1.(贵州中考)如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=2:1.若DF=2,则AC的长为 ()

A.1
B.2
C.4
D.8

1.C

【分析】
已知两个三角形相似，解题核心是利用相似三角形的性质求解。首先根据相似三角形的顶点对应关系，确定对应边：AB对应DE，AC对应DF；再结合已知的对应边比值和DF的长度，列比例式即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF
∴相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{DF}=\frac{AB}{DE}$
已知$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{1}$，$DF=2$，代入比例式得：
$\frac{AC}{2}=\frac{2}{1}$
解得$AC=4$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；比例式计算
【点评】
本题是基础题，主要考查相似三角形性质的直接应用，解题关键是准确找到相似三角形的对应边，代入已知数值计算即可，易错点是对应边找错。
【难度系数】
0.8

2.若$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且$\frac{AB}{A'B'}=2$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比是，$△ A'B'C'$与$△ ABC$的相似比是。

2.2 $\frac{1}{2}$

【分析】
解题时首先要明确相似比的定义：相似三角形的相似比是前一个三角形与后一个三角形对应边的比值，具有明确的顺序性。已知△ABC和△A'B'C'相似，且对应边AB与A'B'的比值为2，求△ABC与△A'B'C'的相似比时，直接用前者对应边比后者对应边即可；求△A'B'C'与△ABC的相似比时，用前者对应边比后者对应边，也就是原相似比的倒数，代入计算就能得到结果。
【解析】
解：相似三角形的相似比为两个相似三角形对应边的比值，具有顺序性，即相似比等于前一个三角形的对应边与后一个三角形对应边的比。
已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且$\frac{AB}{A'B'}=2$：
1. $△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比$k_1=\frac{AB}{A'B'}=2$；
2. $△ A'B'C'$与$△ ABC$的相似比$k_2=\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{\frac{AB}{A'B'}}=\frac{1}{2}$。
【答案】
2；$\frac{1}{2}$
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.相似比的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考查相似比的顺序性，解题关键是明确相似比的前后对应关系，两个相似三角形顺序调换时，相似比互为倒数，做题时需注意审题，避免因搞反三角形顺序失分。
【难度系数】
0.8

3.已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$∠ A = 40°$，$∠ B = 110°$，则$∠ C'$的度数为。

3.$30°$

【分析】
解题时首先从已知的相似三角形条件出发，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应角相等，因此要求∠C'，只需要先求出它的对应角∠C的度数即可。而△ABC中已知两个内角的度数，利用三角形内角和为180°的定理，就能快速算出∠C的度数，进而得到∠C'的结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 110° = 30°$
$\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$
$\therefore ∠ C' = ∠ C = 30°$（相似三角形对应角相等）
【答案】
$30°$
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题目，主要考查相似三角形的基本性质，结合三角形内角和定理即可快速求解，掌握相似三角形对应角相等的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.9

4.(盐城中考)如图,在△ABC中,DE//BC.若AD:AB=1:3,DE=4,则BC的长是.

(第4题图)
(第5题图)

4.12

【分析】
解题时首先观察已知条件：DE//BC，根据相似三角形的判定定理，平行于三角形一边的直线与另外两边相交，得到的三角形与原三角形相似，可推出△ADE∽△ABC。再根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，可得AD与AB的比值等于DE与BC的比值，最后将已知的AD:AB=1:3、DE=4代入比例式，即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
又
∵AD:AB=1:3，DE=4，
∴$\frac{1}{3}=\frac{4}{BC}$，
解得BC=12。
【答案】
12
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题，核心考查利用平行线判定三角形相似，以及相似三角形对应边成比例性质的应用，掌握相关基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.如图，AB与CD相交于点O，且AC//BD，已知AC=2，OA=1.5，DB=4，则OB的长为。

5.3

【分析】
已知AC平行BD，首先根据平行线的性质可得到两组内错角相等，结合对顶角相等的性质，可判定△AOC与△BOD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段的长度列比例式，即可求出OB的长度。
【解析】
解：
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△AOC∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}$（相似三角形对应边成比例），
将AC=2，OA=1.5，DB=4代入比例式得：
$\frac{1.5}{OB}=\frac{2}{4}$，
解得OB=3。
【答案】
3
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础的相似三角形应用类题目，解题的核心是通过平行线的性质找到相等的角，判定三角形相似，再利用相似的性质列比例式计算未知线段长度，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都相等,点A,B,C,D都在格点上,连接AB,CD交于点E,则$\frac{CE}{DE}$的值是.

