⑧ 在$△ ABC$中，$∠ C=35°$，$∠ B=120°$，将$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转后（旋转角$0°＜α＜90°$），点$B$与点$B'$对应，点$C$与点$C'$对应。若$C'B'$与$AC$垂直，则旋转角$α$的度数为。

8. 55°

【分析】
遇到旋转类的角度计算题，首先回忆旋转的核心性质：旋转前后图形的对应角相等，对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，且所有旋转角大小相等。本题要求旋转角α的度数，也就是求对应点C、C'与旋转中心A连线的夹角∠CAC'的度数。首先由旋转性质得到∠C'=∠C=35°，再结合C'B'与AC垂直的条件，可得到包含∠CAC'的直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CAC'，也就是旋转角α的度数。
【解析】
解：由旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，因此∠C' = ∠C = 35°，旋转角α = ∠CAC'。
设AC与C'B'的交点为D，
∵ C'B'⊥AC，
∴ ∠ADC' = 90°。
在Rt△ADC'中，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠CAC' + ∠C' = 90°，
∴ ∠CAC' = 90° - ∠C' = 90° - 35° = 55°，
即旋转角α = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
旋转的性质，直角三角形两锐角互余，旋转角的定义
【点评】
本题属于几何变换中的基础题型，解题的关键是准确识别旋转角，抓住旋转前后对应角不变的性质，结合垂直条件构造直角三角形求解角度，解题时注意不要混淆旋转前后的对应角。
【难度系数】
0.7

9 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。如果AB=5，AC=3，则AE=。

9. 4

【分析】
解题可按以下思路推导：1. 先利用角平分线的性质，由AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，可得DE=DF，且AE=AF；2. 再利用线段垂直平分线的性质，由DG垂直平分BC，可得BD=CD，进而可证Rt△BDE与Rt△CDF全等，得到BE=CF；3. 最后设AE为x，用含x的代数式表示BE和CF，建立方程求解即可。
【解析】
连接BD、CD。
1.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，
易证△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF。
2.
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
3. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF。
4. 设AE=x，则AF=x，
∴BE=AB-AE=5-x，CF=AF-AC=x-3，
∵BE=CF，
∴5-x=x-3，
解得x=4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合类的线段计算问题，解题核心是通过辅助线构造全等三角形，将未知线段和已知线段建立关联，结合方程思想求解，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

⑩ 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=32°$，点$M$、$N$分别在$AB$、$BC$边上，将$△ BMN$沿$MN$折叠，使点$B$落在直线$AC$上的点$B'$处，当$△ AB'M$为直角三角形时，$∠ BMN$的度数为。

10. 74°或45° [提示:①当$∠ AB'M = 90°$时,因为$∠ C = 90°$,所以$∠ AB'M = ∠ C$,所以$B'M // BC$,所以$∠ AMB' = ∠ B = 32°$,所以$∠ BMB' = 148°$。由折叠的性质可得$∠ BMN = ∠ B'MN = \frac{1}{2}∠ BMB' = 74°$。②当$∠ AMB' = 90°$时,$∠ BMB' = 90°$,由折叠的性质可得$∠ BMN = ∠ B'MN = \frac{1}{2}∠ BMB' = 45°$。综上,$∠ BMN$的度数为$74°$或$45°$。]

【分析】
本题是折叠与三角形角度计算的综合题，解题思路如下：首先明确折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，因此∠BMN=∠B'MN，只需要求出∠BMB'的度数，除以2即可得到∠BMN的度数。其次，题目说明△AB'M为直角三角形，但未明确直角顶点，先计算△ABC中∠A=90°-32°=58°，可排除∠A为直角的情况，因此分两种情况讨论：①∠AB'M为直角；②∠AMB'为直角，分别结合几何性质计算对应∠BMB'的度数即可。
【解析】
首先计算∠A的度数：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，所以∠A=90°-∠B=58°，因此△AB'M的直角只能为∠AB'M或∠AMB'，分两种情况讨论：
① 当∠AB'M=90°时：
∵ ∠C=90°，
∴ ∠AB'M=∠C=90°，根据同位角相等，两直线平行，可得B'M//BC，
∴ ∠AMB'=∠B=32°（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠BMB'=180°-∠AMB'=180°-32°=148°，
由折叠的性质可知，∠BMN=∠B'MN=½∠BMB'，
∴ ∠BMN=½×148°=74°；
② 当∠AMB'=90°时：
∴ ∠BMB'=180°-∠AMB'=180°-90°=90°，
由折叠的性质可知，∠BMN=∠B'MN=½∠BMB'，
∴ ∠BMN=½×90°=45°；
综上，∠BMN的度数为74°或45°。
【答案】
74°或45°
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在几何角度计算中的应用，解题时需注意直角三角形未明确直角顶点时要分情况讨论，避免漏解，同时熟练掌握折叠的性质，结合平行线、平角等基础几何性质即可求解。
【难度系数】
0.6

