登录
1 数轴上某一个点表示的数为$a$，比$a$小4的数用$b$表示，那么$|a|+|b|$的最小值为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
首先根据题意得出b与a的数量关系，将所求代数式转化为含a的绝对值表达式；再结合绝对值的几何意义，把|a|+|a-4|理解为数轴上表示a的点到0和4两个点的距离之和；最后根据数轴上两点之间线段最短的原理，找到距离和最小时a的取值范围，计算出最小值即可。
【解析】
解：由题意可知，比a小4的数为b，因此$ b = a - 4 $，
则$ |a| + |b| = |a| + |a - 4| $。
根据绝对值的几何意义：
$ |a| $表示数轴上表示数a的点到原点（表示0的点）的距离，$ |a - 4| $表示数轴上表示数a的点到表示4的点的距离，因此$ |a| + |a - 4| $的含义是数轴上一个动点到0和4两个定点的距离之和。
当表示a的点位于0和4之间（包含0和4两个端点）时，距离之和最小，最小值就是0到4这两个点之间的距离，即$ 4 - 0 = 4 $。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴两点距离；代数式最值求解
【点评】
本题核心是利用数形结合思想，将代数式的最值问题转化为数轴上的两点距离问题，简化了计算过程，能有效考查学生对绝对值性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据题意得出b与a的数量关系，将所求代数式转化为含a的绝对值表达式；再结合绝对值的几何意义，把|a|+|a-4|理解为数轴上表示a的点到0和4两个点的距离之和；最后根据数轴上两点之间线段最短的原理，找到距离和最小时a的取值范围，计算出最小值即可。
【解析】
解：由题意可知，比a小4的数为b，因此$ b = a - 4 $，
则$ |a| + |b| = |a| + |a - 4| $。
根据绝对值的几何意义：
$ |a| $表示数轴上表示数a的点到原点（表示0的点）的距离，$ |a - 4| $表示数轴上表示数a的点到表示4的点的距离，因此$ |a| + |a - 4| $的含义是数轴上一个动点到0和4两个定点的距离之和。
当表示a的点位于0和4之间（包含0和4两个端点）时，距离之和最小，最小值就是0到4这两个点之间的距离，即$ 4 - 0 = 4 $。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴两点距离；代数式最值求解
【点评】
本题核心是利用数形结合思想，将代数式的最值问题转化为数轴上的两点距离问题，简化了计算过程，能有效考查学生对绝对值性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2 下列说法正确的是(
①$a$的倒数是$\frac{1}{a}$；②$m$的绝对值是$m$；③无理数都是无限小数；④实数可以分为有理数和无理数。
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④
B
)。①$a$的倒数是$\frac{1}{a}$；②$m$的绝对值是$m$；③无理数都是无限小数；④实数可以分为有理数和无理数。
A.①②
B.③④
C.②③
D.①④
答案
B
解析
【分析】
解答本题需要逐一判断4个说法的正误，结合对应数学概念的前提条件和定义分析：首先回忆倒数的定义，注意0没有倒数；再回忆绝对值的性质，区分正数、0、负数的绝对值的不同结果；最后结合无理数的定义和实数的分类规则判断后两个说法，最终选出全部正确的选项。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
① 倒数的定义为：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数，因此只有当$a≠0$时，$a$的倒数才是$\frac{1}{a}$，题干未限定$a≠0$，故①错误；
② 绝对值的性质为：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即当$m≥0$时，$|m|=m$，当$m＜0$时，$|m|=-m$，因此$m$的绝对值不一定是$m$，故②错误；
③ 无理数的定义是无限不循环小数，因此所有无理数都属于无限小数，故③正确；
④ 按照实数的分类规则，实数就是有理数和无理数的统称，因此实数可以分为有理数和无理数，故④正确。
综上，③④说法正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
倒数的定义；绝对值的性质；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，考查实数相关的核心基础定义，易错点是容易忽略倒数成立的前提条件、以及负数绝对值的化简规则，准确记忆概念的适用范围是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解答本题需要逐一判断4个说法的正误，结合对应数学概念的前提条件和定义分析：首先回忆倒数的定义，注意0没有倒数；再回忆绝对值的性质，区分正数、0、负数的绝对值的不同结果；最后结合无理数的定义和实数的分类规则判断后两个说法，最终选出全部正确的选项。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
