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1. 如图，用三角支架固定空调外机，已知$OA ⊥ AB$，$∠ O = α$，$OB = 0.4 \ \mathrm{m}$，则点O到墙面的距离OA为 （
A.$0.4\sin α \ \mathrm{m}$
B.$0.4\cos α \ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{0.4}{\sin α} \ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{0.4}{\cos α} \ \mathrm{m}$
（第1题图）
（第2题图）
B
）A.$0.4\sin α \ \mathrm{m}$
B.$0.4\cos α \ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{0.4}{\sin α} \ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{0.4}{\cos α} \ \mathrm{m}$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.B
解析
【分析】
首先观察图形可知△OAB是直角三角形，∠A为直角，已知斜边OB的长度和锐角∠O的度数为α，要求边OA的长度。我们结合锐角三角函数的定义求解：先明确∠O的邻边是OA，斜边是OB，对应余弦函数的定义（邻边与斜边的比值为角的余弦值），代入已知条件变形即可得到OA的表达式。
【解析】
解：
∵OA⊥AB，
∴∠A=90°，△OAB是直角三角形。
在Rt△OAB中，根据余弦的定义可得：
$\cos∠ O=\frac{\mathrm{∠O的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OA}{OB}$，
已知∠O=α，OB=0.4m，代入得：
$\cosα=\frac{OA}{0.4}$，
变形可得$OA=0.4\cosα \ \mathrm{m}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.余弦的定义
2.解直角三角形
3.垂直的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题关键是准确识别直角三角形中指定锐角对应的邻边、对边和斜边，熟练运用锐角三角函数的定义列式计算即可。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知△OAB是直角三角形，∠A为直角，已知斜边OB的长度和锐角∠O的度数为α，要求边OA的长度。我们结合锐角三角函数的定义求解：先明确∠O的邻边是OA，斜边是OB，对应余弦函数的定义（邻边与斜边的比值为角的余弦值），代入已知条件变形即可得到OA的表达式。
【解析】
解：
∵OA⊥AB，
∴∠A=90°，△OAB是直角三角形。
在Rt△OAB中，根据余弦的定义可得：
$\cos∠ O=\frac{\mathrm{∠O的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OA}{OB}$，
已知∠O=α，OB=0.4m，代入得：
$\cosα=\frac{OA}{0.4}$，
变形可得$OA=0.4\cosα \ \mathrm{m}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.余弦的定义
2.解直角三角形
3.垂直的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题关键是准确识别直角三角形中指定锐角对应的邻边、对边和斜边，熟练运用锐角三角函数的定义列式计算即可。
【难度系数】
0.9
2.如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为$21.8°$，仪器与气球的水平距离BC为20 m，且距地面的高度AB为1.5 m，则气球顶部离地面的高度EC约为
9.5
m.（结果精确到0.1 m，参考数据：$\sin 21.8° \approx 0.371\ 4$，$\cos 21.8° \approx 0.928\ 5$，$\tan 21.8° \approx 0.400\ 0$）答案
2.9.5
解析
【分析】
首先观察图形可知四边形ABCD为矩形，根据矩形性质可得AD=BC=20m，DC=AB=1.5m。要求气球顶部离地面的高度EC，可将其拆分为ED+DC两部分，DC长度已知，因此只需在Rt△ADE中求出ED的长度即可。已知Rt△ADE中∠EAD=21.8°，邻边AD的长度，求对边ED，选用正切函数计算即可。
【解析】
由题意得，四边形ABCD是矩形，
∴$AD=BC=20\mathrm{m}$，$DC=AB=1.5\mathrm{m}$，
在Rt△ADE中，$∠ EAD=21.8°$，$∠ ADE=90°$，
∵$\tan∠ EAD=\frac{ED}{AD}$，
∴$ED=AD·\tan21.8°\approx20×0.4000=8\mathrm{m}$，
∴$EC=ED+DC=8+1.5=9.5\mathrm{m}$。
【答案】
9.5
【知识点】
仰角问题，矩形的性质，锐角三角函数应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用基础题，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，结合矩形性质和正切函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知四边形ABCD为矩形，根据矩形性质可得AD=BC=20m，DC=AB=1.5m。要求气球顶部离地面的高度EC，可将其拆分为ED+DC两部分，DC长度已知，因此只需在Rt△ADE中求出ED的长度即可。已知Rt△ADE中∠EAD=21.8°，邻边AD的长度，求对边ED，选用正切函数计算即可。
【解析】
由题意得，四边形ABCD是矩形，
∴$AD=BC=20\mathrm{m}$，$DC=AB=1.5\mathrm{m}$，
在Rt△ADE中，$∠ EAD=21.8°$，$∠ ADE=90°$，
∵$\tan∠ EAD=\frac{ED}{AD}$，
∴$ED=AD·\tan21.8°\approx20×0.4000=8\mathrm{m}$，
∴$EC=ED+DC=8+1.5=9.5\mathrm{m}$。
【答案】
9.5
【知识点】
仰角问题，矩形的性质，锐角三角函数应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用基础题，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，结合矩形性质和正切函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.(安庆模拟)人字梯为现代家庭常用的工具.如图,若人字梯两根支架AB,AC的长都为2 m,且两根支架AB,AC之间的夹角为42°,求人字梯张开的水平宽度BC.(结果精确到0.1 m,参考数据:$\sin 42° \approx 0.67,\cos 42° \approx 0.74,\tan 42° \approx 0.90,\sin 21° \approx 0.36,\cos 21° \approx 0.93,\tan 21° \approx 0.38$)
答案
3.解:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∵AB=AC=2 m,
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=21°. 在 Rt△ABD 中,BD=AB·sin ∠BAD≈2×0.36=0.72(m).
