8. 学科融合新趋势（淮北期中）
如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是()

A.$\frac{3}{2}$
B.1
C.$\frac{2}{3}$
D.2

8.A

【分析】
本题是跨学科融合题，已知五线谱的五条横线为等距平行线，要求线段BC的长，可利用平行线分线段成比例的性质求解：首先观察点A、B、C所在的横线位置，确定AB、BC分别对应的相邻横线的间隔数，得到AB与BC的长度比，再代入AB=3即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵五线谱的五条平行横线距离相等，
观察图形可得：线段AB对应2个相邻横线的间隔，线段BC对应1个相邻横线的间隔，
根据平行线分线段成比例的性质，截得的线段长度比等于对应间隔数的比，即$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{1}$，
将AB=3代入得$\frac{3}{BC}=2$，
解得$BC=\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中常见的五线谱考查几何定理的应用，属于跨学科融合的基础题型，解题关键是准确判断两条线段对应的平行线间隔数，整体难度较低。
【难度系数】
0.8

9.如图，直线$l_1 // l_2 // l_3$，直线AC与DF相交于点G.若$AG=2BG$，$\frac{BC}{AG}=\frac{5}{2}$，则$\frac{DE}{EF}$的值为.

（第9题图）
（第10题图）

9.$\frac{3}{5}$

【分析】
首先根据平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，因此可将待求的$\frac{DE}{EF}$转化为求$\frac{AB}{BC}$。接下来通过设参数的方法，利用已知的线段比例关系，分别表示出AB和BC的长度，即可求出对应比值。
【解析】
设$BG=k$，
$\because AG=2BG$，$\therefore AG=2k$，
又$\because \frac{BC}{AG}=\frac{5}{2}$，$\therefore BC=\frac{5}{2}AG=\frac{5}{2}×2k=5k$，
由线段位置关系可得$AB=AG+BG=2k+k=3k$，
$\because l_1// l_2// l_3$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$，
代入得$\frac{DE}{EF}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的性质
【点评】
本题核心是平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是明确对应线段的比例关系，通过设参数的方式简化计算，只要找准对应线段即可快速求解。
【难度系数】
0.7

10.(教材P74习题T4变式)如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE//BC,EF//AB,且AD:BD=3:5,则CF:BC=.

10.$5:8$

【分析】
解题思路：首先利用DE//BC的条件，结合平行线分线段成比例的推论，得到AE与EC的比值；再利用EF//AB的条件，同理得到CF与FB的比值；最后将BC看作CF与FB的和，即可求出CF与BC的比值。第一步，由AD:BD=3:5、DE//BC，可推出AE:EC=AD:BD=3:5，即EC:AE=5:3；第二步，由EF//AB，可推出CF:FB=EC:AE=5:3；第三步，将BC拆分为CF+FB，按份数计算即可得到CF:BC的结果。
【解析】
解：
∵DE//BC，根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BD}=\frac{3}{5}$，即$\frac{EC}{AE}=\frac{5}{3}$。
又
∵EF//AB，
∴同理可得$\frac{CF}{FB}=\frac{EC}{AE}=\frac{5}{3}$。
设$CF=5k$（$k≠0$），则$FB=3k$，
∴$BC=CF+FB=5k+3k=8k$，
∴$\frac{CF}{BC}=\frac{5k}{8k}=\frac{5}{8}$，即$CF:BC=5:8$。
【答案】
$5:8$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例推论的基础应用题型，解题的核心是准确识别平行线截三角形两边得到的对应成比例线段，再结合线段和差关系即可求出所求比例，难度不大。
【难度系数】
0.8

11.(滁州琅琊区期末)如图,在$△ ABC$中,D为AC上一点,且$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$,过点D作$DE // BC$交AB于点E,连接CE,过点D作$DF // CE$交AB于点F.若$AB=15$,求EF的长.

11.解:$\because DE// BC,\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}. \therefore AE=2BE. \therefore AE=\frac{2}{3}AB=10. \because DF// CE,\therefore \frac{EF}{AF}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}. \therefore AF=2EF. \therefore EF=\frac{1}{3}AE=\frac{10}{3}.$

【分析】
解题时先结合图形中的平行关系，利用平行线分线段成比例的推论分步推导：第一步根据DE//BC，得到BE与AE的比等于已知的CD与AD的比1:2，结合AB总长度先求出AE的长度；第二步再根据DF//CE，再次运用该推论得到EF与AF的比为1:2，结合已求出的AE长度即可计算EF的长。
【解析】
解：$\because DE// BC$，由平行线分线段成比例的推论可得$\frac{BE}{AE}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AE=2BE$。
$\because AB=AE+BE=15$，
$\therefore AE=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×15=10$。
又$\because DF// CE$，同理可得$\frac{EF}{AF}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AF=2EF$。
$\because AE=AF+EF=10$，
$\therefore EF=\frac{1}{3}AE=\frac{1}{3}×10=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例推论
2. 比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例推论的基础应用题型，解题的关键是找准平行关系对应的线段比例，避免比例前后项对应混淆，熟练掌握推论即可快速求解。
【难度系数】
0.7