① 倒数的定义为：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数，因此只有当$a≠0$时，$a$的倒数才是$\frac{1}{a}$，题干未限定$a≠0$，故①错误；
② 绝对值的性质为：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即当$m≥0$时，$|m|=m$，当$m＜0$时，$|m|=-m$，因此$m$的绝对值不一定是$m$，故②错误；
③ 无理数的定义是无限不循环小数，因此所有无理数都属于无限小数，故③正确；
④ 按照实数的分类规则，实数就是有理数和无理数的统称，因此实数可以分为有理数和无理数，故④正确。
综上，③④说法正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
倒数的定义；绝对值的性质；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，考查实数相关的核心基础定义，易错点是容易忽略倒数成立的前提条件、以及负数绝对值的化简规则，准确记忆概念的适用范围是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3 已知$x$是整数，当$|x - \sqrt{20}|$取最小值时，$x$的值是（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确|x - √20|的含义是数轴上整数x与√20对应点之间的距离，要让这个距离最小，只需找到最接近√20的整数即可。解题步骤分为两步：第一步先估算√20的大小，确定它在哪两个相邻整数之间；第二步判断√20更靠近这两个整数中的哪一个，即可得到对应的x值。
【解析】
首先估算√20的取值范围：
∵ 4² = 16，5² = 25，且16 ＜ 20 ＜ 25
∴ √16 ＜ √20 ＜ √25，即4 ＜ √20 ＜ 5
再判断√20更靠近4还是5：
计算4.5² = 20.25，可知√20 ＜ 4.5，即√20位于4和4.5之间，因此√20更接近整数4。
∴ 当|x - √20|取最小值时，x的值是4。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的意义；无理数的估算
【点评】
本题核心是结合绝对值的几何意义，通过估算无理数的大致范围找到其最接近的整数，是对基础知识点的综合应用，解题的关键是掌握常见无理数估算的方法。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确|x - √20|的含义是数轴上整数x与√20对应点之间的距离，要让这个距离最小，只需找到最接近√20的整数即可。解题步骤分为两步：第一步先估算√20的大小，确定它在哪两个相邻整数之间；第二步判断√20更靠近这两个整数中的哪一个，即可得到对应的x值。
【解析】
首先估算√20的取值范围：
∵ 4² = 16，5² = 25，且16 ＜ 20 ＜ 25
∴ √16 ＜ √20 ＜ √25，即4 ＜ √20 ＜ 5
再判断√20更靠近4还是5：
计算4.5² = 20.25，可知√20 ＜ 4.5，即√20位于4和4.5之间，因此√20更接近整数4。
∴ 当|x - √20|取最小值时，x的值是4。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的意义；无理数的估算
【点评】
本题核心是结合绝对值的几何意义，通过估算无理数的大致范围找到其最接近的整数，是对基础知识点的综合应用，解题的关键是掌握常见无理数估算的方法。
【难度系数】
0.8
④ 有下列实数：$-\dfrac{1}{2}$、0.16、$\sqrt{3}$、π、$\sqrt{25}$、$\sqrt[3]{4}$，其中无理数是
$\sqrt{3}$、$π$、$\sqrt[3]{4}$
。答案
$\sqrt{3}$、$π$、$\sqrt[3]{4}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义，同时注意不能看到带根号的数就直接判定为无理数，要先对能化简的根式进行化简，再结合有理数、无理数的范畴逐个判断给出的数。第一步先回忆概念：无限不循环小数叫做无理数，有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数都可以化成分数，属于有理数）；第二步先化简题目中可以计算的根式，比如$\sqrt{25}$；第三步逐个分析每个数的属性，筛选出符合无理数定义的数。