∴BC=2BD≈1.4 m. 答:人字梯张开的水平宽度 BC 约为 1.4 m.
∵AB=AC=2 m,
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=21°. 在 Rt△ABD 中,BD=AB·sin ∠BAD≈2×0.36=0.72(m).
∴BC=2BD≈1.4 m. 答:人字梯张开的水平宽度 BC 约为 1.4 m.
解析
【分析】
已知△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，要求底边BC的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作BC的垂线AD，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，此时顶角∠BAC被平分为21°，且BC=2BD，只需在Rt△ABD中利用正弦函数求出BD的长度，再乘2即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC=2 m，AD⊥BC，
∴BD=CD，$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×42°=21°$。
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，
∴$BD=AB·\sin∠ BAD\approx2×0.36=0.72(\mathrm{m})$，
∴$BC=2BD\approx2×0.72=1.44\approx1.4(\mathrm{m})$。
答：人字梯张开的水平宽度BC约为1.4 m。
【答案】
约1.4 m
【知识点】
等腰三角形性质；锐角三角函数；解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形是解题的核心，解题时要结合给定的参考数据选择合适的三角函数计算。
【难度系数】
0.7
已知△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，要求底边BC的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作BC的垂线AD，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，此时顶角∠BAC被平分为21°，且BC=2BD，只需在Rt△ABD中利用正弦函数求出BD的长度，再乘2即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC=2 m，AD⊥BC，
∴BD=CD，$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×42°=21°$。
在Rt△ABD中，$∠ ADB=90°$，
∴$BD=AB·\sin∠ BAD\approx2×0.36=0.72(\mathrm{m})$，
∴$BC=2BD\approx2×0.72=1.44\approx1.4(\mathrm{m})$。
答：人字梯张开的水平宽度BC约为1.4 m。
【答案】
约1.4 m
【知识点】
等腰三角形性质；锐角三角函数；解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形是解题的核心，解题时要结合给定的参考数据选择合适的三角函数计算。
【难度系数】
0.7
4.如图,建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9 m.在建筑物的顶端C处测得旗杆顶部A的仰角α为$30°$,旗杆底部B的俯角β为$45°$,则旗杆AB的高度为 (
A.$3\sqrt{2}$ m
B.$3\sqrt{3}$ m
C.$(3\sqrt{2}+9)$m
D.$(3\sqrt{3}+9)$m
D
)A.$3\sqrt{2}$ m
B.$3\sqrt{3}$ m
C.$(3\sqrt{2}+9)$m
D.$(3\sqrt{3}+9)$m
答案
4.D
解析
【分析】
本题为解直角三角形的仰角俯角应用问题，解题思路如下：首先过点C作CE垂直AB于E，构造出两个直角三角形和一个矩形；利用矩形性质得到CE=BD=9m，再分别在两个直角三角形中，结合特殊角的三角函数值求出AE和BE的长度，最后将两段长度相加即可得到旗杆AB的高度。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=9m，BE=CD。
在Rt△BCE中，∠β=45°，
∴BE=CE=9m。
在Rt△ACE中，∠α=30°，
∵$\tanα=\frac{AE}{CE}$，
∴$AE=CE·\tan30°=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$m。
∴$AB=AE+BE=(3\sqrt{3}+9)$m，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
仰角俯角问题、矩形的性质、特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形应用的基础题型，通过作辅助线将实际问题转化为几何图形求解，解题的关键是正确理解仰角、俯角的定义，熟练运用特殊角的三角函数值计算。
【难度系数】
0.7
本题为解直角三角形的仰角俯角应用问题，解题思路如下：首先过点C作CE垂直AB于E，构造出两个直角三角形和一个矩形；利用矩形性质得到CE=BD=9m，再分别在两个直角三角形中，结合特殊角的三角函数值求出AE和BE的长度，最后将两段长度相加即可得到旗杆AB的高度。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=9m，BE=CD。
在Rt△BCE中，∠β=45°，
∴BE=CE=9m。
在Rt△ACE中，∠α=30°，
∵$\tanα=\frac{AE}{CE}$，
