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1. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，已知$∠ A=58°$，$∠ B=50°$，$∠ A'=58°$，$∠ C'=72°$，则这两个三角形（
A.不一定相似
B.一定相似
C.全等
D.无法判定
B
）A.不一定相似
B.一定相似
C.全等
D.无法判定
答案
1.B
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，优先从给出的角的条件入手：首先根据三角形内角和为180°，计算出△ABC中未知的∠C的度数，再对比两个三角形的对应角，验证是否满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定规则；另外全等的判定需要对应边相等的条件，本题没有给出边长相关信息，可直接排除全等选项。
【解析】
第一步：计算△ABC中∠C的度数，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-58°-50°=72°$
第二步：对比两个三角形的对应角：
$∠ A=∠ A'=58°$，$∠ C=∠ C'=72°$
根据相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，因此两个三角形一定相似。
题目未给出任何一组对应边相等的条件，无法判定全等，排除选项C，A、D不符合推导结论，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.相似三角形的判定定理1
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是先利用三角形内角和求出未知角，再结合角的判定条件判断三角形的关系，要注意区分相似和全等的判定要求，全等需要额外的边相等条件作为支撑。
【难度系数】
0.85
要判断两个三角形是否相似，优先从给出的角的条件入手：首先根据三角形内角和为180°，计算出△ABC中未知的∠C的度数，再对比两个三角形的对应角，验证是否满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定规则；另外全等的判定需要对应边相等的条件，本题没有给出边长相关信息，可直接排除全等选项。
【解析】
第一步：计算△ABC中∠C的度数，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-58°-50°=72°$
第二步：对比两个三角形的对应角：
$∠ A=∠ A'=58°$，$∠ C=∠ C'=72°$
根据相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，因此两个三角形一定相似。
题目未给出任何一组对应边相等的条件，无法判定全等，排除选项C，A、D不符合推导结论，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.相似三角形的判定定理1
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是先利用三角形内角和求出未知角，再结合角的判定条件判断三角形的关系，要注意区分相似和全等的判定要求，全等需要额外的边相等条件作为支撑。
【难度系数】
0.85
2.如图，D是BC上的点，∠ADB=∠BAC，则下列结论正确的是（
A.$△ ABC ∽ △ DAC$
B.$△ ABC ∽ △ DBA$
C.$△ ABD ∽ △ ACD$
D.以上都不对
B
）A.$△ ABC ∽ △ DAC$
B.$△ ABC ∽ △ DBA$
C.$△ ABD ∽ △ ACD$
D.以上都不对
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题时首先回忆相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。首先从已知条件∠ADB=∠BAC出发，观察角所属的三角形，发现∠B是△ABC和△DBA的公共角，此时两个三角形已有两组角对应相等，即可判定两个三角形相似，再匹配选项即可。
【解析】
解：在△ABC和△DBA中，
∵∠B是两个三角形的公共角，
∴∠B=∠B，
又已知∠BAC=∠BDA（即∠ADB），
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△DBA。
分析其余选项：A选项△ABC和△DAC无法找到两组对应相等的角，C选项△ABD和△ACD也无两组对应相等的角，故A、C错误，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题的关键是准确识别公共角，结合已知的等角，利用两角对应相等的判定定理快速判断相似关系，难度不大。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，解题时首先回忆相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。首先从已知条件∠ADB=∠BAC出发，观察角所属的三角形，发现∠B是△ABC和△DBA的公共角，此时两个三角形已有两组角对应相等，即可判定两个三角形相似，再匹配选项即可。
【解析】
解：在△ABC和△DBA中，
∵∠B是两个三角形的公共角，
∴∠B=∠B，
又已知∠BAC=∠BDA（即∠ADB），
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△DBA。
分析其余选项：A选项△ABC和△DAC无法找到两组对应相等的角，C选项△ABD和△ACD也无两组对应相等的角，故A、C错误，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题的关键是准确识别公共角，结合已知的等角，利用两角对应相等的判定定理快速判断相似关系，难度不大。
【难度系数】
0.7
3. 学科融合 新趋势（内江中考）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球。”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物。这一原理在生活中的应用随处可见。如图①，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头。如图②，动力臂$OA=150\ \mathrm{cm}$，阻力臂$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长是 （
A.80 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm
B
）A.80 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm
答案
3.B
解析
【分析】要计算AC的长度，可通过证明△OAC与△OBD相似，利用相似三角形对应边成比例求解。首先观察两个三角形的角：∠A和∠OBD均为直角，等于90°；∠AOC和∠BOD是对顶角，大小相等，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定两个三角形相似，再代入已知边的长度即可求出AC。
【解析】
解：由题意可知$∠ A = ∠ OBD = 90°$，
$\because ∠ AOC = ∠ BOD$（对顶角相等），
$\therefore △ OAC ∽ △ OBD$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD}$，
