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12. 将一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠一次，若∠2=130°,则∠1=
65°
。答案
12. 65°
解析
【分析】
解题时先明确两个核心条件：一是宽度相等的纸条对边互相平行，可应用平行线的角的性质；二是折叠前后重合部分的角相等。首先根据平行线的内错角相等，找到∠2和折叠后两个相等角的等量关系，再结合折叠角相等的性质，就能推导出∠1和∠2的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵宽度相等的纸条上下对边互相平行
∴根据两直线平行，内错角相等，可得∠2等于折叠后两个重合角的和
又
∵折叠前后对应角相等，两个重合角均等于∠1
∴∠2=2∠1
已知∠2=130°，代入得：
∠1=130°÷2=65°
【答案】
65°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的纸条折叠场景，考查基础几何性质的综合应用，解题的关键是准确找到折叠带来的等角关系，以及平行线对应的角的等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心条件：一是宽度相等的纸条对边互相平行，可应用平行线的角的性质；二是折叠前后重合部分的角相等。首先根据平行线的内错角相等，找到∠2和折叠后两个相等角的等量关系，再结合折叠角相等的性质，就能推导出∠1和∠2的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵宽度相等的纸条上下对边互相平行
∴根据两直线平行，内错角相等，可得∠2等于折叠后两个重合角的和
又
∵折叠前后对应角相等，两个重合角均等于∠1
∴∠2=2∠1
已知∠2=130°，代入得：
∠1=130°÷2=65°
【答案】
65°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的纸条折叠场景，考查基础几何性质的综合应用，解题的关键是准确找到折叠带来的等角关系，以及平行线对应的角的等量关系。
【难度系数】
0.7
13. 阅读并完成下面的证明过程：
已知:如图，$AB // EF$，$∠ 1 = ∠ 2$，$BE$，$CE$ 分别平分 $∠ ABC$ 和 $∠ BCD$，求证:$BE ⊥ CE$.
证明:∵ $BE$，$CE$ 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ BCD$,
∴ $∠ ABE= ∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,
$∠ 2=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}∠ BCD$(角平分线的定义).
∵ $∠ 1= ∠ 2$,
∴ $∠ 1= ∠ ECD$(
∴ $EF// CD$(
又 $AB// EF$(已知),
∴
∴ $∠ ABC+ ∠ BCD=180°$(
∴ $∠ ABE+ ∠ 2=\frac{1}{2}(∠ ABC+ ∠ BCD)=90°$.
又 $AB// EF$,
∴ $∠ ABE= ∠ BEF$(
∴ $∠ BEF+ ∠ 1=90°$,
即 $∠ BEC=90°$.
∴ $BE ⊥ CE$(
已知:如图，$AB // EF$，$∠ 1 = ∠ 2$，$BE$，$CE$ 分别平分 $∠ ABC$ 和 $∠ BCD$，求证:$BE ⊥ CE$.
证明:∵ $BE$，$CE$ 分别平分$∠ ABC$ 和$∠ BCD$,
∴ $∠ ABE= ∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,
$∠ 2=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}∠ BCD$(角平分线的定义).
∵ $∠ 1= ∠ 2$,
∴ $∠ 1= ∠ ECD$(
等量代换
).∴ $EF// CD$(
内错角相等,两直线平行
).又 $AB// EF$(已知),
∴
$AB//CD$
(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
).∴ $∠ ABC+ ∠ BCD=180°$(
两直线平行,同旁内角互补
).∴ $∠ ABE+ ∠ 2=\frac{1}{2}(∠ ABC+ ∠ BCD)=90°$.
又 $AB// EF$,
∴ $∠ ABE= ∠ BEF$(
两直线平行,内错角相等
).∴ $∠ BEF+ ∠ 1=90°$,
即 $∠ BEC=90°$.
