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10.如图，在$△ ABC$中，点D，E分别在AB，AC上，$DE // BC$，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM，交DE于点N，则下列结论正确的是（
A.$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$
B.$\frac{BD}{MN}=\frac{MN}{CE}$
C.$\frac{DN}{BM}=\frac{EN}{CM}$
D.$\frac{DN}{CM}=\frac{EN}{BM}$
（第10题图）
（第11题图）
C
）A.$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$
B.$\frac{BD}{MN}=\frac{MN}{CE}$
C.$\frac{DN}{BM}=\frac{EN}{CM}$
D.$\frac{DN}{CM}=\frac{EN}{BM}$
（第10题图）（第11题图）
答案
10.C
解析
【分析】
看到DE平行于BC，首先联想到平行线判定相似三角形的“A型”相似模型，先分别证明△ADN与△ABM相似、△AEN与△ACM相似，得到两组对应边的比例式，两组比例式都含有公共比值$\frac{AN}{AM}$，联立即可得到DN、BM、EN、CM的比例关系，再逐一比对选项选出正确答案。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$DN// BM$，$EN// CM$，
∴$△ ADN ∽ △ ABM$，$△ AEN ∽ △ ACM$，
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{DN}{BM}=\frac{AN}{AM}$，$\frac{EN}{CM}=\frac{AN}{AM}$，
∴$\frac{DN}{BM}=\frac{EN}{CM}$，故C选项正确。
对其余选项判断如下：
A选项：由相似可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AN}{AM}=\frac{AE}{AC}$，无法推出$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$，错误；
B选项：无对应相似关系可推导该比例，错误；
D选项：比例对应边关系错误，排除。
【答案】
C
【知识点】
平行线判定相似；相似三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心是利用平行线构造A型相似模型，借助公共比例量推导未知线段的比例关系，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
看到DE平行于BC，首先联想到平行线判定相似三角形的“A型”相似模型，先分别证明△ADN与△ABM相似、△AEN与△ACM相似，得到两组对应边的比例式，两组比例式都含有公共比值$\frac{AN}{AM}$，联立即可得到DN、BM、EN、CM的比例关系，再逐一比对选项选出正确答案。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$DN// BM$，$EN// CM$，
∴$△ ADN ∽ △ ABM$，$△ AEN ∽ △ ACM$，
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{DN}{BM}=\frac{AN}{AM}$，$\frac{EN}{CM}=\frac{AN}{AM}$，
∴$\frac{DN}{BM}=\frac{EN}{CM}$，故C选项正确。
对其余选项判断如下：
A选项：由相似可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AN}{AM}=\frac{AE}{AC}$，无法推出$\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AE}$，错误；
B选项：无对应相似关系可推导该比例，错误；
D选项：比例对应边关系错误，排除。
【答案】
C
【知识点】
平行线判定相似；相似三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心是利用平行线构造A型相似模型，借助公共比例量推导未知线段的比例关系，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11.(界首期末)如图,在$□ ABCD$中,点E在边CD上,$DE=\frac{1}{2}CE$,AE与BD交于点O,$□ ABCD$的面积为$48\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{△ DOE}$为（
A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$9\ \mathrm{cm}^2$
C.$3\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$9\ \mathrm{cm}^2$
C.$3\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\ \mathrm{cm}^2$
答案
11.D
解析
【分析】
解题思路如下：①先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB//CD、AB=CD，结合$DE=\frac{1}{2}CE$推出DE与AB的长度比为1:3；②由AB//CD可判定$△ AOB ∽ △ EOD$，得到相似比为3:1，进而得到对应边$OB:OD=OA:OE=3:1$；③结合同高三角形的面积比等于底边长的比，以及平行四边形对角线将其分为面积相等的两个三角形的性质，建立面积的比例关系即可求出$△ DOE$的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{▱ABCD}=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}^2$。
∵$DE=\frac{1}{2}CE$，
∴$DE:CD=1:3$，即$DE:AB=1:3$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ OED$，$∠ OBA=∠ ODE$，
∴$△ AOB ∽ △ EOD$，相似比为$AB:DE=3:1$，
∴$OA:OE=OB:OD=3:1$。
设$S_{△ DOE}=x$，
∵$△ DOE$与$△ AOD$等高，底的比为$OE:OA=1:3$，
∴$S_{△ AOD}=3x$。
∵$△ AOD$与$△ AOB$等高，底的比为$OD:OB=1:3$，
∴$S_{△ AOB}=3×3x=9x$。
∵$S_{△ ABD}=S_{△ AOB}+S_{△ AOD}=9x+3x=12x=24$，
解得$x=2$，即$S_{△ DOE}=2\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的典型题型，解题的核心是利用平行线找到相似三角形，得到线段的比例关系，再结合等高三角形的面积比例关系求解，能有效考查学生对相似性质和面积比例关系的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB//CD、AB=CD，结合$DE=\frac{1}{2}CE$推出DE与AB的长度比为1:3；②由AB//CD可判定$△ AOB ∽ △ EOD$，得到相似比为3:1，进而得到对应边$OB:OD=OA:OE=3:1$；③结合同高三角形的面积比等于底边长的比，以及平行四边形对角线将其分为面积相等的两个三角形的性质，建立面积的比例关系即可求出$△ DOE$的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{▱ABCD}=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}^2$。
∵$DE=\frac{1}{2}CE$，
∴$DE:CD=1:3$，即$DE:AB=1:3$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ OED$，$∠ OBA=∠ ODE$，
∴$△ AOB ∽ △ EOD$，相似比为$AB:DE=3:1$，
∴$OA:OE=OB:OD=3:1$。
设$S_{△ DOE}=x$，
∵$△ DOE$与$△ AOD$等高，底的比为$OE:OA=1:3$，
∴$S_{△ AOD}=3x$。
∵$△ AOD$与$△ AOB$等高，底的比为$OD:OB=1:3$，
∴$S_{△ AOB}=3×3x=9x$。
∵$S_{△ ABD}=S_{△ AOB}+S_{△ AOD}=9x+3x=12x=24$，
解得$x=2$，即$S_{△ DOE}=2\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的典型题型，解题的核心是利用平行线找到相似三角形，得到线段的比例关系，再结合等高三角形的面积比例关系求解，能有效考查学生对相似性质和面积比例关系的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$□ ABCD$中，点$M$，$N$在$AD$边上，$AM=DN$，连接$CM$并延长，交$BA$的延长线于点$E$，连接$BN$并延长，交$CD$的延长线于点$F$.求证:$AE=DF$.