将$OA=150\ \mathrm{cm}$，$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{150}{50} = \frac{AC}{20}$，
解得$AC = 3 × 20 = 60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题结合杠杆原理的生活场景考查相似三角形的实际应用，将物理知识与数学几何知识结合，体现了学科融合的考查特点，解题关键是准确判定相似三角形，再利用相似性质计算未知边长。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：由题意可知$∠ A = ∠ OBD = 90°$，
$\because ∠ AOC = ∠ BOD$（对顶角相等），
$\therefore △ OAC ∽ △ OBD$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD}$，
将$OA=150\ \mathrm{cm}$，$OB=50\ \mathrm{cm}$，$BD=20\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{150}{50} = \frac{AC}{20}$，
解得$AC = 3 × 20 = 60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题结合杠杆原理的生活场景考查相似三角形的实际应用，将物理知识与数学几何知识结合，体现了学科融合的考查特点，解题关键是准确判定相似三角形，再利用相似性质计算未知边长。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上.添加一个条件使$△ ADE ∽ △ ACB$,则这个条件可以是
(第4题图)
(第5题图)
∠ADE=∠C(答案不唯一)
.(写出一个即可)(第4题图)
(第5题图)
答案
4.∠ADE=∠C(答案不唯一)
解析
【分析】
首先观察两个待判定相似的三角形△ADE和△ACB，二者有公共角∠A，已经满足一组对应角相等的条件。根据相似三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等，或补充夹公共角的两组对应边成比例，即可判定两个三角形相似，添加条件时注意保证角、边的对应关系和对应顶点的匹配即可。
【解析】
已知△ADE与△ACB中，∠A是公共角，即$∠ A = ∠ A$。
若添加条件$∠ ADE = ∠ C$，此时两个三角形满足两组对应角分别相等：$∠ A = ∠ A$，$∠ ADE = ∠ C$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可推出$△ ADE ∽ △ ACB$。
也可添加$∠ AED = ∠ B$、$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$等条件，任选其一即可。
【答案】
$∠ ADE=∠ C$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定，公共角的性质，对应关系识别
【点评】
本题是开放性基础题，解题的核心是先找到两个三角形的公共角，再结合相似三角形的判定规则添加符合要求的条件，添加条件时要注意对应顶点的顺序，避免对应角、对应边匹配出错。
【难度系数】
0.85
首先观察两个待判定相似的三角形△ADE和△ACB，二者有公共角∠A，已经满足一组对应角相等的条件。根据相似三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等，或补充夹公共角的两组对应边成比例，即可判定两个三角形相似，添加条件时注意保证角、边的对应关系和对应顶点的匹配即可。
【解析】
已知△ADE与△ACB中，∠A是公共角，即$∠ A = ∠ A$。
若添加条件$∠ ADE = ∠ C$，此时两个三角形满足两组对应角分别相等：$∠ A = ∠ A$，$∠ ADE = ∠ C$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可推出$△ ADE ∽ △ ACB$。
也可添加$∠ AED = ∠ B$、$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$等条件，任选其一即可。
【答案】
$∠ ADE=∠ C$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定，公共角的性质，对应关系识别
【点评】
本题是开放性基础题，解题的核心是先找到两个三角形的公共角，再结合相似三角形的判定规则添加符合要求的条件，添加条件时要注意对应顶点的顺序，避免对应角、对应边匹配出错。
【难度系数】
0.85
5.如图，在$△ ABC$中，AD是中线，$BC=8$，$∠ B=∠ DAC$，则线段AC的长是
$4\sqrt{2}$
。答案
5.$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据三角形中线的性质，可先求出CD的长度；再观察角的关系，发现△CBA和△CAD有公共角∠C，且已知∠B=∠DAC，可依据相似三角形判定定理1证明两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×8 = 4$。
在△CBA和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠C \quad (\mathrm{公共角})\\∠B = ∠DAC \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴△CBA∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC}$，即$AC^2 = BC·CD$。
代入BC=8，CD=4，得$AC^2 = 8×4 = 32$。
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是通过两组等角判定三角形相似，再借助相似的比例性质建立等式求解，计算时注意线段长度取正值即可。
【难度系数】
0.7
首先根据三角形中线的性质，可先求出CD的长度；再观察角的关系，发现△CBA和△CAD有公共角∠C，且已知∠B=∠DAC，可依据相似三角形判定定理1证明两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×8 = 4$。
在△CBA和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠C \quad (\mathrm{公共角})\\∠B = ∠DAC \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴△CBA∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC}$，即$AC^2 = BC·CD$。
代入BC=8，CD=4，得$AC^2 = 8×4 = 32$。
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题的关键是通过两组等角判定三角形相似，再借助相似的比例性质建立等式求解，计算时注意线段长度取正值即可。
【难度系数】
0.7
6.(亳州谯城区期中)如图，O是△ABC的边BC上一点，连接AO，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，连接DE，DF. 求证：△ABC∽△DEF.
答案
6.证明:
∵D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,
∴DE//AB,DF//AC.
