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1. 如图，OC是$∠ AOB$的平分线，$CM⊥ OB$于点$M$，$CM=6$，则点$C$到射线$OA$的距离是 （
A.3
B.6
C.9
D.12
B
）A.3
B.6
C.9
D.12
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确所求为点C到射线OA的距离，即点C到OA的垂线段长度。已知OC是∠AOB的角平分线，且点C到OB边的距离为CM=6（CM⊥OB），结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可直接推出点C到OA的距离和到OB的距离相等，进而得出结果。
【解析】
过点C作CN⊥OA，垂足为N，CN的长度就是点C到射线OA的距离。
∵OC是∠AOB的平分线，CM⊥OB，CN⊥OA，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CN=CM，
又
∵CM=6，
∴CN=6，即点C到射线OA的距离为6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是基础题，直接考查角平分线性质的应用，解题关键是牢记角平分线的性质，明确点到直线（射线）的距离是垂线段的长度，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先明确所求为点C到射线OA的距离，即点C到OA的垂线段长度。已知OC是∠AOB的角平分线，且点C到OB边的距离为CM=6（CM⊥OB），结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可直接推出点C到OA的距离和到OB的距离相等，进而得出结果。
【解析】
过点C作CN⊥OA，垂足为N，CN的长度就是点C到射线OA的距离。
∵OC是∠AOB的平分线，CM⊥OB，CN⊥OA，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CN=CM，
又
∵CM=6，
∴CN=6，即点C到射线OA的距离为6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是基础题，直接考查角平分线性质的应用，解题关键是牢记角平分线的性质，明确点到直线（射线）的距离是垂线段的长度，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.如图，OP平分$∠ AOB$，$PA⊥ OA$，$PB⊥ OB$，垂足分别为A，B，则下列结论不一定正确的是（
A.$PA=PB$
B.$PO$平分$∠ APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$垂直平分$OP$
D
）A.$PA=PB$
B.$PO$平分$∠ APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$垂直平分$OP$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可直接判断PA=PB是否成立；再通过HL证明Rt△OPA和Rt△OPB全等，根据全等三角形的对应边、对应角相等，判断PO平分∠APB、OA=OB是否成立；最后结合垂直平分线的判定，分析OP和AB的位置关系，判断D选项是否一定成立。
【解析】
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得PA=PB，故A选项结论正确，不符合题意；
在Rt△OPA和Rt△OPB中，
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PA=PB\end{array} $
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，
即PO平分∠APB，故B、C选项结论正确，不符合题意；
由OA=OB，PA=PB可知，点O、P均在线段AB的垂直平分线上，因此OP垂直平分AB，但无法证明AB上的点到O、P的距离相等，即AB不一定垂直平分OP，只有特殊角度下该结论才成立，故D选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何题，围绕角平分线的性质展开，结合全等三角形和垂直平分线的知识考查，解题时要注意区分两条线段互相垂直平分的条件，避免将“OP垂直平分AB”和“AB垂直平分OP”混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可直接判断PA=PB是否成立；再通过HL证明Rt△OPA和Rt△OPB全等，根据全等三角形的对应边、对应角相等，判断PO平分∠APB、OA=OB是否成立；最后结合垂直平分线的判定，分析OP和AB的位置关系，判断D选项是否一定成立。
【解析】
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得PA=PB，故A选项结论正确，不符合题意；
在Rt△OPA和Rt△OPB中，
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PA=PB\end{array} $
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，
即PO平分∠APB，故B、C选项结论正确，不符合题意；
由OA=OB，PA=PB可知，点O、P均在线段AB的垂直平分线上，因此OP垂直平分AB，但无法证明AB上的点到O、P的距离相等，即AB不一定垂直平分OP，只有特殊角度下该结论才成立，故D选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何题，围绕角平分线的性质展开，结合全等三角形和垂直平分线的知识考查，解题时要注意区分两条线段互相垂直平分的条件，避免将“OP垂直平分AB”和“AB垂直平分OP”混淆。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$，$DE⊥ AB$于点$E$。若$AC=15$，$AD=9$，则$DE$的长为（
A.9
B.7
C.6
D.5
（第3题图）
（第4题图）
C
）A.9
B.7
C.6
D.5
（第3题图）
（第4题图）
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：BD平分∠ABC，∠C=90°（即DC⊥BC），DE⊥AB，符合角平分线性质的使用条件，因此可以得到DE=DC；接下来先根据AC和AD的长度求出DC的长度，即可得到DE的长度。
【解析】
解：已知$AC=15$，$AD=9$，
∴$DC = AC - AD = 15 - 9 = 6$，
∵BD平分$∠ABC$，$∠C=90°$（即$DC⊥BC$），$DE⊥AB$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$DE = DC = 6$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是基础应用题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，将未知线段DE的长度转化为易求的线段DC的长度，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：BD平分∠ABC，∠C=90°（即DC⊥BC），DE⊥AB，符合角平分线性质的使用条件，因此可以得到DE=DC；接下来先根据AC和AD的长度求出DC的长度，即可得到DE的长度。