【解析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的无理数类型包括开方开不尽的数、含有$π$的数、无限不循环小数。
接下来逐个分析给出的实数：
1. $-\dfrac{1}{2}$是分数，属于有理数；
2. $0.16$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
3. $\sqrt{3}$是开平方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
4. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{25}=5$，是整数，属于有理数；
6. $\sqrt[3]{4}$是开立方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
$\sqrt{3}$、$π$、$\sqrt[3]{4}$
【知识点】
无理数的识别；算术平方根化简；立方根概念
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将带根号的数都判定为无理数，解题时需先化简根式再结合定义判断。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义，同时注意不能看到带根号的数就直接判定为无理数，要先对能化简的根式进行化简，再结合有理数、无理数的范畴逐个判断给出的数。第一步先回忆概念：无限不循环小数叫做无理数，有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数都可以化成分数，属于有理数）；第二步先化简题目中可以计算的根式，比如$\sqrt{25}$；第三步逐个分析每个数的属性，筛选出符合无理数定义的数。
【解析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，常见的无理数类型包括开方开不尽的数、含有$π$的数、无限不循环小数。
接下来逐个分析给出的实数：
1. $-\dfrac{1}{2}$是分数，属于有理数；
2. $0.16$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
3. $\sqrt{3}$是开平方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
4. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{25}=5$，是整数，属于有理数；
6. $\sqrt[3]{4}$是开立方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
$\sqrt{3}$、$π$、$\sqrt[3]{4}$
【知识点】
无理数的识别；算术平方根化简；立方根概念
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将带根号的数都判定为无理数，解题时需先化简根式再结合定义判断。
【难度系数】
0.8
5 一般地，如果$x^4=a(a≥0)$，则称$x$为$a$的四次方根，一个正数$a$的四次方根有两个，它们互为相反数，记为$\pm\sqrt[4]{a}$。若$\sqrt[4]{m^4}=2$，则$m=$
$\pm2$
。答案
$\pm2$
解析
【分析】
本题是结合新定义的四次方根概念求解未知数的基础题，解题思路清晰：第一步先利用四次根号的运算性质，对等式两边同时做四次方运算，去掉根号得到关于m的四次方的等式；第二步根据题目给出的“正数的四次方根有两个且互为相反数”的性质，求出m的所有取值即可，解题时要注意不要遗漏负根。
【解析】
解：已知$\sqrt[4]{m^4}=2$，
将等式两边同时四次方，可得：
$(\sqrt[4]{m^4})^4=2^4$
化简得：$m^4=16$
根据题中四次方根的定义，正数的四次方根有两个，且互为相反数，因此16的四次方根为$\pm\sqrt[4]{16}=\pm2$，
即$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
四次方根的定义；根式运算；乘方运算
【点评】
本题属于新定义类基础习题，核心考查对新给出的四次方根概念的理解与应用，解题时需要注意正数的偶次方根有两个且互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题是结合新定义的四次方根概念求解未知数的基础题，解题思路清晰：第一步先利用四次根号的运算性质，对等式两边同时做四次方运算，去掉根号得到关于m的四次方的等式；第二步根据题目给出的“正数的四次方根有两个且互为相反数”的性质，求出m的所有取值即可，解题时要注意不要遗漏负根。
【解析】
解：已知$\sqrt[4]{m^4}=2$，
将等式两边同时四次方，可得：
$(\sqrt[4]{m^4})^4=2^4$
化简得：$m^4=16$