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∴△ABC∽△DEF.
∵D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,
∴DE//AB,DF//AC.
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∴△ABC∽△DEF.
解析
【分析】
要证明△ABC∽△DEF，可采用相似三角形的判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”来推导。首先根据题中D、E、F都是中点的条件，联想到三角形中位线定理，可得DE、DF分别是△OAB、△OAC的中位线，由此推出DE//AB、DF//AC；再根据平行线的同位角相等性质，得到两组对应角相等，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,
∴DE是△OAB的中位线，DF是△OAC的中位线，
∴DE//AB,DF//AC，
∴∠ABC=∠DEF（两直线平行，同位角相等），∠ACB=∠DFE（两直线平行，同位角相等），
∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,
∴DE//AB,DF//AC.
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∴△ABC∽△DEF.
【知识点】
三角形中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础常考题，解题核心是利用中位线性质得到平行线，进而得到相等的对应角，熟练掌握相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC∽△DEF，可采用相似三角形的判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”来推导。首先根据题中D、E、F都是中点的条件，联想到三角形中位线定理，可得DE、DF分别是△OAB、△OAC的中位线，由此推出DE//AB、DF//AC；再根据平行线的同位角相等性质，得到两组对应角相等，即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,
∴DE是△OAB的中位线，DF是△OAC的中位线，
∴DE//AB,DF//AC，
∴∠ABC=∠DEF（两直线平行，同位角相等），∠ACB=∠DFE（两直线平行，同位角相等），
∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,
∴DE//AB,DF//AC.
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∴△ABC∽△DEF.
【知识点】
三角形中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础常考题，解题核心是利用中位线性质得到平行线，进而得到相等的对应角，熟练掌握相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$E$是边$AC$上一点,且$BE=BC$,过点$A$作$BE$的垂线,交$BE$的延长线于点$D$.求证:$△ ADE ∽ △ ABC$.
答案
7.证明:
∵BE=BC,
∴∠CEB=∠C.
∵∠CEB=∠AED,
∴∠AED=∠C.
∵AD⊥BE,
∴∠D=90°=∠ABC.
∴△ADE∽△ABC.
∵BE=BC,
∴∠CEB=∠C.
∵∠CEB=∠AED,
∴∠AED=∠C.
∵AD⊥BE,
∴∠D=90°=∠ABC.
∴△ADE∽△ABC.
解析
【分析】
要证明△ADE∽△ABC，可依据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理推导。首先观察已知角的特征：已知∠ABC=90°，AD垂直BE，可得∠D=∠ABC=90°，已经有一组对应角相等，只需再推导另一组对应角相等即可。结合已知BE=BC，可通过等腰三角形等边对等角的性质得到∠CEB=∠C，再利用对顶角相等的性质，将∠CEB转化为∠AED，即可得到第二组相等的对应角∠AED=∠C，进而完成相似证明。
【解析】
证明：
∵BE=BC，
∴∠CEB=∠C。
∵∠CEB和∠AED是对顶角，
∴∠CEB=∠AED，
通过等量代换可得∠AED=∠C。
∵AD⊥BE，
∴∠D=90°，又∠ABC=90°，
∴∠D=∠ABC。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ABC。
【答案】
证明:
∵BE=BC,
∴∠CEB=∠C.
∵∠CEB=∠AED,
∴∠AED=∠C.
∵AD⊥BE,
∴∠D=90°=∠ABC.
∴△ADE∽△ABC.
【知识点】
相似三角形判定定理1、等腰三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心是通过角的等量代换得到两组对应相等的角，解题时要善于结合已知条件，利用等腰三角形、对顶角的性质完成角的转换。
【难度系数】
0.8
要证明△ADE∽△ABC，可依据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理推导。首先观察已知角的特征：已知∠ABC=90°，AD垂直BE，可得∠D=∠ABC=90°，已经有一组对应角相等，只需再推导另一组对应角相等即可。结合已知BE=BC，可通过等腰三角形等边对等角的性质得到∠CEB=∠C，再利用对顶角相等的性质，将∠CEB转化为∠AED，即可得到第二组相等的对应角∠AED=∠C，进而完成相似证明。
【解析】
证明：
∵BE=BC，
∴∠CEB=∠C。
∵∠CEB和∠AED是对顶角，
∴∠CEB=∠AED，
通过等量代换可得∠AED=∠C。
∵AD⊥BE，
∴∠D=90°，又∠ABC=90°，
∴∠D=∠ABC。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ABC。
【答案】
证明:
∵BE=BC,
∴∠CEB=∠C.
∵∠CEB=∠AED,
∴∠AED=∠C.
∵AD⊥BE,
∴∠D=90°=∠ABC.
∴△ADE∽△ABC.
【知识点】
相似三角形判定定理1、等腰三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，核心是通过角的等量代换得到两组对应相等的角，解题时要善于结合已知条件，利用等腰三角形、对顶角的性质完成角的转换。
【难度系数】
0.8
