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8.满足下列条件的两个等腰三角形不一定相似的是（
A.都含有$60°$的角
B.都含有$45°$的角
C.都含有$90°$的角
D.都含有$120°$的角
B
）A.都含有$60°$的角
B.都含有$45°$的角
C.都含有$90°$的角
D.都含有$120°$的角
答案
8.B
解析
【分析】
解题核心是结合等腰三角形的性质和相似三角形判定定理1（两角对应相等的两个三角形相似）分析，注意等腰三角形的角分顶角和底角两种情况：钝角、直角只能作为等腰三角形的顶角（否则会违反三角形内角和为180°的规则），锐角既可以做顶角也可以做底角，需要分类讨论判断角是否对应相等。
【解析】
根据相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°逐一分析选项：
1. 选项A：含60°角的等腰三角形是等边三角形，所有内角都是60°，两角对应相等，一定相似。
2. 选项B：含45°角的等腰三角形分两种情况：
若45°为顶角，底角为$\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，三角形内角为$45°、67.5°、67.5°$；
若45°为底角，顶角为$180°-45°×2=90°$，三角形内角为$45°、45°、90°$。
两种情况的三角形内角不对应相等，因此不一定相似。
3. 选项C：90°为直角，只能作为等腰三角形的顶角（若为底角，两底角和为180°，不符合内角和规则），底角为$\frac{180°-90°}{2}=45°$，所有这类三角形内角都是$90°、45°、45°$，一定相似。
4. 选项D：120°为钝角，只能作为等腰三角形的顶角（若为底角，两底角和为240°＞180°，不符合规则），底角为$\frac{180°-120°}{2}=30°$，所有这类三角形内角都是$120°、30°、30°$，一定相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形锐角的分类讨论，解题时要注意：直角、钝角只能是等腰三角形的顶角，锐角既可以做顶角也可以做底角，需验证两种情况的角是否对应相等，再判断是否相似。
【难度系数】
0.7
解题核心是结合等腰三角形的性质和相似三角形判定定理1（两角对应相等的两个三角形相似）分析，注意等腰三角形的角分顶角和底角两种情况：钝角、直角只能作为等腰三角形的顶角（否则会违反三角形内角和为180°的规则），锐角既可以做顶角也可以做底角，需要分类讨论判断角是否对应相等。
【解析】
根据相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°逐一分析选项：
1. 选项A：含60°角的等腰三角形是等边三角形，所有内角都是60°，两角对应相等，一定相似。
2. 选项B：含45°角的等腰三角形分两种情况：
若45°为顶角，底角为$\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，三角形内角为$45°、67.5°、67.5°$；
若45°为底角，顶角为$180°-45°×2=90°$，三角形内角为$45°、45°、90°$。
两种情况的三角形内角不对应相等，因此不一定相似。
3. 选项C：90°为直角，只能作为等腰三角形的顶角（若为底角，两底角和为180°，不符合内角和规则），底角为$\frac{180°-90°}{2}=45°$，所有这类三角形内角都是$90°、45°、45°$，一定相似。
4. 选项D：120°为钝角，只能作为等腰三角形的顶角（若为底角，两底角和为240°＞180°，不符合规则），底角为$\frac{180°-120°}{2}=30°$，所有这类三角形内角都是$120°、30°、30°$，一定相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形锐角的分类讨论，解题时要注意：直角、钝角只能是等腰三角形的顶角，锐角既可以做顶角也可以做底角，需验证两种情况的角是否对应相等，再判断是否相似。
【难度系数】
0.7
9.(河北中考)如图,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.添加下列条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN的是 (
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
D
)A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
答案
9.D
解析
【分析】
首先根据已知AE//BC可推出∠MAE=∠B、∠AEM=∠N，要判定△MAE∽△DCN，依据相似三角形判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），只需再证明一组对应角相等即可。接下来逐一分析各选项给出的条件能否推出另一组对应角相等，无法推出的即为正确选项。
【解析】
已知AE//BC，根据平行线的性质可得：
∠MAE = ∠B，∠AEM = ∠N。
对各选项逐一分析：
A. 若∠B+∠4=180°，由邻补角定义得∠DCN+∠4=180°，故∠B=∠DCN，进而得∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠N，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
B. 若CD//AB，根据平行线的性质得∠NDC=∠M，结合∠AEM=∠N，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
C. 若∠1=∠4，由邻补角定义得∠1+∠MAE=180°，∠4+∠DCN=180°，故∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠N，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
D. 若∠2=∠3，只能得到∠2和∠3的补角关系，无法推出△MAE和△DCN有另一组对应角相等，不能判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，邻补角的定义
【点评】
本题围绕相似三角形的判定设置，解题时需先从已知平行条件推导出已有的相等角，再结合选项条件验证是否满足相似的判定要求，能有效考查学生对平行线性质和相似判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据已知AE//BC可推出∠MAE=∠B、∠AEM=∠N，要判定△MAE∽△DCN，依据相似三角形判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），只需再证明一组对应角相等即可。接下来逐一分析各选项给出的条件能否推出另一组对应角相等，无法推出的即为正确选项。
