9.将两把宽度相同的直尺按如图所示的方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺的边缘与射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合.若$∠ AOB=54°$，则$∠ AOP$的度数为（）

A.$54°$
B.$36°$
C.$27°$
D.$26°$

（第9题图）
（第10题图）

9.C

【分析】
解题时首先结合直尺宽度相等的条件，可知直尺宽度就是点P到直尺对应边的垂线段长度，即点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等；再回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得出OP平分∠AOB，最后根据角平分线的定义计算∠AOP的度数即可。
【解析】
解：
∵两把直尺的宽度相同，
∴点P到OA的距离等于点P到OB的距离（直尺的宽度为点到对应边的垂线段长度），
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得OP平分∠AOB，
∴$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵$∠ AOB=54°$，
∴$∠ AOP=\frac{1}{2}×54°=27°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定的实际应用类题目，解题的关键是将“直尺宽度相等”转化为点到角两边的距离相等，进而判断出角平分线后代入角度计算即可，属于基础考题。
【难度系数】
0.8

10.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB=90°，∠BAC的平分线分别交CD，CB于点E，F，FG⊥AB，垂足为G，则CE FG.（填“＞”“＜”或“=”）

10.=

【分析】
首先观察题目条件，AF是∠BAC的角平分线，且FG⊥AB、FC⊥AC，可优先通过角平分线的性质得到CF=FG；接下来只需证明CE=CF，即可得出CE和FG的大小关系。要证CE=CF，可通过证明∠CEF=∠CFE，利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等、角平分线的定义进行角的等量代换，最终由等角对等边得到CE=CF，即可推出结论。
【解析】
1.
∵AF平分∠BAC，∠ACB=90°（即FC⊥AC），FG⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得CF=FG。
2.
∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴CD⊥AB，即∠ADE=90°，
∴在Rt△ADE中，∠EAD + ∠AED = 90°；
在Rt△ACF中，∠CAF + ∠CFE = 90°。
3.
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAF=∠EAD，
∴∠CFE=∠AED（等角的余角相等）。
4. 又
∵∠AED=∠CEF（对顶角相等），
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF（等角对等边）。
5. 结合CF=FG，可得CE=FG。
【答案】
=
【知识点】
角平分线的性质，等角对等边，对顶角相等
【点评】
本题是基础几何综合题，解题关键是先利用角平分线性质得到FG与CF相等，再通过角的等量代换证明CE与CF相等，进而得到最终结论，考查了学生对基础几何性质的应用和角的推导能力。
【难度系数】
0.7

11.如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG。求证：OC是∠AOB的平分线。

11. 证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDF=∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∵$\begin{cases} PF=PG, \\ DF=EG, \end{cases}$
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL).
∴PD=PE.
∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.

【分析】
要证明OC是∠AOB的平分线，依据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点P到OA、OB的距离PD和PE相等即可。已知PD⊥OA、PE⊥OB，可得△PDF和△PEG都是直角三角形，结合题目给出的PF=PG、DF=EG的条件，可通过HL判定两个直角三角形全等，进而得到PD=PE，即可推出最终结论。
【解析】
证明：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDF=∠PEG=90°。
在Rt△PFD和Rt△PGE中，
$\begin{cases} PF=PG \\ DF=EG \end{cases}$
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD=PE。
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线。
【答案】
证明过程见上述解析，OC是∠AOB的平分线得证。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 角平分线的判定定理
【点评】
本题是基础类几何证明题，解题关键是明确角平分线的判定条件，通过证明直角三角形全等得到所需的边相等的结论，需注意HL定理仅适用于直角三角形全等的判定。
【难度系数】
0.8

12.如图，AD是等腰直角三角形ABC的底角平分线，∠C=90°.求证:AB=AC+CD.

12. 证明:过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°=∠C.
∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,
∴CD=DE.
∵∠ACD=∠AED=90°,AD=AD,
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL).
∴AC=AE.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=45°.
∴∠BDE=90°−∠B=45°.
∴DE=EB.
∴CD=EB.
∴AB=AE+EB=AC+CD.

【分析】要证明AB=AC+CD这类线段和的问题，通常采用截长补短的思路。已知AD是∠CAB的平分线，结合角平分线“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，可过点D作DE⊥AB于E，首先得到CD=DE；再证明Rt△ACD与Rt△AED全等，推出AC=AE；最后结合等腰直角三角形ABC的角度特征，证明△BDE是等腰直角三角形，得到DE=EB即CD=EB，通过AB=AE+EB即可代换得到待证结论。
【解析】证明：过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED=90°=∠C。
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，
∴CD=DE。
∵∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。
∴AC=AE。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°。
∴∠BDE=90°−∠B=45°。
∴DE=EB。
∴CD=EB。
∴AB=AE+EB=AC+CD。
【答案】AB=AC+CD，得证。
【知识点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】本题是线段和差证明的典型题目，解题的核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将分散的待证线段转化到同一条线段上，体现了转化思想在几何证明中的应用。
【难度系数】0.7

13. 如图，$∠ AOB=90°$，$OM$是$∠ AOB$的平分线，$C,P,D$分别是射线$OA,OM,OB$上的动点，且$PC⊥ PD$，求证：$PC=PD$.

13. 证明:过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.
∴∠PEC=∠PFD=90°.
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PE=PF.
∵∠PEC=∠AOB=90°,
∴PE//OF.
∴∠EPF=180°−∠PFD=90°.
∵PC⊥PD,
∴∠CPD=90°.
∴∠CPD−∠EPD=∠EPF−∠EPD,即∠CPE=∠DPF. 在△PCE和△PDF中,
∵$\begin{cases} ∠CPE=∠DPF, \\ PE=PF, \\ ∠PEC=∠PFD, \end{cases}$
∴△PCE≌△PDF(ASA).
∴PC=PD.

【分析】
要证明PC=PD，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此先过点P向OA、OB作垂线，得到一组相等的垂线段；再结合PC⊥PD的条件，通过角的和差关系推导得到一组相等的对应锐角，即可证明两个直角三角形全等，进而得到对应边PC=PD。
【解析】
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F。
∴∠PEC=∠PFD=90°。
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF。
∵∠PEC=∠AOB=90°，
∴PE//OF，
∴∠EPF=180°−∠PFD=90°。
∵PC⊥PD，
∴∠CPD=90°，
∴∠CPD−∠EPD=∠EPF−∠EPD，即∠CPE=∠DPF。
在△PCE和△PDF中，
∵$\begin{cases} ∠CPE=∠DPF, \\ PE=PF, \\ ∠PEC=∠PFD, \end{cases}$
∴△PCE≌△PDF(ASA)。
∴PC=PD。
【答案】
PC=PD
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线相关证明的基础典型题，核心考查角平分线性质的应用和全等三角形的判定，解题关键是根据角平分线的性质作垂线构造全等三角形，这类辅助线作法在几何证明中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75