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7. 新考法 阅读类比法 阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较 $3^{22}$ 和 $4^{11}$ 的大小.
解：因为 $4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22}$，且 $3＞2$，
所以 $3^{22}＞2^{22}$，即 $3^{22}＞4^{11}$.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小来确定两个幂的大小.
材料二：比较 $2^8$ 和 $8^2$ 的大小.
解：因为 $8^2=(2^3)^2=2^6$，且 $8＞6$，
所以 $2^8＞2^6$，即 $2^8＞8^2$.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小来确定两个幂的大小.
【方法运用】
(1) 比较 $3^{44}$，$4^{33}$，$5^{22}$ 的大小；
(2) 比较 $81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$ 的大小.
材料一：比较 $3^{22}$ 和 $4^{11}$ 的大小.
解：因为 $4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22}$，且 $3＞2$，
所以 $3^{22}＞2^{22}$，即 $3^{22}＞4^{11}$.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小来确定两个幂的大小.
材料二：比较 $2^8$ 和 $8^2$ 的大小.
解：因为 $8^2=(2^3)^2=2^6$，且 $8＞6$，
所以 $2^8＞2^6$，即 $2^8＞8^2$.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小来确定两个幂的大小.
【方法运用】
(1) 比较 $3^{44}$，$4^{33}$，$5^{22}$ 的大小；
(2) 比较 $81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$ 的大小.
答案
(1)$\because 3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11},4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11},5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，$81＞64＞25$，$\therefore 81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$.
(2)$\because 81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124},27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123},9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，$124＞123＞122$，$\therefore 3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$.
(2)$\because 81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124},27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123},9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，$124＞123＞122$，$\therefore 3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$.
8. 定义一种幂的新运算：$x^a \oplus x^b = x^{ab} + x^{a+b}$，请利用这种运算规则解决下列问题.
(1) 求 $2^2 \oplus 2^3$ 的值.
(2) 若 $m^p = 4, m^q = 8, 4^q = 64$，求 $m^p \oplus m^q$ 的值.
(3) 若运算 $(9 \oplus 9^t) - 9^{1+t}$ 的结果为 $9^2$，则 $t$ 的值是多少？
(1) 求 $2^2 \oplus 2^3$ 的值.
(2) 若 $m^p = 4, m^q = 8, 4^q = 64$，求 $m^p \oplus m^q$ 的值.
(3) 若运算 $(9 \oplus 9^t) - 9^{1+t}$ 的结果为 $9^2$，则 $t$ 的值是多少？
答案
(1)$2^2 \oplus 2^3 =2^{2×3}+2^{2+3}=2^6+2^5=64+32=96$.
(2)$\because m^p=4,m^q=8,4^q=64$，$\therefore m^p \oplus m^q =m^{pq}+m^{p+q}=(m^p)^q +m^p · m^q=4^q+4×8=64+32=96$.
(3)$\because (9\oplus 9^t) -9^{1+t}=9^t +9^{1+t} -9^{1+t}=9^2$，$\therefore 9^t=9^2$，$\therefore t=2$.
(2)$\because m^p=4,m^q=8,4^q=64$，$\therefore m^p \oplus m^q =m^{pq}+m^{p+q}=(m^p)^q +m^p · m^q=4^q+4×8=64+32=96$.
(3)$\because (9\oplus 9^t) -9^{1+t}=9^t +9^{1+t} -9^{1+t}=9^2$，$\therefore 9^t=9^2$，$\therefore t=2$.
9.【概念学习】我们规定两数$a,b$之间的一种运算，记作$[a,b]$.如果$a^c = b$，那么$[a,b]=c$，我们叫$[a,b]$为“雅对”.例如$2^3=8$，记作$[2,8]=3$.
【初步探究】(1)根据以上规定求出：$[4,64]=$
【深入思考】对于相同底数的幂的运算，我们有$a^x · a^y = a^{x+y}$，$a^x ÷ a^y = a^{x-y}$，$(a^x)^y = a^{xy}$.
