 B

∵抛物线的开口向上,与y轴交于负半轴,
∴$a＞0$,$c＜0$. 又
∵抛物线与x轴交于$(-1,0),(x_1,0)$,且$2＜x_1＜3$,
∴$1＜-1+x_1＜2$,
∴$\frac{1}{2}＜\frac{-1+x_1}{2}＜1$,
∴对称轴是直线$x=\frac{-1+x_1}{2}=-\frac{b}{2a}＞0$,
∴$b＜0$,
∴$abc＞0$,
∴①正确. 由题图可知当$x=2$时,$y=4a+2b+c＜0$. 又
∵当$x=-1$时,$y=a-b+c=0$,
∴$b=a+c$,
∴$4a+2b+c=4a+2a+2c+c=6a+3c＜0$,
∴$2a+c＜0$,
∴②正确.
∵$\frac{1}{2}＜-\frac{b}{2a}＜1$,$a＞0$,
∴$a＜-b＜2a$,
∴$2a+b＞0$.
∵$b=a+c$,
∴$2a+a+c＞0$,即$3a+c＞0$,
∴$4a-b+2c=4a-a-c+2c=3a+c＞0$,
∴③错误.
∵二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交于两点$(-1,0),(x_1,0)$,
∴$y=ax^2+bx+c=a(x+1)(x-x_1)$. 如图1,作直线$y=-c$与抛物线$y=a(x+1)(x-x_1)$相交,它们交点的横坐标就是方程$a(x+1)(x-x_1)+c=0$的根,可得$m＜-1$,$n＞2$,
∴④正确. 易知直线$y=-\frac{c}{x_1}x +c$过点$(0,c),(x_1,0)$,画出直线$y=-\frac{c}{x_1}x +c$,如图2所示,由此可知关于x的不等式$ax^2+bx+c＞-\frac{c}{x_1}x +c$的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围,即$x＜0$或$x＞x_1$,故⑤错误. 综上,正确的有①②④共3个。

11. [2024 徐州中考]在平面直角坐标系中,将二次函数$y=(x-2023)(x-2024)+5$的图象向下平移5个单位长度,所得抛物线与$x$轴有两个公共点$P,Q$,则$PQ$的长度为.

11 1 将二次函数$y=(x-2023)(x-2024)+5$的图象向下平移5个单位长度,所得抛物线的表达式为$y=(x-2023)(x-2024)$,令$y=0$,则$(x-2023)(x-2024)=0$,
∴$x-2023=0$或$x-2024=0$,解得$x=2023$或$x=2024$,
∴$PQ=2024-2023=1$。

12. 抛物线$y=x^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$.
(1)$b=$.
(2)若关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+3-t=0$($t$为实数)在$-1＜x＜4$的范围内有实数根,则$t$的取值范围是.

12 (1)$-2$;(2)$2≤ t＜11$ (1)
∵抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}=1$,
∴$b=-2$. (2)解题思路:由题意,知抛物线$y=x^2 +bx +3$与直线$y=t$有交点,只需求二次函数在$-1＜x＜4$范围内的函数值的取值范围,即t的取值范围.
∵$b=-2$,
∴$y=x^2 -2x +3=(x-1)^2 +2$,
∴抛物线开口向上,函数最小值为2. 把$x=-1$代入$y=x^2 -2x +3$,得$y=6$,把$x=4$代入$y=x^2 -2x +3$,得$y=11$,
∴当$-1＜x＜4$时,$2≤ y＜11$,
∴$2≤ t＜11$。

13. ▶一题多解 已知抛物线$y=(x-m)^2 -x +m$，其中$m$是常数。
(1)求证:不论$m$为何值,该抛物线与$x$轴一定有两个交点.
(2)若该抛物线的对称轴为直线$x=\frac{5}{2}$.
①求该抛物线对应的函数表达式.
②将该抛物线沿$y$轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与$x$轴只有一个交点?