12.如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且$BD // EF // AC$。已知$DE=5$，$DF=3$，$CE=AD$。
(1)求AD的长；
(2)求$\frac{AE}{BE}$的值。

思维拓展 强化素养

12.解:(1)设$CE=AD=x$,则$AF=x-3. \because EF// AC,\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{DF}{AF}. \therefore \frac{5}{x}=\frac{3}{x-3}$,解得$x=7.5. \therefore AD=7.5.$ (2) $\because AD=7.5,DF=3,\therefore AF=AD-DF=4.5. \because EF// BD,\therefore \frac{AE}{BE}=\frac{AF}{DF}=\frac{4.5}{3}=\frac{3}{2}.$

【分析】
(1) 要求AD的长，已知CE=AD，可设AD=CE=x，先表示出AF=AD-DF=x-3；观察到EF//AC，根据平行线分线段成比例的推论，在△ACD中，平行于AC的直线EF截AD、CD两边，所得对应线段成比例，即$\frac{DE}{CE}=\frac{DF}{AF}$，代入数值列分式方程即可求解得到AD的长度。
(2) 要求$\frac{AE}{BE}$的值，观察到EF//BD，同理在△ABD中，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AE}{BE}=\frac{AF}{DF}$，代入第一问求出的AD长度计算出AF，即可求出比值。
【解析】
(1) 设$CE=AD=x$，则$AF=AD-DF=x-3$。
$\because EF// AC$，根据平行线分线段成比例推论，可得$\frac{DE}{CE}=\frac{DF}{AF}$。
将$DE=5$，$DF=3$代入得：$\frac{5}{x}=\frac{3}{x-3}$，
交叉相乘得$5(x-3)=3x$，
展开整理得$2x=15$，
解得$x=7.5$，即$AD=7.5$。
(2) 由(1)知$AD=7.5$，$\therefore AF=AD-DF=7.5-3=4.5$。
$\because EF// BD$，根据平行线分线段成比例推论，可得$\frac{AE}{BE}=\frac{AF}{DF}$，
代入数值得：$\frac{AE}{BE}=\frac{4.5}{3}=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$AD=7.5$；(2)$\frac{AE}{BE}=\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例推论
2. 比例的基本性质
3. 分式方程求解
【点评】
本题侧重考察平行线分线段成比例推论的应用，解题关键是结合已知平行关系，准确找到对应成比例的线段，合理设未知数列方程计算，是基础定理应用类的典型题目。
【难度系数】
0.7

13.(教材P75习题T10变式)阅读材料,解答下列问题:
角平分线分线段成比例定理:如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
这个定理的部分证明过程如下:
证明:过点C作$CE // AD$,交BA的延长线于点E……
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明过程的剩余部分；
(2)若$AB=5\ \mathrm{cm}$,$AC=4\ \mathrm{cm}$,$BC=7\ \mathrm{cm}$,求BD的长.

13.解:(1)$\because CE// AD,\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD},∠ CAD=∠ ACE,∠ BAD=∠ E. \because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD. \therefore ∠ ACE=∠ E. \therefore AE=AC. \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$ (2)由(1),得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD},\therefore \frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}. \therefore BD=\frac{35}{9}\ \mathrm{cm}.$

【分析】
(1) 本题要求补全角平分线分线段成比例定理的证明，已知辅助线为过C作$CE// AD$交BA延长线于E，首先由平行线分线段成比例可得$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$；再根据平行线的性质得到角的等量关系，结合AD平分$∠ BAC$的条件，推导得出$∠ ACE=∠ E$，依据等角对等边得到$AE=AC$，将比例式中的AE替换为AC即可证得结论。
(2) 第二问直接应用第一问证明的定理，把已知的AB、AC长度代入比例式，CD可表示为$BC-BD$，由此列出关于BD的方程，解方程即可求出BD的长度。
【解析】
(1) $\because CE// AD$，
$\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$，$∠ CAD=∠ ACE$，$∠ BAD=∠ E$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore ∠ ACE=∠ E$，
$\therefore AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 由(1)的结论可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
已知$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，则$CD=BC-BD=7-BD$，
代入比例式得：$\frac{5}{4}=\frac{BD}{7-BD}$，
交叉相乘得$5(7-BD)=4BD$，
整理得$35=9BD$，
解得$BD=\frac{35}{9}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{35}{9}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线分线段成比例，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题围绕角平分线分线段成比例定理设置，先考查定理的推导过程，需要熟练运用平行线性质、角平分线定义和等腰三角形判定的相关知识，再考查定理的直接应用，列方程计算时注意线段的和差关系不要混淆，整体难度不大。
【难度系数】
0.75