【解析】
已知AE//BC，根据平行线的性质可得：
∠MAE = ∠B，∠AEM = ∠N。
对各选项逐一分析：
A. 若∠B+∠4=180°，由邻补角定义得∠DCN+∠4=180°，故∠B=∠DCN，进而得∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠N，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
B. 若CD//AB，根据平行线的性质得∠NDC=∠M，结合∠AEM=∠N，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
C. 若∠1=∠4，由邻补角定义得∠1+∠MAE=180°，∠4+∠DCN=180°，故∠MAE=∠DCN，结合∠AEM=∠N，可判定△MAE∽△DCN，不符合题意；
D. 若∠2=∠3，只能得到∠2和∠3的补角关系，无法推出△MAE和△DCN有另一组对应角相等，不能判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，邻补角的定义
【点评】
本题围绕相似三角形的判定设置，解题时需先从已知平行条件推导出已有的相等角，再结合选项条件验证是否满足相似的判定要求，能有效考查学生对平行线性质和相似判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$□ ABCD$中，E为AD上一点，延长DC至点F，连接AF，EF.若$AF=10$，$AE=8$，$∠ AFE=∠ B$，则BC的长为（
A.10
B.$\frac{25}{2}$
C.$10\sqrt{2}$
D.$\frac{45}{4}$
（第10题图）
（第11题图）
B
）A.10
B.$\frac{25}{2}$
C.$10\sqrt{2}$
D.$\frac{45}{4}$
（第10题图）
（第11题图）
答案
10.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 结合平行四边形的性质，可知∠B=∠D、BC=AD，因此求BC的长可转化为求AD的长；2. 由已知∠AFE=∠B，等量代换得∠AFE=∠D，再观察△AEF和△AFD，二者有公共角∠EAF=∠FAD，根据相似三角形判定定理1可证两个三角形相似；3. 利用相似三角形对应边成比例列式，代入已知数值计算出AD的长度，即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D，BC=AD（平行四边形对角相等、对边相等）
∵∠AFE=∠B
∴∠AFE=∠D
在△AEF和△AFD中：
$\{\begin{array}{l}∠AFE=∠D \\∠EAF=∠FAD \quad (\mathrm{公共角})\end{array} $
∴△AEF∽△AFD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AF}{AD}$
将AF=10，AE=8代入比例式得：
$\frac{8}{10}=\frac{10}{AD}$
解得：$AD=\frac{10×10}{8}=\frac{25}{2}$
又
∵BC=AD
∴$BC=\frac{25}{2}$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合平行四边形性质和相似三角形的判定求解边长，解题的核心是通过角的等量代换找到相似三角形，再利用相似三角形的边的比例关系计算未知量，是典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 结合平行四边形的性质，可知∠B=∠D、BC=AD，因此求BC的长可转化为求AD的长；2. 由已知∠AFE=∠B，等量代换得∠AFE=∠D，再观察△AEF和△AFD，二者有公共角∠EAF=∠FAD，根据相似三角形判定定理1可证两个三角形相似；3. 利用相似三角形对应边成比例列式，代入已知数值计算出AD的长度，即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D，BC=AD（平行四边形对角相等、对边相等）
∵∠AFE=∠B
∴∠AFE=∠D
在△AEF和△AFD中：
$\{\begin{array}{l}∠AFE=∠D \\∠EAF=∠FAD \quad (\mathrm{公共角})\end{array} $
∴△AEF∽△AFD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AF}{AD}$
将AF=10，AE=8代入比例式得：
$\frac{8}{10}=\frac{10}{AD}$
解得：$AD=\frac{10×10}{8}=\frac{25}{2}$
又
∵BC=AD
∴$BC=\frac{25}{2}$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合平行四边形性质和相似三角形的判定求解边长，解题的核心是通过角的等量代换找到相似三角形，再利用相似三角形的边的比例关系计算未知量，是典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
11.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F。若DF=6，则线段EF的长为
3
。答案
11.3
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质得到对应角相等、边的长度，先在直角三角形AFD中用勾股定理算出AF的长，再根据两角分别相等判定△ADF和△EAB相似，利用相似三角形对应边成比例求出AE的长度，最后用AF减去AE即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=10，AD//BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
在Rt△ADF中，AD=10，DF=6，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∵∠AFD=∠B，∠DAF=∠AEB，
∴△ADF∽△EAB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{DF}{AB}$，代入AD=10，DF=6，AB=3得：
$\frac{10}{AE}=\frac{6}{3}$，解得$AE=5$，
∴$EF=AF-AE=8-5=3$。
【答案】
3