∴$AE=CE·\tan30°=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$m。
∴$AB=AE+BE=(3\sqrt{3}+9)$m，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
仰角俯角问题、矩形的性质、特殊角的三角函数
【点评】
本题是解直角三角形应用的基础题型，通过作辅助线将实际问题转化为几何图形求解，解题的关键是正确理解仰角、俯角的定义，熟练运用特殊角的三角函数值计算。
【难度系数】
0.7
5.(芜湖二模)小明和小军对某河流的宽度进行测量,如图,两人分别站在同侧河岸上的点A,B处,选取河对岸的一块石头C作为测量点(点A,B,C在同一平面内),小明在点A处测得$∠ CAB$为$42°$,小军在点B处测得$∠ ABC$为$61°$,两人之间的距离AB为60 m,求此河流的宽度.(参考数据:$\sin 42° \approx 0.67,\tan 42° \approx 0.90,\sin 61° \approx 0.87,\tan 61° \approx 1.80$)
答案
5.解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 设 AD=x m,则 BD=AB-AD=(60-x)m. 在 Rt△ACD 中,tan ∠CAD=$\frac{CD}{AD}$,
∴CD=AD·tan ∠CAD≈0.9x m. 在 Rt△BDC 中,tan ∠CBD=$\frac{CD}{BD}$,
∴1.8≈$\frac{0.9x}{60-x}$,解得 x=40.
∴CD=0.9×40=36(m). 答:此河流的宽度约为 36 m.
∴CD=AD·tan ∠CAD≈0.9x m. 在 Rt△BDC 中,tan ∠CBD=$\frac{CD}{BD}$,
∴1.8≈$\frac{0.9x}{60-x}$,解得 x=40.
∴CD=0.9×40=36(m). 答:此河流的宽度约为 36 m.
解析
【分析】
要计算河流宽度，本质是求点C到AB的垂线段长度，因此先过点C作CD⊥AB于D，将△ABC分割为两个直角三角形。两个直角三角形共享高CD，可分别在两个直角三角形中用锐角三角函数表示CD的长度，再结合AD+BD=AB=60m的数量关系，设未知数列方程即可求出CD，也就是河流的宽度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，CD即为河流的宽度。
设$AD=x\ \mathrm{m}$，则$BD=AB-AD=(60-x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=42°$，根据正切的定义：
$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}$，
$\therefore CD=AD·\tan42°\approx0.9x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ CBD=61°$，同理可得：
$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BD}$，
代入数据得：$1.8\approx\frac{0.9x}{60-x}$，
解方程：$1.8(60-x)=0.9x$，
$108-1.8x=0.9x$，
$2.7x=108$，
解得$x=40$。
$\therefore CD=0.9×40=36\ \mathrm{m}$。
答：此河流的宽度约为36 m。
【答案】
36 m
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，方程思想
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，利用公共边建立等量关系，结合三角函数列方程求解，属于基础应用类题目，掌握构造直角三角形的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算河流宽度，本质是求点C到AB的垂线段长度，因此先过点C作CD⊥AB于D，将△ABC分割为两个直角三角形。两个直角三角形共享高CD，可分别在两个直角三角形中用锐角三角函数表示CD的长度，再结合AD+BD=AB=60m的数量关系，设未知数列方程即可求出CD，也就是河流的宽度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，CD即为河流的宽度。
设$AD=x\ \mathrm{m}$，则$BD=AB-AD=(60-x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=42°$，根据正切的定义：
$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}$，
$\therefore CD=AD·\tan42°\approx0.9x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ CBD=61°$，同理可得：
$\tan∠ CBD=\frac{CD}{BD}$，
代入数据得：$1.8\approx\frac{0.9x}{60-x}$，
解方程：$1.8(60-x)=0.9x$，
$108-1.8x=0.9x$，
$2.7x=108$，
解得$x=40$。
$\therefore CD=0.9×40=36\ \mathrm{m}$。
答：此河流的宽度约为36 m。
【答案】
36 m
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，方程思想
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，利用公共边建立等量关系，结合三角函数列方程求解，属于基础应用类题目，掌握构造直角三角形的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