【解析】
解：已知$AC=15$，$AD=9$，
∴$DC = AC - AD = 15 - 9 = 6$，
∵BD平分$∠ABC$，$∠C=90°$（即$DC⊥BC$），$DE⊥AB$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$DE = DC = 6$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是基础应用题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，将未知线段DE的长度转化为易求的线段DC的长度，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$.以点$A$为圆心,任意长为半径作弧,分别交边$AC$,$AB$于点$M$,$N$;再分别以点$M$,$N$为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧交于点$P$,连接$AP$,交$BC$于点$D$.若$CD=2$,$AB=6$,则$△ ABD$的面积为
6
.答案
4.6
解析
【分析】
首先观察题中的尺规作图步骤，可判断该作图是作∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC。接下来回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠C=90°即DC⊥AC，因此点D到AB边的距离等于CD的长度。最后△ABD的面积可利用“$\frac{1}{2}×底×高$”计算，底AB已知，高就是点D到AB的距离，代入数值即可求解。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
又
∵AD平分∠BAC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 6 × 2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线的作图识别与性质应用，解题的关键是通过作图步骤判断AD为角平分线，利用角平分线的性质得到△ABD中AB边上的高，结合三角形面积公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
首先观察题中的尺规作图步骤，可判断该作图是作∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC。接下来回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠C=90°即DC⊥AC，因此点D到AB边的距离等于CD的长度。最后△ABD的面积可利用“$\frac{1}{2}×底×高$”计算，底AB已知，高就是点D到AB的距离，代入数值即可求解。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
又
∵AD平分∠BAC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 6 × 2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线的作图识别与性质应用，解题的关键是通过作图步骤判断AD为角平分线，利用角平分线的性质得到△ABD中AB边上的高，结合三角形面积公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
5.如图，BD平分∠ABC，∠A=∠C，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.
答案
5. 证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠A=∠C,∠ADB=180°−∠ABD−∠A,∠CDB=180°−∠CBD−∠C,
∴∠ADB=∠CDB.
∴DB平分∠ADC.
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠A=∠C,∠ADB=180°−∠ABD−∠A,∠CDB=180°−∠CBD−∠C,
∴∠ADB=∠CDB.
∴DB平分∠ADC.
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
解析
【分析】
要证明PM=PN，结合PM⊥AD、PN⊥CD的条件，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先证明BD平分∠ADC，即证∠ADB=∠CDB。已知BD平分∠ABC可得∠ABD=∠CBD，再结合∠A=∠C，利用三角形内角和为180°，即可推出∠ADB=∠CDB，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
∵∠A=∠C，∠ADB=180°−∠ABD−∠A，∠CDB=180°−∠CBD−∠C，
∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC。
又
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
根据角平分线的性质可得PM=PN。
【答案】
证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠A=∠C,∠ADB=180°−∠ABD−∠A,∠CDB=180°−∠CBD−∠C,
∴∠ADB=∠CDB.
∴DB平分∠ADC.
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
【知识点】
角平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的判定
【点评】
本题将三角形内角和定理与角平分线的相关定理结合考查，解题的核心是将待证的线段相等问题转化为证明角平分线的问题，能够有效锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
要证明PM=PN，结合PM⊥AD、PN⊥CD的条件，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先证明BD平分∠ADC，即证∠ADB=∠CDB。已知BD平分∠ABC可得∠ABD=∠CBD，再结合∠A=∠C，利用三角形内角和为180°，即可推出∠ADB=∠CDB，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
∵∠A=∠C，∠ADB=180°−∠ABD−∠A，∠CDB=180°−∠CBD−∠C，
∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC。
又
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
根据角平分线的性质可得PM=PN。
【答案】
证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠A=∠C,∠ADB=180°−∠ABD−∠A,∠CDB=180°−∠CBD−∠C,
∴∠ADB=∠CDB.