11 如图,在△ABC中,CD垂直平分AB,延长AC至点E,使CE=AC,连接BE。
(1) 求证:△ABE是直角三角形;
(2) 取边EB上一点F,连接CF。若∠ECF=∠A,证明:点F是EB的中点。

11 (1) 因为CD垂直平分AB,所以CA=CB,所以$∠ A=∠ CBA$。因为CA=CB, CE=AC,所以CE=CB,所以$∠ CBE=∠ E$。在$△ ABE$中,$∠ A+∠ ABC+∠ CBE+∠ E=180°$,所以$2∠ A+2∠ E=180°$,即$∠ A+∠ E=90°$,所以$△ ABE$是直角三角形。
(2) 因为$∠ ECF=∠ A$,所以$CF // AB$,所以$∠ ABE=∠ CFE=90°$,即$CF ⊥ EB$。又因为CB=CE,所以F是EB的中点。

【分析】
(1) 要证△ABE是直角三角形，核心是证明存在90°的内角。首先由CD垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质得CA=CB，再结合CE=AC可得CB=CE，即可得到△ABC和△CBE都是等腰三角形，利用等边对等角得到两组等角，再代入三角形内角和为180°的结论，即可推出∠ABE=90°，完成证明。
(2) 要证F是EB的中点，已知CB=CE，可借助等腰三角形三线合一的性质，只需证明CF⊥EB即可。由∠ECF=∠A可推出CF与AB平行，结合(1)中∠ABE=90°的结论，可得CF⊥EB，进而得到F为EB中点。
【解析】
(1) 证明：
∵CD垂直平分AB，
∴CA=CB，
∴∠A=∠CBA。
∵CE=AC，
∴CE=CB，
∴∠CBE=∠E。
在△ABE中，∠A+∠ABC+∠CBE+∠E=180°，
将等角代入得2∠A+2∠E=180°，即∠A+∠E=90°，
∴∠ABE=90°，即△ABE是直角三角形。
(2) 证明：
∵∠ECF=∠A，
∴CF//AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠CFE=∠ABE=90°，即CF⊥EB。
又
∵CB=CE，△CBE为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得F是EB的中点。
【答案】
(1) 因为CD垂直平分AB，所以CA=CB，所以$∠ A=∠ CBA$。因为CA=CB， CE=AC，所以CE=CB，所以$∠ CBE=∠ E$。在$△ ABE$中,$∠ A+∠ ABC+∠ CBE+∠ E=180°$,所以$2∠ A+2∠ E=180°$,即$∠ A+∠ E=90°$,所以$△ ABE$是直角三角形。
(2) 因为$∠ ECF=∠ A$,所以$CF // AB$,所以$∠ ABE=∠ CFE=90°$,即$CF ⊥ EB$。又因为CB=CE，所以F是EB的中点。
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 等腰三角形性质
3. 平行线判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了三角形、平行线相关的核心性质，解题时需结合已知条件逐步推导角度、线段的关系，理清逻辑链条即可顺利解答。
【难度系数】
0.75

12 如图，点O是等边$△ ABC$内一点，$∠ AOB=110°$，$∠ BOC=α$。以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD。
（1）当$α=150°$时，试判断$△ AOD$的形状，并说明理由；
（2）探究：当$α$为多少度时，$△ AOD$是等腰三角形？

