12 将下列小数化为分数。
(1) $0.52$；
(2) $-3.6$；
(3) $0.\dot{3}\dot{1}$；
(4) $5.1\dot{3}\dot{2}$。

(1) $\frac{13}{25}$ (2) $-\frac{18}{5}$ (3) $\frac{31}{99}$ (4) $5\frac{131}{990}$
[提示: $5.1\dot{3}\dot{2}=5.1+\frac{1}{10}×0.\dot{3}\dot{2}=5+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}×\frac{32}{99}=5\frac{131}{990}$。]

【分析】
解题时先对小数分类，再对应不同规则转化：1. 有限小数化分数：小数有n位，分母就是10的n次方，分子是去掉小数点的数，最后约分为最简分数，带负号的保留符号；2. 纯循环小数化分数：循环节有m位，分母就是m个9，分子是循环节对应的数，再约分；3. 混循环小数化分数：可把小数拆成不循环部分加循环部分，循环部分对应缩小相应倍数后用纯循环的规则转化，最后合并整数部分和分数部分，化简为最简形式。
【解析】
(1) $0.52$是两位有限小数：
$0.52=\frac{52}{100}=\frac{52÷4}{100÷4}=\frac{13}{25}$
(2) $-3.6$是一位有限小数，保留负号：
$-3.6=-\frac{36}{10}=-\frac{36÷2}{10÷2}=-\frac{18}{5}$
(3) $0.\dot{3}\dot{1}$是纯循环小数，循环节为2位：
根据纯循环小数化分数规则，分母为2个9，分子为循环节31，得$0.\dot{3}\dot{1}=\frac{31}{99}$，31和99互质，无需约分。
(4) $5.1\dot{3}\dot{2}$是混循环小数，拆分计算：
$5.1\dot{3}\dot{2}=5 + 0.1 + 0.0\dot{3}\dot{2}$
其中$0.0\dot{3}\dot{2}=\frac{1}{10}×0.\dot{3}\dot{2}=\frac{1}{10}×\frac{32}{99}=\frac{32}{990}$，$0.1=\frac{99}{990}$
分数部分相加：$\frac{99}{990}+\frac{32}{990}=\frac{131}{990}$，131和990互质，合并整数部分得$5\frac{131}{990}$
【答案】
(1) $\frac{13}{25}$ (2) $-\frac{18}{5}$ (3) $\frac{31}{99}$ (4) $5\frac{131}{990}$
【知识点】
小数化分数；分数约分；循环小数化分数
【点评】
本题考查不同类型小数转化为分数的方法，需准确区分有限小数、纯循环小数、混循环小数的转化规则，转化完成后要注意约分为最简分数，带符号的小数不要遗漏符号，混循环小数拆分计算时要注意循环部分的数位对应关系。
【难度系数】
0.7

13 我们知道,任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零。由此可得:如果 $ mx + n = 0 $,其中$ m、n $为有理数,$ x $为无理数,那么$ m = 0 $且$ n = 0 $。
(1) 如果$ (a - 2)\sqrt{2} + b + 3 = 0 $,其中$ a、b $为有理数,那么$ a = $, $ b = $;
(2) 如果$ (2 + \sqrt{2})a - (1 - \sqrt{2})b = 9 $,其中$ a、b $为有理数,求$ a - 2b $的平方根;
(3) 若$ x、y $是有理数,且满足$ 3(x - 2y) - (1 - \sqrt{2})y = 9 + 3\sqrt{2} $,求$ x - y $的算术平方根。

(1) 2，$-3$
(2) 由$(2+\sqrt{2})a-(1-\sqrt{2})b=9$,可得$2a-b-9+(a+b)\sqrt{2}=0$,所以$2a-b-9=0$,$a+b=0$,解得$a=3$,$b=-3$,所以$a-2b=9$,$a-2b$的平方根为$\pm3$。
(3) 由$3(x-2y)-(1-\sqrt{2})y=9+3\sqrt{2}$,可得$3x-7y-9+(y-3)\sqrt{2}=0$,所以$3x-7y-9=0$,$y-3=0$,解得$x=10$,$y=3$,所以$x-y=7$,所以$x-y$的算术平方根为$\sqrt{7}$。

【分析】
本题核心运用题干给出的结论：若有理数与无理数的线性组合等于0，则无理数的有理数系数为0，且剩余有理数部分也为0。解题步骤如下：
(1) 直接识别式子中$\sqrt{2}$的系数和常数项，分别令其为0即可求解$a、b$；
(2) 先将原式展开，分离出含$\sqrt{2}$的项和不含$\sqrt{2}$的有理数项，整理为“有理数部分 + 无理数系数×$\sqrt{2}$ = 0”的形式，根据结论列二元一次方程组求解$a、b$，再计算$a-2b$的平方根；
(3) 同样先去括号整理式子，分离有理数部分和含$\sqrt{2}$的项，列方程组求解$x、y$，再计算$x-y$的算术平方根，注意算术平方根为非负数。
【解析】
(1) 已知$(a - 2)\sqrt{2} + b + 3 = 0$，其中$a、b$为有理数，$\sqrt{2}$为无理数，根据题干结论可得：
无理数系数：$a-2=0$，有理数部分：$b+3=0$
解得$a=2$，$b=-3$。
(2) 先整理原式$(2+\sqrt{2})a - (1-\sqrt{2})b = 9$：
展开得$2a + \sqrt{2}a - b + \sqrt{2}b = 9$，
移项合并同类项得$(2a - b - 9) + (a + b)\sqrt{2} = 0$，
因为$a、b$为有理数，$\sqrt{2}$为无理数，根据结论列方程组：
$\begin{cases}2a - b - 9 = 0 \\ a + b = 0\end{cases}$
两式相加消去$b$得$3a - 9 = 0$，解得$a=3$，
将$a=3$代入$a + b = 0$，得$b=-3$。
则$a - 2b = 3 - 2×(-3) = 9$，
9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
(3) 先整理原式$3(x - 2y) - (1 - \sqrt{2})y = 9 + 3\sqrt{2}$：
去括号得$3x - 6y - y + \sqrt{2}y = 9 + 3\sqrt{2}$，
移项合并同类项得$(3x - 7y - 9) + (y - 3)\sqrt{2} = 0$，
因为$x、y$为有理数，$\sqrt{2}$为无理数，根据结论列方程组：
$\begin{cases}y - 3 = 0 \\ 3x - 7y - 9 = 0\end{cases}$
由$y - 3 = 0$得$y=3$，
将$y=3$代入$3x - 7y - 9 = 0$，得$3x - 21 - 9 = 0$，解得$x=10$。
则$x - y = 10 - 3 = 7$，
7的算术平方根为$\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $2$，$-3$；
(2) $\pm3$；
(3) $\sqrt{7}$
【知识点】
无理数运算性质，二元一次方程组的解法，平方根与算术平方根
【点评】
本题属于信息迁移类题型，解题关键是理解题干给出的结论，能够准确将含无理数的代数式分离为有理数部分和无理数系数部分，再列方程求解，同时要注意区分平方根和算术平方根的概念，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7