6.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为$30°$，再往楼房CD的方向前进50 m至B处，测得仰角为$60°$，那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计) ()

A.$25\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
B.$25\ \mathrm{m}$
C.$25\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
D.$50\ \mathrm{m}$

6.A

【分析】
本题是仰角测高的解直角三角形应用问题，解题思路如下：首先观察图形可知存在两个共直角边CD的直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD，已知AB=50m及两个仰角的度数。第一步可以先利用三角形外角的性质，求出∠ADB的度数，判定△ABD为等腰三角形，得到BD的长度等于AB；第二步在Rt△BCD中，利用60°角的三角函数即可求出CD的高度，也可通过设CD为未知数，结合两个直角三角形的边角关系列方程求解。
【解析】
设楼房CD的高度为$x\ \mathrm{m}$。
1. 求BD的长度：
∵∠DBC是△ABD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可得：
$∠ DBC = ∠ A + ∠ ADB$
已知$∠ A=30°$，$∠ DBC=60°$，代入得：
$∠ ADB = 60° - 30° = 30°$
∴$∠ A = ∠ ADB$，根据等角对等边，可得$BD = AB = 50\ \mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，$∠ DBC=60°$，根据正弦函数的定义：
$\sin60° = \frac{CD}{BD}$
将$BD=50\ \mathrm{m}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：
$CD = BD · \sin60° = 50×\frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用；等腰三角形的判定；锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常考基础题，既可以通过角度关系得到等腰三角形简化计算，也可以通过公共边设未知数列方程求解，考查学生对锐角三角函数的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

7.(池州一模)如图,数学活动小组同学用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升到距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为45°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行9.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为35°,求教学楼AB的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:$\sin 35° \approx 0.57,\cos 35° \approx 0.82,\tan 35° \approx 0.70$)

7.解:延长 AB,交 PQ 于点 C. 由题意,得 AC=30 m,PQ=9.6 m,∠APC=45°,∠BQC=35°. 在 Rt△APC 中,tan ∠APC=$\frac{AC}{PC}$=1,
∴PC=AC=30 m.
∴CQ=PC-PQ=20.4 m. 在 Rt△BQC 中,tan ∠BQC=$\frac{BC}{CQ}$,
∴BC=CQ·tan ∠BQC≈20.4×0.7=14.28(m).
∴AB=AC-BC≈15.7 m. 答:教学楼 AB 的高度约为 15.7 m.

【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用问题，解题时首先要通过作辅助线构造直角三角形，将题目中的俯角、已知线段长度对应到直角三角形中。首先延长AB交PQ于点C，可得AC⊥PQ，AC的长度等于P点距地面的高度30m；第一步先在Rt△APC中，利用45°俯角对应的正切值求出PC的长度，再结合PQ的长度算出CQ的长度；第二步在Rt△BQC中，利用35°俯角的正切值求出BC的长度；最后用AC减去BC即可得到教学楼AB的高度。
【解析】
解：延长AB，交PQ于点C，由题意可知AC⊥PQ，AC=30 m，PQ=9.6 m，$∠ APC=45°$，$∠ BQC=35°$。
在$Rt△ APC$中，$\tan∠ APC=\frac{AC}{PC}$，
∵$\tan45°=1$，
∴$\frac{30}{PC}=1$，解得$PC=30\ \mathrm{m}$。
∴$CQ=PC-PQ=30-9.6=20.4\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ BQC$中，$\tan∠ BQC=\frac{BC}{CQ}$，
∴$BC=CQ·\tan35°\approx20.4×0.70=14.28\ \mathrm{m}$。
∴$AB=AC-BC\approx30-14.28\approx15.7\ \mathrm{m}$。
答：教学楼AB的高度约为15.7 m。
【答案】
约15.7 m
【知识点】
解直角三角形应用，俯角的概念，锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形应用的典型题型，解题核心是合理构造直角三角形，将实际场景中的角度、长度条件转化为直角三角形的边角关系，计算时要注意对应边和角的关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7

8.如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是$30°$,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是$45°$.已知甲楼的高AB是100 m,则乙楼的高CD为 m.

