1. 已知抛物线 $ y = ax^2 - 2x + 1(a ≠ 0) $ 的对称轴为直线 $ x = 1 $。
(1) 求 $ a $ 的值.
(2) 若点 $ M(x_1, y_1), N(x_2, y_2) $ 都在此抛物线上，且 $ -1 ＜ x_1 ＜ 0, 1 ＜ x_2 ＜ 2 $，比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小，并说明理由.
(3) 设直线 $ y = m(m ＞ 0) $ 与抛物线 $ y = ax^2 - 2x + 1 $ 交于点 $ A, B $，与抛物线 $ y = 3(x - 1)^2 $ 交于点 $ C, D $，求线段 $ AB $ 与线段 $ CD $ 的长度之比.

(1) 由题意可知 $-\frac{-2}{2a}=1$, 所以 $a = 1$.
(2)$y_1 ＞ y_2$. 理由如下:
因为 $-1 ＜ x_1 ＜ 0$, 所以 $1 ＜ y_1 ＜ 4$.
因为 $1 ＜ x_2 ＜ 2$, 所以 $0 ＜ y_2 ＜ 1$,
故 $y_1 ＞ y_2$.
(3) 由 $x^2 - 2x + 1 = m$, 得 $(x - 1)^2 = m$.
解得 $x_1 = 1 - \sqrt{m}, x_2 = 1 + \sqrt{m}$.
所以线段 $AB$ 的长度为 $x_2 - x_1 = (1 + \sqrt{m}) - (1 - \sqrt{m}) = 2\sqrt{m}$.
由 $3(x - 1)^2 = m$, 得 $(x - 1)^2 = \frac{m}{3}$.
解得 $x_3 = 1 - \frac{\sqrt{3m}}{3}, x_4 = 1 + \frac{\sqrt{3m}}{3}$.
所以线段 $CD$ 的长度为 $x_4 - x_3 = (1 + \frac{\sqrt{3m}}{3}) - (1 - \frac{\sqrt{3m}}{3}) = \frac{2\sqrt{3m}}{3}$,
故线段 $AB$ 与线段 $CD$ 的长度之比为 $\frac{2\sqrt{m}}{\frac{2\sqrt{3m}}{3}} = \sqrt{3}$.

2. [2025潍坊中考]如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y = ax^2 + bx(a ＜ 0)$与正比例函数$y = kx$的图象都经过点$A(3,3)$,点$P$为二次函数图象上点$O$与点$A$之间的一点,过点$P$作$x$轴的垂线,交$OA$于点$C$,交$x$轴于点$D$.
(1)若点$A$为该二次函数的顶点,
①求二次函数的表达式.
②求线段$PC$长度的最大值.
(2)若该二次函数与$x$轴的一个交点为$B(m,0)$,且$m ＞ 4$,求$a$的取值范围.

(1)①$\because A(3,3)$为二次函数图象的顶点,
$\therefore \begin{cases}9a + 3b = 3,\\-\frac{b}{2a}=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = -\frac{1}{3},\\b = 2,\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$.
②$\because$ 正比例函数 $y = kx$ 经过点 $A(3,3)$,
$\therefore 3k = 3, \therefore k = 1, \therefore$ 正比例函数的表达式为 $y = x$.
设 $OD = t(0 ＜ t ＜ 3)$, 则 $CD = t, PD = -\frac{1}{3}t^2 + 2t$,
$\therefore PC = PD - CD = -\frac{1}{3}t^2 + 2t - t = -\frac{1}{3}t^2 + t = -\frac{1}{3}(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$,
$\therefore$ 当 $t = \frac{3}{2}$ 时,线段 $PC$ 的长度取得最大值,为 $\frac{3}{4}$.
(2)$\because$ 二次函数 $y = ax^2 + bx$ 经过点 $A(3,3)$,
$\therefore 9a + 3b = 3$, 即 $b = 1 - 3a$.
令 $ax^2 + bx = 0$, 解得 $x_1 = 0, x_2 = -\frac{b}{a}$.
$\because$ 二次函数与 $x$ 轴的一个交点为 $B(m,0), m ＞ 4$,
$\therefore m = -\frac{b}{a} ＞ 4$.
$\because a ＜ 0, \therefore b ＞ -4a$,
$\therefore 1 - 3a ＞ -4a, \therefore a ＞ -1$,
$\therefore a$ 的取值范围是 $-1 ＜ a ＜ 0$.

3. [2025安庆段考]如图,二次函数$y=ax^2 +4x +c$($a≠0$)的图象与一次函数$y=x -3$的图象交于A,B两点,点A在y轴上,点B在x轴上,一次函数的图象与二次函数的图象的对称轴交于点M.
(1)求$a,c$的值和点M的坐标.
(2)点P是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,点P的坐标为$(x,n)$,$m=PM^2$,求$m$关于$n$的函数表达式,并求当$n$取何值时,$m$的值最小,最小值是多少.

(1)$\because$ 二次函数 $y = ax^2 + 4x + c(a ≠ 0)$ 的图象与一次函数 $y = x - 3$ 的图象交于 $A,B$ 两点,点 $A$ 在 $y$ 轴上,点 $B$ 在 $x$ 轴上, $\therefore A(0,-3), B(3,0)$.
将点 $A,B$ 的坐标代入二次函数的表达式,得 $\begin{cases}-3 = c,\\0 = 9a + 12 + c,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}c = -3,\\a = -1,\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = -x^2 + 4x - 3 = -(x - 2)^2 + 1$.
$\because$ 点 $M$ 是一次函数图象与二次函数图象对称轴的交点,抛物线的对称轴为直线 $x = 2$,
$\therefore$ 点 $M$ 的横坐标为 $2$.
把 $x = 2$ 代入 $y = x - 3$, 得 $y = 2 - 3 = -1$,
$\therefore M(2,-1)$.
(2)将点 $P(x,n)$ 的坐标代入二次函数的表达式,
得 $n = -(x - 2)^2 + 1$,
$\therefore (x - 2)^2 = 1 - n$.
$\because M(2,-1), P(x,n), PM^2 = m$,
$\therefore (x - 2)^2 + (n + 1)^2 = PM^2 = m$,
$\therefore m = 1 - n + n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 2 = (n + \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$.
$\because$ 二次项系数为 $1$, 且 $1 ＞ 0$, 由题意可得 $-3 ＜ n ＜ 1$,
$\therefore$ 当 $n = -\frac{1}{2}$ 时, $m$ 有最小值 $\frac{7}{4}$.