根据题中四次方根的定义，正数的四次方根有两个，且互为相反数，因此16的四次方根为$\pm\sqrt[4]{16}=\pm2$，
即$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
四次方根的定义；根式运算；乘方运算
【点评】
本题属于新定义类基础习题，核心考查对新给出的四次方根概念的理解与应用，解题时需要注意正数的偶次方根有两个且互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.8
6 我国2021年末总人口数约为141260万人，该人口数用科学记数法表示为
$1.4126 × 10^5$
万人。答案
$1.4126 × 10^5$
解析
【分析】
解题时首先回忆科学记数法的定义：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。本题给定的数单位是万人，最终结果也要求以万人为单位，因此无需换算单位。第一步先确定$a$的取值：将141260的小数点向左移动，直到第一位非零数字1的后方，得到$a=1.4126$，满足$1≤ a＜10$的要求；第二步确定$n$的取值：数小数点向左移动的总位数，一共移动了5位，因此$n=5$，组合即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为整数。
对于原数141260：
1. 确定$a$：将小数点向左移动5位，得到$a=1.4126$，符合$1≤ a＜10$的要求；
2. 确定$n$：小数点向左移动了5位，且原数绝对值大于10，因此$n=5$；
因此141260万人用科学记数法表示为$1.4126×10^5$万人。
【答案】
$1.4126×10^5$
【知识点】
科学记数法的表示
【点评】
本题属于基础题，主要考查科学记数法的基本应用，解题时要注意$a$的取值范围，同时需关注题目给定的单位，避免多余的单位换算导致出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆科学记数法的定义：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。本题给定的数单位是万人，最终结果也要求以万人为单位，因此无需换算单位。第一步先确定$a$的取值：将141260的小数点向左移动，直到第一位非零数字1的后方，得到$a=1.4126$，满足$1≤ a＜10$的要求；第二步确定$n$的取值：数小数点向左移动的总位数，一共移动了5位，因此$n=5$，组合即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为整数。
对于原数141260：
1. 确定$a$：将小数点向左移动5位，得到$a=1.4126$，符合$1≤ a＜10$的要求；
2. 确定$n$：小数点向左移动了5位，且原数绝对值大于10，因此$n=5$；
因此141260万人用科学记数法表示为$1.4126×10^5$万人。
【答案】
$1.4126×10^5$
【知识点】
科学记数法的表示
【点评】
本题属于基础题，主要考查科学记数法的基本应用，解题时要注意$a$的取值范围，同时需关注题目给定的单位，避免多余的单位换算导致出错。
【难度系数】
0.9
7 已知a、b为两个连续的整数，且$a＜\sqrt{33}＜b$，则$a+b=$
11
。答案
11
解析
【分析】
要解决本题，首先需要估算出√33的取值范围：我们可以利用平方与开平方的互逆关系，找到和33相邻的两个完全平方数，再根据算术平方根的大小比较规律，确定√33介于哪两个连续整数之间，得到a、b的取值后，就能计算a+b的结果。
【解析】
先计算相邻整数的平方：
∵5²=25，6²=36，且25＜33＜36，
根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，可得：
√25＜√33＜√36，即5＜√33＜6。
又
∵a、b是连续整数，且a＜√33＜b，
∴a=5，b=6，
因此a+b=5+6=11。
【答案】
11
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础类的估算题型，解题核心是通过平方运算定位与被开方数相邻的完全平方数，进而确定无理数的整数区间，该方法是解决所有同类无理数取值范围问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要估算出√33的取值范围：我们可以利用平方与开平方的互逆关系，找到和33相邻的两个完全平方数，再根据算术平方根的大小比较规律，确定√33介于哪两个连续整数之间，得到a、b的取值后，就能计算a+b的结果。
【解析】
先计算相邻整数的平方：
∵5²=25，6²=36，且25＜33＜36，
根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，可得：
√25＜√33＜√36，即5＜√33＜6。
又
∵a、b是连续整数，且a＜√33＜b，
∴a=5，b=6，
因此a+b=5+6=11。
【答案】