答案
12. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD.
∴△AME∽△DMC,△DNF∽△ANB.
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AM}{DM}$,$\frac{DF}{AB}=\frac{DN}{AN}$.
∵AM=DN,
∴AM+MN=DN+MN.
∴AN=DM.
∴$\frac{AM}{DM}=\frac{DN}{AN}$.
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{DF}{AB}$.
∴AE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD.
∴△AME∽△DMC,△DNF∽△ANB.
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AM}{DM}$,$\frac{DF}{AB}=\frac{DN}{AN}$.
∵AM=DN,
∴AM+MN=DN+MN.
∴AN=DM.
∴$\frac{AM}{DM}=\frac{DN}{AN}$.
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{DF}{AB}$.
∴AE=DF.
解析
【分析】
要证明AE=DF，我们可以按以下思路推导：首先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，由AB//CD可推出两组平行线构成的相似三角形，得到包含AE、DF的比例式；再结合已知条件AM=DN，通过线段和的关系推出AN=DM，将比例式进行等量代换，最后结合平行四边形对边相等的性质，即可得出AE与DF相等的结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴△AME∽△DMC，△DNF∽△ANB，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AM}{DM}$，$\frac{DF}{AB}=\frac{DN}{AN}$。
∵AM=DN，
∴AM+MN=DN+MN，即AN=DM，
∴$\frac{AM}{DM}=\frac{DN}{AN}$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{DF}{AB}$。
又
∵AB=CD，
∴AE=DF。
【答案】
AE=DF
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查平行四边形性质与相似三角形的综合应用，解题的突破口是利用平行线判定相似三角形，再通过线段的等量代换推导比例关系，最终得到线段相等的结论，是相似三角形应用的常规题型。
【难度系数】
0.75
要证明AE=DF，我们可以按以下思路推导：首先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，由AB//CD可推出两组平行线构成的相似三角形，得到包含AE、DF的比例式；再结合已知条件AM=DN，通过线段和的关系推出AN=DM，将比例式进行等量代换，最后结合平行四边形对边相等的性质，即可得出AE与DF相等的结论。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴△AME∽△DMC，△DNF∽△ANB，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AM}{DM}$，$\frac{DF}{AB}=\frac{DN}{AN}$。
∵AM=DN，
∴AM+MN=DN+MN，即AN=DM，
∴$\frac{AM}{DM}=\frac{DN}{AN}$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{DF}{AB}$。
又
∵AB=CD，
∴AE=DF。
【答案】
AE=DF
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查平行四边形性质与相似三角形的综合应用，解题的突破口是利用平行线判定相似三角形，再通过线段的等量代换推导比例关系，最终得到线段相等的结论，是相似三角形应用的常规题型。
【难度系数】
0.75
13. 类比思想 新理念 在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$BE$是$AC$边上的中线，点$D$在射线$BC$上。
(1)如图①，点$D$在$BC$边上，$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，$AD$与$BE$相交于点$P$，过点$A$作$AF // BC$，交$BE$的延长线于点$F$，则$\frac{AP}{DP}$的值为
(2)如图②，点$D$在$BC$的延长线上，$AD$与$BE$的延长线交于点$P$，$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，求$\frac{AP}{DP}$的值。
(1)如图①，点$D$在$BC$边上，$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，$AD$与$BE$相交于点$P$，过点$A$作$AF // BC$，交$BE$的延长线于点$F$，则$\frac{AP}{DP}$的值为
$\frac{3}{2}$
；(2)如图②，点$D$在$BC$的延长线上，$AD$与$BE$的延长线交于点$P$，$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，求$\frac{AP}{DP}$的值。
答案
13. 解:(1)$\frac{3}{2}$ (2)过点A作AF//BD,交BP的延长线于点F.
