6. 转化思想 乐乐在探索直角三角形三边关系时发现:直角三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方,例如:如图①,$AB^2+BC^2=AC^2$,则$AC^2=9+16=25$,所以$AC=5$。

如果在直角三角形ABC中,$∠ABC=90°,AB=12,BC=5$,回答下面的问题。
(1)若以AC为边向外作正方形(如图②),则正方形的面积是()。
(2)若分别以AB,BC,AC为边向外作半圆(如图③),三个半圆的面积之和是多少?
(3)如图④,请求出涂色部分的面积。

(1)169
(2)$AC^2=AB^2+BC^2=169$ $3.14×(AB÷2)^2÷2+3.14×(BC÷2)^2÷2+3.14×(AC÷2)^2÷2=3.14÷8×(AB^2+BC^2+AC^2)=3.14÷8×(AC^2+AC^2)=3.14÷8×2×169=132.665$
(3)$\frac{1}{2}×12×5=30$

7. 数形结合 在数学中,数与形之间可以相互转化,小华发现可以利用图形来总结奇数的和的规律,如图:

(1)借助图形,我们可以总结出 $1+3+5+7+\dots+(2n-1)=(\quad)$。
(2)小华继续思考连续偶数的和如何借助图形来找到规律,他做了如下尝试:

请你画出第④个图形,并总结出规律:
$2+4+6+8+\dots+2n=(\quad)$。

(1)$n^2$
(2) $n(n+1)$

8. 数形结合 看图计算。

(1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2^4}$的值为()。
(2) $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+…+\frac{1}{2^n}$的值为()。
(3)请你用(2)的结论,求下列各式的值。
① $\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^9}+…+\frac{1}{2^{2025}}=$()。
② 计算:$\frac{13}{14}+\frac{27}{28}+\frac{55}{56}+\frac{111}{112}$。

(1)$\frac{15}{16}$ (2)$1-\frac{1}{2^n}$
(3)①$\frac{1}{2^6}-\frac{1}{2^{2025}}$
②$\frac{13}{14}+\frac{27}{28}+\frac{55}{56}+\frac{111}{112}=(1-\frac{1}{14})+(1-\frac{1}{28})+(1-\frac{1}{56})+(1-\frac{1}{112})$
$=4-(\frac{1}{14}+\frac{1}{28}+\frac{1}{56}+\frac{1}{112})=4-\frac{1}{7}×(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4})$
$=4-\frac{1}{7}×(1-\frac{1}{2^4})=4-\frac{1}{7}×\frac{15}{16}=3\frac{97}{112}$