11
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础类的估算题型，解题核心是通过平方运算定位与被开方数相邻的完全平方数，进而确定无理数的整数区间，该方法是解决所有同类无理数取值范围问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
⑧已知实数$m$满足$\sqrt{(2 - m)^2} + \sqrt{m - 4} = \sqrt{m^2}$，则$m=$
8
。答案
8
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式有意义的前提：被开方数非负，先据此确定m的取值范围，再利用二次根式的性质√(a²)=|a|，结合m的范围去掉绝对值符号，将原方程转化为整式方程求解，最后验证解是否符合取值范围即可。
【解析】
第一步：确定m的取值范围
要使二次根式√(m-4)有意义，则被开方数满足：
$m - 4 ≥ 0$，解得$m ≥ 4$。
第二步：化简二次根式
因为$m ≥ 4$，所以$2 - m ＜ 0$，根据$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$\sqrt{(2 - m)^2} = |2 - m| = m - 2$，
$\sqrt{m^2} = |m| = m$。
第三步：代入原方程求解
将化简结果代入原方程得：
$(m - 2) + \sqrt{m - 4} = m$
移项化简得：$\sqrt{m - 4} = 2$
两边同时平方得：$m - 4 = 4$
解得：$m = 8$
第四步：检验
当$m=8$时，满足$m≥4$的条件，代入原方程验证：
左边$=\sqrt{(2-8)^2}+\sqrt{8-4}=6+2=8$，右边$=\sqrt{8^2}=8$，左边=右边，解成立。
【答案】
8
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式性质的典型应用题目，易错点是忽略先确定m的取值范围，直接化简二次根式导致符号错误，解题时养成先判断被开方数取值范围的习惯，最后注意检验解的合理性即可避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确二次根式有意义的前提：被开方数非负，先据此确定m的取值范围，再利用二次根式的性质√(a²)=|a|，结合m的范围去掉绝对值符号，将原方程转化为整式方程求解，最后验证解是否符合取值范围即可。
【解析】
第一步：确定m的取值范围
要使二次根式√(m-4)有意义，则被开方数满足：
$m - 4 ≥ 0$，解得$m ≥ 4$。
第二步：化简二次根式
因为$m ≥ 4$，所以$2 - m ＜ 0$，根据$\sqrt{a^2}=|a|$可得：
$\sqrt{(2 - m)^2} = |2 - m| = m - 2$，
$\sqrt{m^2} = |m| = m$。
第三步：代入原方程求解
将化简结果代入原方程得：
$(m - 2) + \sqrt{m - 4} = m$
移项化简得：$\sqrt{m - 4} = 2$
两边同时平方得：$m - 4 = 4$
解得：$m = 8$
第四步：检验
当$m=8$时，满足$m≥4$的条件，代入原方程验证：
左边$=\sqrt{(2-8)^2}+\sqrt{8-4}=6+2=8$，右边$=\sqrt{8^2}=8$，左边=右边，解成立。
【答案】
8
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式性质的典型应用题目，易错点是忽略先确定m的取值范围，直接化简二次根式导致符号错误，解题时养成先判断被开方数取值范围的习惯，最后注意检验解的合理性即可避免出错。
【难度系数】
0.7
9 计算：
(1) $|3 - π| + |4 - π| = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $|2 - \sqrt{10}| + |\sqrt{10} - \sqrt{14}| + |\sqrt{14} - 4| = \_\_\_\_\_\_$。
(1) $|3 - π| + |4 - π| = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $|2 - \sqrt{10}| + |\sqrt{10} - \sqrt{14}| + |\sqrt{14} - 4| = \_\_\_\_\_\_$。
答案
(1) 1 (2) 2
解析
【分析】
要解决绝对值化简计算问题，核心是利用绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题步骤为：①先估算无理数（π、√10、√14）的大小，判断每个绝对值内算式的正负性；②根据绝对值性质去掉绝对值符号；③合并同类项，抵消相同项后计算最终结果。
【解析】
(1) 已知π≈3.14，因此3＜π＜4，可得：
$3-π＜0$，$4-π＞0$
根据绝对值性质去符号：
