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13 （1）如图①，在△ABC中，点D是AB边的中点，将△BDC沿CD翻折得到△FDC，连接FA、FB。
① 求证：△AFB是直角三角形；
② 延长FA、BC交于点E，判断CF与BE的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，已知在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是BC边上一点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，连接FA、FB。
① 判断AF与DE的位置关系，并证明你的结论；
② 若AC // EF，用等式表示线段BE、CE、AC之间的数量关系，并证明你的结论。
第13题图① 第13题图②
① 求证：△AFB是直角三角形；
② 延长FA、BC交于点E，判断CF与BE的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，已知在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是BC边上一点，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，连接FA、FB。
① 判断AF与DE的位置关系，并证明你的结论；
② 若AC // EF，用等式表示线段BE、CE、AC之间的数量关系，并证明你的结论。
第13题图① 第13题图②
答案
13 (1) ① 证明:因为点D是AB边的中点,所以$AD=DB$,由翻折可知$AD=DB=DF$,所以$∠ DBF=∠ DFB$,$∠ DAF=∠ AFD$,因为$∠ DBF+∠ DFB+∠ DAF+∠ AFD=180°$,所以$∠ DFB+∠ AFD=90°$,即$∠ AFB=90°$,所以$△ AFB$是直角三角形。
② $CF=\frac{1}{2}BE$。证明:如图①,由翻折可知$BC=CF$,所以$∠ CFB=∠ CBF$。因为$∠ AFB=90°$,所以$∠ CFA+∠ CFB=90°$,$∠ E+∠ CBF=90°$。所以$∠ E=∠ CFA$。所以$CE=CF=CB$。所以$CF=\frac{1}{2}BE$。
(2) ① $AF // DE$。证明:如图②,延长ED交BF于点H。由翻折可知$BE=EF$,$BD=DF$。所以点E、D分别落在FB的垂直平分线上。所以ED垂直平分FB。所以$∠ DHB=90°$。又因为点D是AB边的中点,所以$AD=DB$。所以$AD=DB=DF$。所以$∠ DAF=∠ DFA$,$∠ DFB=∠ DBF$。因为$∠ BAF+∠ AFB+∠ FBA=180°$,所以$∠ AFB=90°$。所以$∠ AFB=∠ DHB$。所以$AF // DE$。
② $BE=CE+AC$。证明:如图③,延长FA、BC交于点G。由翻折可知$BE=EF$。所以$∠ EFB=∠ EBF$。因为$∠ AFB=90°$,所以$∠ AFE+∠ EFB=90°$,$∠ G+∠ FBE=90°$,所以$∠ AFE=∠ G$。所以$FE=GE=EB$。因为$AC // EF$,所以$∠ GAC=∠ AFE$。所以$∠ GAC=∠ G$。所以$AC=CG$。因为$GC+CE=GE=EB$,所以$CE+AC=BE$。
解析
【分析】
（1）①要证明△AFB是直角三角形，先根据中点性质得到AD=BD，再结合翻折的性质得BD=DF，因此AD=BD=DF，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°，即可推出∠AFB=90°。
②要判断CF与BE的数量关系，先由翻折得BC=CF，结合①中∠AFB=90°，通过等角的余角相等推导得到∠E=∠CFA，进而得CE=CF，即可推出C是BE中点，得到CF与BE的关系。
（2）①要判断AF与DE的位置关系，先由翻折得BE=EF、BD=DF，可知ED是FB的垂直平分线，得到∠DHB=90°；再结合D是AB中点得AD=BD=DF，同（1）①的推导思路得∠AFB=90°，根据同位角相等即可证明两直线平行。
②要推导BE、CE、AC的数量关系，先由翻折得BE=EF，结合∠AFB=90°，通过等角的余角相等得∠AFE=∠G，推出FE=GE=BE；再根据AC//EF推导角相等，得AC=CG，结合线段和的关系即可得到三者的数量等式。
【解析】
(1) ① 证明：因为点D是AB边的中点，所以$AD=DB$，由翻折可知$AD=DB=DF$，所以$∠ DBF=∠ DFB$，$∠ DAF=∠ AFD$，因为$∠ DBF+∠ DFB+∠ DAF+∠ AFD=180°$，所以$∠ DFB+∠ AFD=90°$，即$∠ AFB=90°$，所以$△ AFB$是直角三角形。
② $CF=\frac{1}{2}BE$。证明：由翻折可知$BC=CF$，所以$∠ CFB=∠ CBF$。因为$∠ AFB=90°$，所以$∠ CFA+∠ CFB=90°$，$∠ E+∠ CBF=90°$。所以$∠ E=∠ CFA$。所以$CE=CF=CB$。所以$CF=\frac{1}{2}BE$。