12 (1)$△ AOD$是直角三角形。理由如下:因为$△ ABC$和$△ OCD$是等边三角形,所以$BC = AC$,$OC=CD$,$∠ ACB=∠ DCO=∠ ODC=60°$。所以$∠ ACB-∠ ACO=∠ DCO-∠ ACO$,即$∠ BCO=∠ ACD$。在$△ BOC$和$△ ADC$中,因为$\begin{cases} OC=DC, \\ ∠ BCO=∠ ACD, \\ BC=AC, \end{cases}$所以$△ BOC ≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$,所以$∠ BOC=∠ ADC$。因为$∠ BOC =α=150°$,所以$∠ ADC=150°$。又因为$∠ ODC=60°$,所以$∠ ADO=150°-60°=90°$。所以$△ AOD$是直角三角形。
(2) 因为$∠ BOC=∠ ADC =α$,$∠ COD=∠ CDO=60°$,所以$∠ AOD=360°-∠ AOB - ∠ COD - ∠ BOC=190°-α$,$∠ ADO=∠ ADC - ∠ CDO =α - 60°$,所以$∠ OAD=180°-∠ AOD - ∠ ADO=50°$。分三种情况讨论:①当$AO=AD$时,$∠ AOD=∠ ADO$,所以$190°-α =α - 60°$,所以$α=125°$。②当$AO=OD$时,$∠ OAD=∠ ODA$,所以$50°=α - 60°$,所以$α=110°$。③当$OD=AD$时,$∠ OAD=∠ AOD$,所以$50°=190°-α$,所以$α=140°$。综上所述,当$α=125°$或$110°$或$140°$时,$△ AOD$是等腰三角形。

【分析】
（1）判断△AOD的形状可先从角度入手：首先利用等边三角形的边相等、内角为60°的性质，通过角的和差得到相等的夹角，证明△BOC≌△ADC，将∠BOC的度数转化为∠ADC的度数，再减去等边△OCD的内角∠ODC=60°，即可得到∠ADO的度数，进而判断三角形形状。
（2）探究△AOD为等腰三角形时α的度数，需先用含α的代数式表示出△AOD的三个内角：利用周角性质求∠AOD，利用全等三角形的性质和等边三角形内角求∠ADO，再用三角形内角和求出∠OAD=50°。再分AO=AD、AO=OD、OD=AD三种情况，根据等腰三角形两底角相等列方程求解，即可得到对应的α值。
【解析】
（1）△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△ABC和△OCD都是等边三角形，
∴$BC=AC$，$OC=CD$，$∠ACB=∠DCO=∠ODC=60°$，
∴$∠ACB - ∠ACO = ∠DCO - ∠ACO$，即$∠BCO=∠ACD$。
在△BOC和△ADC中：
$\begin{cases}OC=DC \\∠BCO=∠ACD \\BC=AC\end{cases}$
∴$△BOC ≌ △ADC(\mathrm{SAS})$，
∴$∠BOC=∠ADC$。
当$α=150°$时，$∠BOC=150°$，
∴$∠ADC=150°$，
∴$∠ADO=∠ADC - ∠ODC=150° - 60°=90°$，
∴△AOD是直角三角形。
（2）由$△BOC≌△ADC$可得$∠BOC=∠ADC=α$，
∵△OCD是等边三角形，
∴$∠COD=∠CDO=60°$，
∴$∠AOD=360° - ∠AOB - ∠COD - ∠BOC=360° - 110° - 60° - α=190° - α$，
$∠ADO=∠ADC - ∠CDO=α - 60°$，
由三角形内角和得：$∠OAD=180° - ∠AOD - ∠ADO=180° - (190° - α) - (α - 60°)=50°$。
△AOD为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当$AO=AD$时，$∠AOD=∠ADO$，
即$190° - α = α - 60°$，解得$α=125°$；
②当$AO=OD$时，$∠OAD=∠ODA$，
即$50° = α - 60°$，解得$α=110°$；
③当$OD=AD$时，$∠OAD=∠AOD$，
即$50° = 190° - α$，解得$α=140°$。
综上，当α为$110°$或$125°$或$140°$时，△AOD是等腰三角形。
【答案】
（1）△AOD是直角三角形；
（2）α的度数为$110°$或$125°$或$140°$。
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，第一问借助全等三角形转化角度即可快速求解，第二问需要掌握等腰三角形的分类讨论标准，避免出现漏解的情况，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6