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是正确识别相似三角形的对应角和对应边，结合勾股定理即可求出线段长度，需要注意不要混淆相似三角形的对应边比例关系。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形的性质得到对应角相等、边的长度，先在直角三角形AFD中用勾股定理算出AF的长，再根据两角分别相等判定△ADF和△EAB相似，利用相似三角形对应边成比例求出AE的长度，最后用AF减去AE即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=10，AD//BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
在Rt△ADF中，AD=10，DF=6，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$，
∵∠AFD=∠B，∠DAF=∠AEB，
∴△ADF∽△EAB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{DF}{AB}$，代入AD=10，DF=6，AB=3得：
$\frac{10}{AE}=\frac{6}{3}$，解得$AE=5$，
∴$EF=AF-AE=8-5=3$。
【答案】
3
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是正确识别相似三角形的对应角和对应边，结合勾股定理即可求出线段长度，需要注意不要混淆相似三角形的对应边比例关系。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$□ ABCD$中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且$∠ DAE=∠ F$。
(1)求证：$△ ABE ∽ △ ECF$；
(2)若$AB=3,AD=7,BE=2$，求CF的长。
思维拓展 强化素养
(1)求证：$△ ABE ∽ △ ECF$；
(2)若$AB=3,AD=7,BE=2$，求CF的长。
思维拓展 强化素养
答案
12.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AD//BC.
∴∠B=∠ECF,∠DAE=∠AEB.又
∵∠DAE=∠F,
∴∠AEB=∠F.
∴△ABE∽△ECF.(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=7.
∴EC=BC-BE=5.
∵△ABE∽△ECF,
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{EC}$,即$\frac{2}{CF}=\frac{3}{5}$.
∴$CF=\frac{10}{3}$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AD//BC.
∴∠B=∠ECF,∠DAE=∠AEB.又
∵∠DAE=∠F,
∴∠AEB=∠F.
∴△ABE∽△ECF.(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=7.
∴EC=BC-BE=5.
∵△ABE∽△ECF,
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{EC}$,即$\frac{2}{CF}=\frac{3}{5}$.
∴$CF=\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
(1)要证明△ABE∽△ECF，可通过证明两组对应角相等实现：首先利用平行四边形对边平行的性质，推导得到∠B=∠ECF，再结合已知∠DAE=∠F，推导出另一组对应角∠AEB=∠F，即可用两角分别相等的两个三角形相似完成证明。
(2)求CF的长时，先利用平行四边形对边相等的性质求出EC的长度，再根据已证的相似三角形对应边成比例，代入已知边长列比例式即可求解。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB，
又
∵∠DAE=∠F，
∴∠AEB=∠F，
∴△ABE∽△ECF。
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=7，
∴EC=BC-BE=7-2=5，
∵△ABE∽△ECF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{EC}$，即$\frac{2}{CF}=\frac{3}{5}$，
解得$CF=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$CF=\frac{10}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将平行四边形的性质与相似三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是准确找出相似三角形的对应角与对应边，熟练掌握相关性质定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABE∽△ECF，可通过证明两组对应角相等实现：首先利用平行四边形对边平行的性质，推导得到∠B=∠ECF，再结合已知∠DAE=∠F，推导出另一组对应角∠AEB=∠F，即可用两角分别相等的两个三角形相似完成证明。
(2)求CF的长时，先利用平行四边形对边相等的性质求出EC的长度，再根据已证的相似三角形对应边成比例，代入已知边长列比例式即可求解。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB，
又
∵∠DAE=∠F，
∴∠AEB=∠F，
∴△ABE∽△ECF。
(2)解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=7，
∴EC=BC-BE=7-2=5，
∵△ABE∽△ECF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{EC}$，即$\frac{2}{CF}=\frac{3}{5}$，
解得$CF=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$CF=\frac{10}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将平行四边形的性质与相似三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是准确找出相似三角形的对应角与对应边，熟练掌握相关性质定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
13. 类比探究 新趋势 如图①,在四边形ABCD中,P为AB上一点.