$|3-π|=π-3$，$|4-π|=4-π$
原式$=π-3+4-π=1$
(2) 先比较各数大小：
∵$2^2=4＜10$，$(\sqrt{10})^2=10＜14$，$(\sqrt{14})^2=14＜16=4^2$
∴$2＜\sqrt{10}＜\sqrt{14}＜4$，可得：
$2-\sqrt{10}＜0$，$\sqrt{10}-\sqrt{14}＜0$，$\sqrt{14}-4＜0$
根据绝对值性质去符号：
$|2-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-2$，$|\sqrt{10}-\sqrt{14}|=\sqrt{14}-\sqrt{10}$，$|\sqrt{14}-4|=4-\sqrt{14}$
原式$=\sqrt{10}-2 + \sqrt{14}-\sqrt{10} + 4-\sqrt{14} = (\sqrt{10}-\sqrt{10})+(\sqrt{14}-\sqrt{14})+(-2+4)=2$
【答案】
(1) 1；(2) 2
【知识点】
绝对值的性质；实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题是绝对值化简的基础题型，解题关键是准确判断绝对值内表达式的正负，去绝对值符号时注意符号变化，计算过程中可通过抵消相同项简化运算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
要解决绝对值化简计算问题，核心是利用绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题步骤为：①先估算无理数（π、√10、√14）的大小，判断每个绝对值内算式的正负性；②根据绝对值性质去掉绝对值符号；③合并同类项，抵消相同项后计算最终结果。
【解析】
(1) 已知π≈3.14，因此3＜π＜4，可得：
$3-π＜0$，$4-π＞0$
根据绝对值性质去符号：
$|3-π|=π-3$，$|4-π|=4-π$
原式$=π-3+4-π=1$
(2) 先比较各数大小：
∵$2^2=4＜10$，$(\sqrt{10})^2=10＜14$，$(\sqrt{14})^2=14＜16=4^2$
∴$2＜\sqrt{10}＜\sqrt{14}＜4$，可得：
$2-\sqrt{10}＜0$，$\sqrt{10}-\sqrt{14}＜0$，$\sqrt{14}-4＜0$
根据绝对值性质去符号：
$|2-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-2$，$|\sqrt{10}-\sqrt{14}|=\sqrt{14}-\sqrt{10}$，$|\sqrt{14}-4|=4-\sqrt{14}$
原式$=\sqrt{10}-2 + \sqrt{14}-\sqrt{10} + 4-\sqrt{14} = (\sqrt{10}-\sqrt{10})+(\sqrt{14}-\sqrt{14})+(-2+4)=2$
【答案】
(1) 1；(2) 2
【知识点】
绝对值的性质；实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题是绝对值化简的基础题型，解题关键是准确判断绝对值内表达式的正负，去绝对值符号时注意符号变化，计算过程中可通过抵消相同项简化运算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
⑩ 已知$|a|=2$，$|b|=1$，且$|a-b|=b-a$，则$a-b$的值为
$-3$或$-1$
。答案
$-3$或$-1$
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的定义求出a、b的所有可能取值；再分析核心条件|a-b|=b-a，结合绝对值的性质：若|x|=-x，则x≤0，将a-b看作整体，可推导出a-b≤0即a≤b的隐含限制；最后筛选出满足a≤b的a、b组合，分别代入计算a-b的值即可，注意不要漏算符合条件的组合。
【解析】
解：
∵ |a|=2，
∴ a=2或a=-2；
∵ |b|=1，
∴ b=1或b=-1；
∵ |a-b|=b-a=-(a-b)，根据绝对值的性质可得a-b≤0，即a≤b；
当a=2时，2＞1且2＞-1，均不满足a≤b，故a=2不符合要求，舍去；
当a=-2时：
若b=1，满足-2≤1，此时a-b=-2-1=-3；
若b=-1，满足-2≤-1，此时a-b=-2-(-1)=-1；
综上，a-b的值为-3或-1。
【答案】
-3或-1
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较；有理数减法运算
【点评】
本题主要考查绝对值性质的应用，解题关键是从已知条件中挖掘出a≤b的隐含限制，解题时需先列举字母的所有可能取值，再结合限制条件筛选符合要求的情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的定义求出a、b的所有可能取值；再分析核心条件|a-b|=b-a，结合绝对值的性质：若|x|=-x，则x≤0，将a-b看作整体，可推导出a-b≤0即a≤b的隐含限制；最后筛选出满足a≤b的a、b组合，分别代入计算a-b的值即可，注意不要漏算符合条件的组合。