(第6题图) (第7题图)

6.$\frac{2}{3}$

【分析】
要计算$\frac{CE}{DE}$的比值，可通过相似三角形对应边成比例求解。首先观察网格中的线段AC和BD，可判断二者平行，根据平行线判定相似三角形的定理，可得△AEC与△BED相似，相似三角形对应边的比相等，因此$\frac{CE}{DE}$等于对应边$\frac{AC}{BD}$的比值，计算AC和BD的长度比即可得到最终结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 判定平行：观察网格可知，线段AC的横向偏移量为2、纵向偏移量为2，线段BD的横向偏移量为3、纵向偏移量为3，二者斜率相同，因此$AC// BD$。
2. 证明相似：$\because AC// BD$，$\therefore ∠ EAC=∠ EBD$，$∠ ECA=∠ EDB$（两直线平行，内错角相等），$\therefore △ AEC ∽ △ BED$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 计算比值：由相似三角形的性质可得$\frac{CE}{DE}=\frac{AC}{BD}$，结合勾股定理计算得$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，因此$\frac{CE}{DE}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平行线判定相似三角形，相似三角形的性质
【点评】
本题是网格中求线段比的常见题型，解题核心是观察图形找到平行关系，利用相似三角形的性质将待求线段比转化为易计算的线段比，掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

7. 如图，AB//CD//EF，则图中的相似三角形有 （）

A.4对
B.3对
C.2对
D.1对

7.B

【分析】
解题时先回忆平行线判定相似三角形的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所得的三角形与原三角形相似。我们按照平行关系逐个推导相似三角形：首先分析AB与CD平行的情况，推导对应的相似三角形；再分析CD与EF平行的情况，推导对应的相似三角形；最后直接分析AB与EF平行的情况，得到第三组相似三角形，统计总数即可。
【解析】
1. 已知$AB// CD$，根据平行线的性质可得$∠ OAB=∠ ODC$，$∠ OBA=∠ OCD$，又$∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等），因此$△ AOB ∽ △ DOC$，为第1对相似三角形。
2. 已知$CD// EF$，根据平行线的性质可得$∠ OCD=∠ OEF$，$∠ ODC=∠ OFE$，又$∠ COD=∠ EOF$（对顶角相等），因此$△ COD ∽ △ EOF$，为第2对相似三角形。
3. 已知$AB// EF$，根据平行线的性质可得$∠ OAB=∠ OFE$，$∠ OBA=∠ OEF$，又$∠ AOB=∠ FOE$（对顶角相等），因此$△ AOB ∽ △ FOE$，为第3对相似三角形。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础的相似三角形计数题，解题时要按照平行关系有序枚举，不要遗漏由两组平行关系分别得到的第三对相似三角形，避免出现数成2对的错误。
【难度系数】
0.7

8.(教材P82练习变式)如图，D,E,F分别是△ABC的边AB,AC,BC上的点，且DE//BC，EF//AB.求证:△ADE∽△EFC.

8. 证明:
∵DE//BC,EF//AB,
∴△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC.
∴△ADE∽△EFC.

【分析】
要证明△ADE∽△EFC，可结合题中给出的两组平行条件思考：首先根据“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似”这一判定定理，分别证明△ADE、△EFC都与△ABC相似，再利用相似三角形的传递性，即可推导出两个目标三角形相似。
【解析】
证明：
∵DE//BC，根据平行于三角形一边的直线截三角形两边，所得三角形与原三角形相似，可得△ADE∽△ABC；
∵EF//AB，同理可得△EFC∽△ABC；
结合相似三角形的传递性，即可推出△ADE∽△EFC。
【答案】
证明:
∵DE//BC,EF//AB,
∴△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC.
∴△ADE∽△EFC.
【知识点】
平行线判定相似三角形；相似三角形的传递性
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，重点考查对平行线判定相似定理的理解与应用，只要熟练掌握相关基础定理，就能快速完成证明。
【难度系数】
0.85

9.如图,在$△ ABC$中,点$D$,$E$分别在$AB$,$AC$上,$DE // BC$,连接$CD$,$BE$相交于点$F$.已知$DF=2$,$CF=4$,求$\frac{AD}{BD}$的值.

9. 解:
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC,△DEF∽△CBF.
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{CF}$.
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{CF}=\frac{1}{2}$.
∴$\frac{AD}{BD}=1$.

【分析】
本题要求$\frac{AD}{BD}$的值，已知$DE// BC$，可结合平行线得到相似三角形求解：首先利用平行线判定$△ DEF ∽ △ CBF$，由已知的$DF$、$CF$长度求出$\frac{DE}{BC}$的比值；再判定$△ ADE ∽ △ ABC$，将$\frac{DE}{BC}$作为中间量得到$\frac{AD}{AB}$的比值，最后转换为$\frac{AD}{BD}$即可。
【解析】
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$，$△ DEF∽△ CBF$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{CF}$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DF}{CF}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
即$AB=2AD$，
又$\because AB=AD+BD$，
$\therefore 2AD=AD+BD$，即$AD=BD$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是通过平行线找到两组相似三角形，以$\frac{DE}{BC}$为中间量建立已知条件和所求问题的联系，侧重对相似三角形基础判定和性质应用的考查。
【难度系数】
0.7