8.$\dfrac{100\sqrt{3}}{3}$

【分析】
解题可按两步思考：第一步先处理俯角45°的条件，从甲楼顶部B看乙楼底部D的俯角为45°，结合AB垂直地面AD，可判定Rt△ABD是等腰直角三角形，得到水平距离AD与甲楼高AB相等；第二步处理仰角30°的条件，在Rt△ACD中，已知∠CAD=30°，AD的长度已求出，利用30°角的正切值即可求出乙楼的高度CD。
【解析】
解：由题意可知，AB⊥AD，CD⊥AD，∠ADB=45°，∠CAD=30°，AB=100m。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AD=AB=100m。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∵$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}$，
∴$CD = AD·\tan30°=100×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{100\sqrt{3}}{3}$（m）。
【答案】
$\dfrac{100\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
仰角俯角的概念，特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型基础题，解题核心是将实际场景中的仰角、俯角转化为直角三角形的内角，找到两个直角三角形的公共水平边作为解题的过渡量，熟记特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.7

9.(威海中考)小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB,测量方案如图所示,先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数,测得大楼底部点A的俯角∠2的度数,然后在点C正下方点D处,测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1=45°,∠2=52°,∠3=65°,CD=10 m,求大楼的高度AB.(结果精确到1 m,参考数据:sin52°≈0.8,cos52°≈0.6,tan52°≈1.3,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)

9.解:过点 C 作 CG⊥AB 于点 G,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,则四边形 CDHG 是矩形.
∴GH=CD=10 m,CG=DH. 设 CG=DH=x m,则 BG=CG·tan ∠1=x m.
∴BH=BG+GH=(x+10)m. 在 Rt△BDH 中,tan ∠3=$\frac{BH}{DH}$,即 2.1≈$\frac{x+10}{x}$,解得 x≈9.1.
∴BG=CG=9.1 m. 在 Rt△ACG 中,tan ∠2=$\frac{AG}{CG}$,即 1.3≈$\frac{AG}{9.1}$.
∴AG=11.83 m.
∴AB=AG+BG≈21 m. 答:大楼的高度 AB 约为 21 m.

【分析】
这是一道利用仰角、俯角测量高度的实际问题，解题核心是将实际问题转化为解直角三角形问题。首先需作辅助线构造直角三角形和矩形：过点C作CG⊥AB于G，过点D作DH⊥AB于H，即可将已知的∠1、∠2、∠3放入对应直角三角形中，同时利用矩形性质将已知CD的长度转化为AB上的GH段，且得到CG=DH，即两个直角三角形的水平直角边相等。先设该水平边长为x，利用∠1和∠3的三角函数关系求出x的值，再利用∠2的三角函数求出AG的长度，最后将AG与BG相加即可得到大楼高度AB。
【解析】
解：过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H，则四边形CDHG是矩形。
∴GH=CD=10 m，CG=DH。
设CG=DH=x m，
在Rt△BCG中，∠1=45°，
∴BG=CG·tan∠1=x m，
∴BH=BG+GH=(x+10)m。
在Rt△BDH中，∠3=65°，由$\tan∠3=\frac{BH}{DH}$，代入参考数据$\tan65°≈2.1$得：
$2.1≈\frac{x+10}{x}$，
解得x≈9.1，即BG=CG≈9.1 m。
在Rt△ACG中，∠2=52°，由$\tan∠2=\frac{AG}{CG}$，代入参考数据$\tan52°≈1.3$得：
$1.3≈\frac{AG}{9.1}$，
解得AG≈11.83 m。
∴AB=AG+BG≈11.83+9.1≈21 m。
答：大楼的高度AB约为21 m。
【答案】
21 m
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角俯角），矩形的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类常考题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将分散的已知条件整合到直角三角形中，结合锐角三角函数建立边的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.6