【解析】
解：
∵ |a|=2，
∴ a=2或a=-2；
∵ |b|=1，
∴ b=1或b=-1；
∵ |a-b|=b-a=-(a-b)，根据绝对值的性质可得a-b≤0，即a≤b；
当a=2时，2＞1且2＞-1，均不满足a≤b，故a=2不符合要求，舍去；
当a=-2时：
若b=1，满足-2≤1，此时a-b=-2-1=-3；
若b=-1，满足-2≤-1，此时a-b=-2-(-1)=-1；
综上，a-b的值为-3或-1。
【答案】
-3或-1
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较；有理数减法运算
【点评】
本题主要考查绝对值性质的应用，解题关键是从已知条件中挖掘出a≤b的隐含限制，解题时需先列举字母的所有可能取值，再结合限制条件筛选符合要求的情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
11 如图，数轴的正半轴上有A、B、C三点，点A、B分别表示1和$\sqrt{2}$，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x。
（1）请你直接写出x的值；
（2）求$(x - \sqrt{2})^2$的平方根。
（1）请你直接写出x的值；
（2）求$(x - \sqrt{2})^2$的平方根。
答案
(1) $x = \sqrt{2} - 1$ (2) $\pm 1$
解析
【分析】
（1）首先回忆数轴上两点距离的计算方法：数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数。先算出点A到点B的距离，再根据“点B到点A的距离与点C到点O的距离相等”，结合点C在正半轴，就能求出x的值。
（2）将第一问得到的x代入代数式先计算出$(x - \sqrt{2})^2$的结果，再根据平方根的定义（正数有两个互为相反数的平方根）求出最终结果，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
（1）已知点A表示数1，点B表示数$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$，因此点B到点A的距离为：
$AB=\sqrt{2}-1$
根据题意，点C到原点O的距离等于AB的长度，又因为点C在数轴正半轴，因此点C表示的数$x=\sqrt{2}-1$。
（2）把$x=\sqrt{2}-1$代入$(x - \sqrt{2})^2$得：
$(x - \sqrt{2})^2=(\sqrt{2}-1-\sqrt{2})^2=(-1)^2=1$
根据平方根的定义，1的平方根为$\pm\sqrt{1}=\pm1$，因此$(x - \sqrt{2})^2$的平方根是$\pm1$。
【答案】
(1) $x = \sqrt{2} - 1$
(2) $\pm 1$
【知识点】
数轴两点距离计算、代数式求值、平方根定义
【点评】
本题是基础的实数与数轴结合题型，重点考察数轴距离计算和平方根的概念，解题时要注意正数的平方根有两个，避免漏写负的结果。
【难度系数】
0.85
（1）首先回忆数轴上两点距离的计算方法：数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数。先算出点A到点B的距离，再根据“点B到点A的距离与点C到点O的距离相等”，结合点C在正半轴，就能求出x的值。
（2）将第一问得到的x代入代数式先计算出$(x - \sqrt{2})^2$的结果，再根据平方根的定义（正数有两个互为相反数的平方根）求出最终结果，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
（1）已知点A表示数1，点B表示数$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$，因此点B到点A的距离为：
$AB=\sqrt{2}-1$
根据题意，点C到原点O的距离等于AB的长度，又因为点C在数轴正半轴，因此点C表示的数$x=\sqrt{2}-1$。
（2）把$x=\sqrt{2}-1$代入$(x - \sqrt{2})^2$得：
$(x - \sqrt{2})^2=(\sqrt{2}-1-\sqrt{2})^2=(-1)^2=1$
根据平方根的定义，1的平方根为$\pm\sqrt{1}=\pm1$，因此$(x - \sqrt{2})^2$的平方根是$\pm1$。
【答案】
(1) $x = \sqrt{2} - 1$
(2) $\pm 1$
【知识点】
数轴两点距离计算、代数式求值、平方根定义
【点评】
本题是基础的实数与数轴结合题型，重点考察数轴距离计算和平方根的概念，解题时要注意正数的平方根有两个，避免漏写负的结果。
【难度系数】
0.85