(1)若∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD·BC=AP·BP.
(2)如图②,若∠DPC=∠A=∠B=θ,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
(1)若∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD·BC=AP·BP.
(2)如图②,若∠DPC=∠A=∠B=θ,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
答案
13.(1)证明:
∵∠A=∠DPC=90°,
∴∠APD+∠ADP=90°,∠APD+∠BPC=90°.
∴∠ADP=∠BPC.又
∵∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC.
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$.
∴AD·BC=AP·BP.(2)解:成立.理由如下:
∵∠A=∠DPC=θ,
∴∠APD+∠BPC=180°-θ,∠APD+∠ADP=180°-θ.
∴∠ADP=∠BPC.又
∵∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC.
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$.
∴AD·BC=AP·BP.
∵∠A=∠DPC=90°,
∴∠APD+∠ADP=90°,∠APD+∠BPC=90°.
∴∠ADP=∠BPC.又
∵∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC.
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$.
∴AD·BC=AP·BP.(2)解:成立.理由如下:
∵∠A=∠DPC=θ,
∴∠APD+∠BPC=180°-θ,∠APD+∠ADP=180°-θ.
∴∠ADP=∠BPC.又
∵∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC.
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$.
∴AD·BC=AP·BP.
解析
【分析】
(1) 要证明AD·BC=AP·BP，需先将乘积式转化为比例式$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，只需证明△ADP与△BPC相似即可。已知∠A=∠B=90°，结合∠DPC=90°，利用同角的余角相等可推出一组对应角相等，即可依据两角分别相等判定两三角形相似，再由相似性质得到比例式，交叉相乘即可得证。
(2) 类比第(1)问的解题思路，虽然三个角变为一般角度θ，仍可利用三角形内角和定理推导得到∠ADP=∠BPC，结合∠A=∠B，仍可判定两三角形相似，因此原结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明:
∵∠A=∠DPC=90°,
∴∠APD+∠ADP=90°,∠APD+∠BPC=90°,
∴∠ADP=∠BPC.
又
∵∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC,
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$,
∴AD·BC=AP·BP.
(2) 上述结论仍然成立，理由如下:
∵∠A=∠DPC=θ,
∴∠APD+∠BPC=180°-θ,∠APD+∠ADP=180°-θ,
∴∠ADP=∠BPC.
又
∵∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC,
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$,
∴AD·BC=AP·BP.
【答案】
(1) 证明如上；(2) 结论成立，理由如上。
【知识点】
1. 相似三角形的判定定理1
2. 相似三角形的性质
3. 角度等量代换
【点评】
本题为类比探究类题型，从特殊的直角情境推广到一般的定角情境，解题核心是通过角度推导证明三角形相似，再结合相似性质得到线段关系，能锻炼逻辑推理能力和从特殊到一般的探究思维。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD·BC=AP·BP，需先将乘积式转化为比例式$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，只需证明△ADP与△BPC相似即可。已知∠A=∠B=90°，结合∠DPC=90°，利用同角的余角相等可推出一组对应角相等，即可依据两角分别相等判定两三角形相似，再由相似性质得到比例式，交叉相乘即可得证。
(2) 类比第(1)问的解题思路，虽然三个角变为一般角度θ，仍可利用三角形内角和定理推导得到∠ADP=∠BPC，结合∠A=∠B，仍可判定两三角形相似，因此原结论仍然成立。
【解析】
(1) 证明:
∵∠A=∠DPC=90°,
∴∠APD+∠ADP=90°,∠APD+∠BPC=90°,
∴∠ADP=∠BPC.
又
∵∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC,
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$,
∴AD·BC=AP·BP.
(2) 上述结论仍然成立，理由如下:
∵∠A=∠DPC=θ,
∴∠APD+∠BPC=180°-θ,∠APD+∠ADP=180°-θ,
∴∠ADP=∠BPC.
又
∵∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC,
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$,
∴AD·BC=AP·BP.
【答案】
(1) 证明如上；(2) 结论成立，理由如上。
【知识点】
1. 相似三角形的判定定理1
2. 相似三角形的性质
3. 角度等量代换
【点评】
本题为类比探究类题型，从特殊的直角情境推广到一般的定角情境，解题核心是通过角度推导证明三角形相似，再结合相似性质得到线段关系，能锻炼逻辑推理能力和从特殊到一般的探究思维。
【难度系数】
0.7
