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1. 母题 教材 P121 复习题 T1 计算：
(1) $x^3 · x ÷ x^2$；
(2) $(-3a)^2 · a^4 + (-2a^2)^3$；
(3) $(π - 3)^0 - ( \dfrac{1}{3} )^{-2} + (-1)^{2026}$。
(1) $x^3 · x ÷ x^2$；
(2) $(-3a)^2 · a^4 + (-2a^2)^3$；
(3) $(π - 3)^0 - ( \dfrac{1}{3} )^{-2} + (-1)^{2026}$。
答案
(1)$x^3 · x ÷ x^2 = x^4 ÷ x^2 = x^2$.
(2)$(-3a)^2 · a^4 + (-2a^2)^3 =9a^2 · a^4 +(-8a^6 )=9a^6 +(-8a^6 )=a^6$.
(3)$(π - 3)^0 - ( \dfrac{1}{3} )^{-2} + (-1)^{2026}=1-9+1=-7$.
(2)$(-3a)^2 · a^4 + (-2a^2)^3 =9a^2 · a^4 +(-8a^6 )=9a^6 +(-8a^6 )=a^6$.
(3)$(π - 3)^0 - ( \dfrac{1}{3} )^{-2} + (-1)^{2026}=1-9+1=-7$.
2. 用简便方法计算：
(1) $(-1 \dfrac{2}{5})^{8} × 0.25^{5} × (\dfrac{5}{7})^{8} × (-4)^{5}$；
(2) $0.125^{2025} × (-8)^{2026}$。
(1) $(-1 \dfrac{2}{5})^{8} × 0.25^{5} × (\dfrac{5}{7})^{8} × (-4)^{5}$；
(2) $0.125^{2025} × (-8)^{2026}$。
答案
(1)$(-1 \dfrac{2}{5})^{8} × 0.25^{5} × (\dfrac{5}{7})^{8} × (-4)^{5} = [ (-\dfrac{7}{5})^8 × (\dfrac{5}{7})^8 ] × [ 0.25^5 × (-4)^5 ] = (-\dfrac{7}{5}×\dfrac{5}{7})^8 ×[0.25×(-4)]^5 = (-1)^8 × (-1)^5 =1×(-1)=-1$.
(2)$0.125^{2025} × (-8)^{2026} =[0.125×(-8)]^{2025}×(-8)= (-1)^{2025}×(-8)=(-1)×(-8)=8$.
(2)$0.125^{2025} × (-8)^{2026} =[0.125×(-8)]^{2025}×(-8)= (-1)^{2025}×(-8)=(-1)×(-8)=8$.
3. [2024 菏泽期中] 已知 $a^x=2,a^y=3$。
(1) 求 $a^{x+y}$ 的值；
(2) 求 $a^{2x-3y}$ 的值。
(1) 求 $a^{x+y}$ 的值；
(2) 求 $a^{2x-3y}$ 的值。
答案
(1)$\because a^x=2,a^y=3$，$\therefore a^{x+y}=a^x · a^y=2×3=6$.
(2)$\because a^x=2,a^y=3$，$\therefore a^{2x-3y}=a^{2x}÷a^{3y}=(a^x)^2÷(a^y)^3=2^2÷3^3=4÷27=\dfrac{4}{27}$.
(2)$\because a^x=2,a^y=3$，$\therefore a^{2x-3y}=a^{2x}÷a^{3y}=(a^x)^2÷(a^y)^3=2^2÷3^3=4÷27=\dfrac{4}{27}$.
4. [2025重庆万州区期中] 解决下列有关幂的问题：
(1)若$2^6 = a^3 = 4^b$，求$a+b$值；
(2)若$n$为正整数，且$x^{2n} = 2$，求$(3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n}$的值。
(1)若$2^6 = a^3 = 4^b$，求$a+b$值；
(2)若$n$为正整数，且$x^{2n} = 2$，求$(3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n}$的值。
答案
(1)$\because 2^6 = a^3 = 4^b$，$\therefore (2^2)^3 = a^3,2^6=4^b=2^{2b}$，$\therefore a=2^2=4,2b=6$，$\therefore b=3$，$\therefore a+b=4+3=7$.
(2)$\because x^{2n}=2$，$\therefore (3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n}=9(x^{2n})^3 -10(x^{2n})^2=9×2^3 -10×2^2=9×8-10×4=32$.
(2)$\because x^{2n}=2$，$\therefore (3x^{3n})^2 - 10(x^2)^{2n}=9(x^{2n})^3 -10(x^{2n})^2=9×2^3 -10×2^2=9×8-10×4=32$.
5. 已知$5^{a}=4$，$5^{b}=6$，$5^{c}=9$，探究$a$，$b$，$c$之间满足的等量关系并说明理由。
答案
$a+c=2b$.理由如下：$\because 5^a=4,5^b=6,5^c=9$，$\therefore 5^a ×5^c=4×9=36,(5^b)^2=36$，$\therefore 5^a ×5^c=(5^b)^2$，$\therefore 5^{a+c}=5^{2b}$，$\therefore a+c=2b$.
6. 已知 $a,b,c,d$ 均为正数，且 $a^2 = 2$，$b^3 = 3$，$c^4 = 4$，$d^5 = 5$，那么 $a,b,c,d$ 中最大的数是哪个？
答案
$\because a^2=2,c^4=4$，$\therefore c^2=2=a^2$，$\therefore a=c$.
$\because a^6=(a^2)^3=8,b^6=(b^3)^2=9$，$\therefore b＞a$.
$\because b^{15}=(b^3)^5=243,d^{15}=(d^5)^3=125$，$\therefore b＞d$，$\therefore a,b,c,d$中最大的数是$b$.
$\because a^6=(a^2)^3=8,b^6=(b^3)^2=9$，$\therefore b＞a$.
$\because b^{15}=(b^3)^5=243,d^{15}=(d^5)^3=125$，$\therefore b＞d$，$\therefore a,b,c,d$中最大的数是$b$.