例如$2^4 · 2^7 = 2^{4+7}=2^{11}$，$2^7 ÷ 2^4 =2^{7-4}=2^3$，$(2^2)^3=2^{2×3}=2^6$.
(2)小明发现$[5,3]+[5,4]=[5,12]$也成立，并证明如下：
设$[5,3]=x$，$[5,4]=y$，则$5^x=3$，$5^y=4$.
因为$5^x ·5^y=5^{x+y}=12$，所以$[5,12]=x+y$，
所以$[5,3]+[5,4]=x+y=[5,12]$.
根据以上证明，请计算$[2026,6]+[2026,7]=[2026,$
(3)猜想$[4,14]-[4,7]=[4,$
(4)证明：$[2^n,3^n]=[2,3]$对于任意正整数$n$都成立.
【初步探究】(1)根据以上规定求出：$[4,64]=$
3
；$[2026,1]=$0
；【深入思考】对于相同底数的幂的运算，我们有$a^x · a^y = a^{x+y}$，$a^x ÷ a^y = a^{x-y}$，$(a^x)^y = a^{xy}$.
例如$2^4 · 2^7 = 2^{4+7}=2^{11}$，$2^7 ÷ 2^4 =2^{7-4}=2^3$，$(2^2)^3=2^{2×3}=2^6$.
(2)小明发现$[5,3]+[5,4]=[5,12]$也成立，并证明如下：
设$[5,3]=x$，$[5,4]=y$，则$5^x=3$，$5^y=4$.
因为$5^x ·5^y=5^{x+y}=12$，所以$[5,12]=x+y$，
所以$[5,3]+[5,4]=x+y=[5,12]$.
根据以上证明，请计算$[2026,6]+[2026,7]=[2026,$
42
$]$，请写出计算过程；(3)猜想$[4,14]-[4,7]=[4,$
2
$]$，并说明理由；(4)证明：$[2^n,3^n]=[2,3]$对于任意正整数$n$都成立.
答案
(1)3；0
(2)42 计算过程如下：
设$[2026,6]=m,[2026,7]=t$,则$2026^m=6,2026^t=7$，
$\because 2026^m · 2026^t = 2026^{m+t}=6×7=42$，
$\therefore [2026,42]=m+t$.
$\therefore [2026,6]+[2026,7]=[2026,42]$.
(3)2 理由如下：
设$[4,14]=p,[4,7]=q$,则$4^p=14,4^q=7$，
$\because 4^p ÷ 4^q=4^{p-q}=14÷7=2$，
$\therefore [4,2]=p-q$.
$\therefore [4,14]-[4,7]=p-q=[4,2]$.
(4)【证明】设$[2^n,3^n]=s,[2,3]=z$，
$\therefore (2^n)^s=3^n,2^z=3$，
$\therefore (2^n)^s=(2^z)^n$,即$2^{ns}=2^{zn}$，$\therefore sn=zn$，
$\because n≠0$，$\therefore s=z$.
即$[2^n,3^n]=[2,3]$对于任意正整数$n$都成立.
(2)42 计算过程如下：
设$[2026,6]=m,[2026,7]=t$,则$2026^m=6,2026^t=7$，
$\because 2026^m · 2026^t = 2026^{m+t}=6×7=42$，
$\therefore [2026,42]=m+t$.
$\therefore [2026,6]+[2026,7]=[2026,42]$.
(3)2 理由如下：
设$[4,14]=p,[4,7]=q$,则$4^p=14,4^q=7$，
$\because 4^p ÷ 4^q=4^{p-q}=14÷7=2$，
$\therefore [4,2]=p-q$.
$\therefore [4,14]-[4,7]=p-q=[4,2]$.
(4)【证明】设$[2^n,3^n]=s,[2,3]=z$，
$\therefore (2^n)^s=3^n,2^z=3$，
$\therefore (2^n)^s=(2^z)^n$,即$2^{ns}=2^{zn}$，$\therefore sn=zn$，
$\because n≠0$，$\therefore s=z$.
即$[2^n,3^n]=[2,3]$对于任意正整数$n$都成立.