(2) ① $AF // DE$。证明：延长ED交BF于点H。由翻折可知$BE=EF$，$BD=DF$。所以点E、D分别落在FB的垂直平分线上。所以ED垂直平分FB。所以$∠ DHB=90°$。又因为点D是AB边的中点，所以$AD=DB$。所以$AD=DB=DF$。所以$∠ DAF=∠ DFA$，$∠ DFB=∠ DBF$。因为$∠ BAF+∠ AFB+∠ FBA=180°$，所以$∠ AFB=90°$。所以$∠ AFB=∠ DHB$。所以$AF // DE$。
② $BE=CE+AC$。证明：延长FA、BC交于点G。由翻折可知$BE=EF$。所以$∠ EFB=∠ EBF$。因为$∠ AFB=90°$，所以$∠ AFE+∠ EFB=90°$，$∠ G+∠ FBE=90°$，所以$∠ AFE=∠ G$。所以$FE=GE=EB$。因为$AC // EF$，所以$∠ GAC=∠ AFE$。所以$∠ GAC=∠ G$。所以$AC=CG$。因为$GC+CE=GE=EB$，所以$CE+AC=BE$。
【答案】
(1) ① 证明见解析；② $CF=\frac{1}{2}BE$，证明见解析
(2) ① $AF // DE$，证明见解析；② $BE=CE+AC$，证明见解析
【知识点】
翻折的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题以翻折变换为载体，综合考查了三角形相关的核心性质，解题时要充分利用翻折前后边、角的对应相等关系，结合中点条件逐层推导，注意前后小问的结论关联性，侧重考查逻辑推理和几何直观能力。
【难度系数】
0.6
（1）①要证明△AFB是直角三角形，先根据中点性质得到AD=BD，再结合翻折的性质得BD=DF，因此AD=BD=DF，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°，即可推出∠AFB=90°。
②要判断CF与BE的数量关系，先由翻折得BC=CF，结合①中∠AFB=90°，通过等角的余角相等推导得到∠E=∠CFA，进而得CE=CF，即可推出C是BE中点，得到CF与BE的关系。
（2）①要判断AF与DE的位置关系，先由翻折得BE=EF、BD=DF，可知ED是FB的垂直平分线，得到∠DHB=90°；再结合D是AB中点得AD=BD=DF，同（1）①的推导思路得∠AFB=90°，根据同位角相等即可证明两直线平行。
②要推导BE、CE、AC的数量关系，先由翻折得BE=EF，结合∠AFB=90°，通过等角的余角相等得∠AFE=∠G，推出FE=GE=BE；再根据AC//EF推导角相等，得AC=CG，结合线段和的关系即可得到三者的数量等式。
【解析】
(1) ① 证明：因为点D是AB边的中点，所以$AD=DB$，由翻折可知$AD=DB=DF$，所以$∠ DBF=∠ DFB$，$∠ DAF=∠ AFD$，因为$∠ DBF+∠ DFB+∠ DAF+∠ AFD=180°$，所以$∠ DFB+∠ AFD=90°$，即$∠ AFB=90°$，所以$△ AFB$是直角三角形。
② $CF=\frac{1}{2}BE$。证明：由翻折可知$BC=CF$，所以$∠ CFB=∠ CBF$。因为$∠ AFB=90°$，所以$∠ CFA+∠ CFB=90°$，$∠ E+∠ CBF=90°$。所以$∠ E=∠ CFA$。所以$CE=CF=CB$。所以$CF=\frac{1}{2}BE$。
(2) ① $AF // DE$。证明：延长ED交BF于点H。由翻折可知$BE=EF$，$BD=DF$。所以点E、D分别落在FB的垂直平分线上。所以ED垂直平分FB。所以$∠ DHB=90°$。又因为点D是AB边的中点，所以$AD=DB$。所以$AD=DB=DF$。所以$∠ DAF=∠ DFA$，$∠ DFB=∠ DBF$。因为$∠ BAF+∠ AFB+∠ FBA=180°$，所以$∠ AFB=90°$。所以$∠ AFB=∠ DHB$。所以$AF // DE$。
② $BE=CE+AC$。证明：延长FA、BC交于点G。由翻折可知$BE=EF$。所以$∠ EFB=∠ EBF$。因为$∠ AFB=90°$，所以$∠ AFE+∠ EFB=90°$，$∠ G+∠ FBE=90°$，所以$∠ AFE=∠ G$。所以$FE=GE=EB$。因为$AC // EF$，所以$∠ GAC=∠ AFE$。所以$∠ GAC=∠ G$。所以$AC=CG$。因为$GC+CE=GE=EB$，所以$CE+AC=BE$。
【答案】
(1) ① 证明见解析；② $CF=\frac{1}{2}BE$，证明见解析
(2) ① $AF // DE$，证明见解析
；② $BE=CE+AC$，证明见解析【知识点】
翻折的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题以翻折变换为载体，综合考查了三角形相关的核心性质，解题时要充分利用翻折前后边、角的对应相等关系，结合中点条件逐层推导，注意前后小问的结论关联性，侧重考查逻辑推理和几何直观能力。
【难度系数】
0.6