∵$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴BC=2CD.
∴BD=CD+BC=3CD.
∵E是AC的中点,
∴AE=CE.
∵AF//BD,
∴△AEF∽△CEB.
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{CE}=1$.
∴AF=BC=2CD.
∵AF//BD,
∴△APF∽△DPB.
∴$\frac{AP}{DP}=\frac{AF}{BD}$=$\frac{2CD}{3CD}=\frac{2}{3}$.
∵$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴BC=2CD.
∴BD=CD+BC=3CD.
∵E是AC的中点,
∴AE=CE.
∵AF//BD,
∴△AEF∽△CEB.
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{CE}=1$.
∴AF=BC=2CD.
∵AF//BD,
∴△APF∽△DPB.
∴$\frac{AP}{DP}=\frac{AF}{BD}$=$\frac{2CD}{3CD}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 遇到平行线和中点的条件，首先考虑证三角形全等得到相等线段：由AF//BC可得内错角相等，结合E是AC中点，可证△AEF≌△CEB，得到AF=BC；再结合CD与BD的比例关系，把BC用CD表示，最后由AF//BD得到△APF∽△DPB，利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{AP}{DP}$的值。
(2) 类比第(1)问的解题思路，过点A作AF//BD交BP延长线于F，同样先证△AEF≌△CEB得到AF=BC，再结合CD与BC的比例关系求出BD的长度表达式，最后证△APF∽△DPB，利用相似比求出$\frac{AP}{DP}$的值。
【解析】
(1)
∵AF//BC，
∴∠F=∠EBC，∠FAE=∠C，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE=CE，
在△AEF和△CEB中，
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ EBC\\ ∠ FAE=∠ C\\ AE=CE\end{array} $
∴△AEF≌△CEB(AAS)，
∴AF=BC，
∵$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴BD=2CD，
∴BC=CD+BD=3CD，即AF=3CD，
∵AF//BD，
∴△APF∽△DPB，
∴$\frac{AP}{DP}=\frac{AF}{BD}=\frac{3CD}{2CD}=\frac{3}{2}$。
(2) 过点A作AF//BD，交BP的延长线于点F，
∵$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BC=2CD，
∴BD=CD+BC=3CD，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵AF//BD，
∴∠F=∠EBC，∠FAE=∠ECB，
在△AEF和△CEB中，
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ EBC\\ ∠ FAE=∠ ECB\\ AE=CE\end{array} $
∴△AEF≌△CEB(AAS)，
∴AF=BC=2CD，
∵AF//BD，
∴△APF∽△DPB，
∴$\frac{AP}{DP}=\frac{AF}{BD}=\frac{2CD}{3CD}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题运用类比思想解题，通过作平行线构造全等和相似三角形，结合中点性质转化线段关系，进而求出线段的比值，解题的关键是掌握平行线构造相似三角形的方法，学会利用全等转化相等线段。
【难度系数】
0.65
(1) 遇到平行线和中点的条件，首先考虑证三角形全等得到相等线段：由AF//BC可得内错角相等，结合E是AC中点，可证△AEF≌△CEB，得到AF=BC；再结合CD与BD的比例关系，把BC用CD表示，最后由AF//BD得到△APF∽△DPB，利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{AP}{DP}$的值。
(2) 类比第(1)问的解题思路，过点A作AF//BD交BP延长线于F，同样先证△AEF≌△CEB得到AF=BC，再结合CD与BC的比例关系求出BD的长度表达式，最后证△APF∽△DPB，利用相似比求出$\frac{AP}{DP}$的值。
【解析】
(1)
∵AF//BC，
∴∠F=∠EBC，∠FAE=∠C，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE=CE，
在△AEF和△CEB中，
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ EBC\\ ∠ FAE=∠ C\\ AE=CE\end{array} $
∴△AEF≌△CEB(AAS)，
∴AF=BC，
∵$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴BD=2CD，
∴BC=CD+BD=3CD，即AF=3CD，
∵AF//BD，
∴△APF∽△DPB，
∴$\frac{AP}{DP}=\frac{AF}{BD}=\frac{3CD}{2CD}=\frac{3}{2}$。
(2) 过点A作AF//BD，交BP的延长线于点F，
∵$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BC=2CD，
∴BD=CD+BC=3CD，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵AF//BD，
∴∠F=∠EBC，∠FAE=∠ECB，
在△AEF和△CEB中，
$\{\begin{array}{l}∠ F=∠ EBC\\ ∠ FAE=∠ ECB\\ AE=CE\end{array} $
∴△AEF≌△CEB(AAS)，
∴AF=BC=2CD，
∵AF//BD，
∴△APF∽△DPB，
∴$\frac{AP}{DP}=\frac{AF}{BD}=\frac{2CD}{3CD}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题运用类比思想解题，通过作平行线构造全等和相似三角形，结合中点性质转化线段关系，进而求出线段的比值，解题的关键是掌握平行线构造相似三角形的方法，学会利用全等转化相等线段。
【难度系数】
0.65