∴DB平分∠ADC.
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
【知识点】
角平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的判定
【点评】
本题将三角形内角和定理与角平分线的相关定理结合考查，解题的核心是将待证的线段相等问题转化为证明角平分线的问题，能够有效锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
6.如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=3 cm.当PD的长为
（第6题图）
（第7题图）
3
cm时，点P在∠AOB的平分线上.（第6题图）
（第7题图）
答案
6.3
解析
【分析】
要判断点P在∠AOB的平分线上，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。已知点P在∠AOB内部，PC是点P到OA的垂线段，长度为3cm，PD是点P到OB的垂线段，要满足点P在角平分线上，只需让PD和PC的长度相等即可，由此可直接得出PD的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知PC⊥OA，PD⊥OB，因此PC、PD分别是点P到OA、OB的距离。
若点P在∠AOB的平分线上，则PD=PC。
∵PC=3cm，
∴PD=3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题型，解题关键是熟记角平分线的判定定理，明确“到角两边的距离”指的是垂线段的长度，直接对应条件即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要判断点P在∠AOB的平分线上，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。已知点P在∠AOB内部，PC是点P到OA的垂线段，长度为3cm，PD是点P到OB的垂线段，要满足点P在角平分线上，只需让PD和PC的长度相等即可，由此可直接得出PD的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知PC⊥OA，PD⊥OB，因此PC、PD分别是点P到OA、OB的距离。
若点P在∠AOB的平分线上，则PD=PC。
∵PC=3cm，
∴PD=3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题型，解题关键是熟记角平分线的判定定理，明确“到角两边的距离”指的是垂线段的长度，直接对应条件即可得到结果。
【难度系数】
0.9
7.如图，$∠ AOB=70°$，点Q在$∠ AOB$内部，$QC⊥ OA$于点C，$QD⊥ OB$于点D。若$QC=QD$，则$∠ AOQ$的度数为
35°
。答案
7.35°
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察已知条件，QC垂直OA、QD垂直OB，说明QC、QD分别是点Q到∠AOB两边OA、OB的距离，又给出QC=QD，根据角平分线的判定定理，可推出OQ是∠AOB的角平分线；再根据角平分线的定义，角平分线将原角分为两个相等的小角，因此∠AOQ的度数是∠AOB的一半，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD，
∴根据“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，可得OQ平分∠AOB，
∴$∠ AOQ = \frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=70°$，
∴$∠ AOQ = \frac{1}{2}×70° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础角度计算题，核心考查角平分线的判定定理，解题关键是能够根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”判断出OQ是角平分线，整体计算量小，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察已知条件，QC垂直OA、QD垂直OB，说明QC、QD分别是点Q到∠AOB两边OA、OB的距离，又给出QC=QD，根据角平分线的判定定理，可推出OQ是∠AOB的角平分线；再根据角平分线的定义，角平分线将原角分为两个相等的小角，因此∠AOQ的度数是∠AOB的一半，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD，
∴根据“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，可得OQ平分∠AOB，
∴$∠ AOQ = \frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=70°$，
∴$∠ AOQ = \frac{1}{2}×70° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础角度计算题，核心考查角平分线的判定定理，解题关键是能够根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”判断出OQ是角平分线，整体计算量小，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF.求证:AD平分∠BAC.
答案
8. 证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，可依据角平分线的判定定理，证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF。首先结合已知条件：D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC可得∠BED=∠CFD=90°，再结合给出的BE=CF，可通过HL定理证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，即可推导得出AD平分∠BAC。
【解析】
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
【答案】
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
【知识点】
HL证全等，全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关的基础证明题，解题思路清晰，核心是先通过HL证明直角三角形全等得到两条垂线段相等，再利用角平分线的判定定理得出结论，属于该知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，可依据角平分线的判定定理，证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF。首先结合已知条件：D是BC中点可得BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC可得∠BED=∠CFD=90°，再结合给出的BE=CF，可通过HL定理证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，即可推导得出AD平分∠BAC。
【解析】
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
【答案】
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
【知识点】
HL证全等，全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关的基础证明题，解题思路清晰，核心是先通过HL证明直角三角形全等得到两条垂线段相等，再利用角平分线的判定定理得出结论，属于该知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