13 (1)证明:通解(判别式法) 因为$y=(x-m)^2 -x +m =x^2 -2mx +m^2 -x +m =x^2 -(2m+1)x +m^2 +m$,
所以$\Delta=(2m+1)^2 -4(m^2 +m)=4m^2 +4m +1 -4m^2 -4m=1＞0$,
所以不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个交点.
另解(解方程法) $y=(x-m)^2 -x +m=(x-m)(x-m-1)$,
令$y=0$,得$x_1=m$,$x_2=m+1$.
因为$m≠ m+1$,
所以不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个交点.
(2)解:①$y=(x-m)^2 -x +m =x^2 -(2m+1)x +m(m+1)$,
因为抛物线的对称轴为直线$x=\frac{5}{2}$,
所以$-\frac{(2m+1)}{2}=\frac{5}{2}$,解得$m=2$.
所以抛物线对应的函数表达式为$y=x^2 -5x +6$.
②通解 由①知$y=x^2 -5x +6=(x-\frac{5}{2})^2 -\frac{1}{4}$,
所以将该抛物线沿y轴向上平移$\frac{1}{4}$个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个交点.
另解 由①得$y=x^2 -5x +6$.
设该抛物线沿y轴向上平移$a(a＞0)$个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个交点,则抛物线$y=x^2 -5x +6 +a$与x轴只有一个交点,
所以一元二次方程$x^2 -5x +6 +a=0$只有一个实数根,
即$\Delta=(-5)^2 -4×(6+a)=0$,
解得$a=\frac{1}{4}$,
所以将该抛物线沿y轴向上平移$\frac{1}{4}$个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个交点。

14. 几何直观 [2026 扬州期末] 如图,已知二次函数$y=-x^2 +x +2$及一次函数$y=x+m$,将该二次函数在$x$轴上方的图象沿$x$轴翻折到$x$轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数,当直线$y=x+m$与新图象有4个交点时,$m$的取值范围是 ()

A.$-3 ＜ m ＜ -2$
B.$-\dfrac{25}{4} ＜ m ≤ 1$
C.$-2 ＜ m ＜ 1$
D.$-\dfrac{13}{4} ＜ m ＜ -3$

14 A 如图,令$y=0$,则$0=-x^2 +x +2$,解得$x_1=-1$,$x_2=2$,
∴$A(-1,0)$,$B(2,0)$. 当直线$y=x+m$经过点B时,直线$y=x+m$与新图象有3个交点,把$B(2,0)$代入$y=x+m$中,得$m=-2$. 抛物线翻折到x轴下方的部分的表达式为$-y=-x^2 +x +2$,即$y=x^2 -x -2(-1＜x＜2)$. 当直线$y=x+m$与抛物线$y=x^2 -x -2(-1＜x＜2)$只有一个交点C时,直线$y=x+m$与图象有3个交点,即方程$x+m=x^2 -x -2$有两个相等的实数根,
∴$\Delta=(-2)^2 -4×1×(-2 -m)=0$,解得$m=-3$. 结合图象可知,当直线与新图象有4个交点时,m的取值范围是$-3＜m＜-2$。

15. ▶运算能力 如图,已知抛物线$y=-x^{2}+(a+1)· x -a$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且$△ ABC$的面积是6. 抛物线上有一动点P(不与点C重合),当$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}$时,则点P的坐标是.

15 $(-2,3)$或$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$ 解题思路:令$y=0$,解方程,求得点A,B的坐标,从而得到线段AB的长度;令$x=0$,解方程,求得点C的坐标,得到OC的长度;利用三角形的面积公式列出关于a的方程,解方程求出a的值,从而得出抛物线的表达式. 设$P(m,-m^2 -2m +3)$,过点P作$PE⊥ x$轴于点E,利用等底的三角形的面积的关系,得到$△ ABP$的AB边上的高为3,列出关于m的方程,解方程即可得出结论.
令$y=0$,则$-x^2 +(a+1)x -a=0$,解得$x=a$或$x=1$.
∵二次函数$y=-x^2 +(a+1)x -a$的图象与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),
∴$A(a,0)$,$B(1,0)$,$a＜0$,
∴$OA=-a$,$OB=1$,
∴$AB=-a+1$. 令$x=0$,则$y=-a$,
∴$C(0,-a)$,
∴$OC=-a$.
∵$△ BAC$的面积是6,
∴$\frac{1}{2}AB· OC=6$,
∴$\frac{1}{2}(-a+1)·(-a)=6$,解得$a=-3$或4.
∵$a＜0$,
∴$a=-3$,
∴抛物线的表达式为$y=-x^2 -2x +3$,
∴$C(0,3)$,
∴$OC=3$. 如图,过点P作$PE⊥ x$轴于点E,设$P(m,-m^2 -2m +3)$,
∴$PE=|-m^2 -2m +3|$.
∵$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}$,
∴$\frac{1}{2}AB· PE=\frac{1}{2}AB· CO$,
∴$PE=CO$,即$|-m^2 -2m +3|=3$,
∴$-m^2 -2m +3=3$或$-m^2 -2m +3=-3$,解得$m=0$或$-2$或$-1+\sqrt{7}$或$-1-\sqrt{7}$.
∵$m=0$时,点P与点C重合,
∴点P的坐标为$(-2,3)$或$(-1+\sqrt{7},-3)$或$(-1-\sqrt{7},-3)$。