∴ $BE ⊥ CE$(
垂直的定义
).答案
13. ∠ECD 等量代换 内错角相等,两直线平行 $AB//CD$ 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 两直线平行,同旁内角互补 两直线平行,内错角相等 垂直的定义
解析
【分析】
这是一道平行线与角平分线结合的证明补全题，解题时需结合已知条件和前后推导逻辑，匹配对应的几何定理：首先根据角平分线定义确定角的等量关系，再通过角的等量关系判断直线平行，接着利用平行公理的推论得到新的平行关系，再用平行线的性质得到同旁内角互补，结合角平分线性质推导得到直角，最终证明垂直，每一步空缺都需要对应学过的定义、定理填写。
【解析】
我们按证明步骤依次推导：
1. 已知CE平分∠BCD，根据角平分线的定义，可得$∠2=∠ECD=\frac{1}{2}∠BCD$，因此第一个空填$∠ECD$；
2. 已知$∠1=∠2$，结合上一步的$∠2=∠ECD$，可得$∠1=∠ECD$，这是将相等的量进行替换，依据是等量代换；
3. $∠1$和$∠ECD$是直线EF、CD被EC所截形成的内错角，内错角相等可推出两直线平行，因此依据是内错角相等,两直线平行；
4. 已知$AB//EF$，上一步推出$EF//CD$，根据平行公理的推论，可得$AB//CD$，依据是如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行；
5. AB和CD平行，它们的同旁内角$∠ABC$和$∠BCD$互补，因此依据是两直线平行,同旁内角互补；
6. AB和EF平行，$∠ABE$和$∠BEF$是内错角，内错角相等，因此依据是两直线平行,内错角相等；
7. 最终推出$∠BEC=90°$，即可得到两条直线垂直，依据是垂直的定义。
【答案】
∠ECD 等量代换 内错角相等,两直线平行 $AB//CD$ 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 两直线平行,同旁内角互补 两直线平行,内错角相等 垂直的定义
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题是相交线与平行线模块的典型基础题，侧重考查对基础几何定理的理解与应用，要求学生能理清证明的逻辑链条，准确匹配条件对应的定理，对培养几何推理的逻辑性有很好的训练作用。
【难度系数】
0.8
这是一道平行线与角平分线结合的证明补全题，解题时需结合已知条件和前后推导逻辑，匹配对应的几何定理：首先根据角平分线定义确定角的等量关系，再通过角的等量关系判断直线平行，接着利用平行公理的推论得到新的平行关系，再用平行线的性质得到同旁内角互补，结合角平分线性质推导得到直角，最终证明垂直，每一步空缺都需要对应学过的定义、定理填写。
【解析】
我们按证明步骤依次推导：
1. 已知CE平分∠BCD，根据角平分线的定义，可得$∠2=∠ECD=\frac{1}{2}∠BCD$，因此第一个空填$∠ECD$；
2. 已知$∠1=∠2$，结合上一步的$∠2=∠ECD$，可得$∠1=∠ECD$，这是将相等的量进行替换，依据是等量代换；
3. $∠1$和$∠ECD$是直线EF、CD被EC所截形成的内错角，内错角相等可推出两直线平行，因此依据是内错角相等,两直线平行；
4. 已知$AB//EF$，上一步推出$EF//CD$，根据平行公理的推论，可得$AB//CD$，依据是如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行；
5. AB和CD平行，它们的同旁内角$∠ABC$和$∠BCD$互补，因此依据是两直线平行,同旁内角互补；
6. AB和EF平行，$∠ABE$和$∠BEF$是内错角，内错角相等，因此依据是两直线平行,内错角相等；
7. 最终推出$∠BEC=90°$，即可得到两条直线垂直，依据是垂直的定义。
【答案】
∠ECD 等量代换 内错角相等,两直线平行 $AB//CD$ 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 两直线平行,同旁内角互补 两直线平行,内错角相等 垂直的定义
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题是相交线与平行线模块的典型基础题，侧重考查对基础几何定理的理解与应用，要求学生能理清证明的逻辑链条，准确匹配条件对应的定理，对培养几何推理的逻辑性有很好的训练作用。
【难度系数】
0.8
三、解答题
14. 如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠BOD=35°,求∠EOC的度数；
(2)若∠EOC:∠EOD=1:4,求∠BOD的度数.
14. 如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠BOD=35°,求∠EOC的度数；
(2)若∠EOC:∠EOD=1:4,求∠BOD的度数.
答案
14. (1)
∵ 直线AB,CD相交于点O,∠BOD=35°,
∴ ∠AOC=∠BOD=35°.
∵ OA平分∠EOC,
∴ ∠EOC=2∠AOC=70°.
(2)
∵ ∠EOC:∠EOD=1:4,∠EOC+∠EOD=180°,
∴ ∠EOC+4∠EOC=180°.
∴ ∠EOC=36°.
∵ OA平分∠EOC,
∴ ∠AOC=$\frac{1}{2}$∠EOC=18°.
∵ ∠BOD=∠AOC,
∴ ∠BOD=18°.
∵ 直线AB,CD相交于点O,∠BOD=35°,
∴ ∠AOC=∠BOD=35°.
∵ OA平分∠EOC,
∴ ∠EOC=2∠AOC=70°.
(2)
∵ ∠EOC:∠EOD=1:4,∠EOC+∠EOD=180°,
∴ ∠EOC+4∠EOC=180°.
∴ ∠EOC=36°.
∵ OA平分∠EOC,
∴ ∠AOC=$\frac{1}{2}$∠EOC=18°.
∵ ∠BOD=∠AOC,
∴ ∠BOD=18°.
解析
【分析】
(1) 首先观察图形特征，直线AB与CD相交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角，根据对顶角相等可先求出∠AOC的度数；再结合OA平分∠EOC的条件，利用角平分线的定义，可得∠EOC是∠AOC的2倍，代入数值即可算出结果。
(2) 首先∠EOC和∠EOD是邻补角，二者之和为180°，结合已知的角度比例关系，可先求出∠EOC的度数；再由角平分线的定义求出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等的性质，即可得到∠BOD的度数。
【解析】
(1)
∵ 直线AB,CD相交于点O，∠BOD=35°，
∴ ∠AOC=∠BOD=35°（对顶角相等）。
∵ OA平分∠EOC，
∴ ∠EOC=2∠AOC=2×35°=70°。
(2)
∵ ∠EOC:∠EOD=1:4，且∠EOC与∠EOD互为邻补角，∠EOC+∠EOD=180°，
∴ ∠EOC+4∠EOC=180°，
解得∠EOC=36°。
∵ OA平分∠EOC，
∴ ∠AOC=$\frac{1}{2}$∠EOC=$\frac{1}{2}$×36°=18°。
∵ ∠BOD和∠AOC是对顶角，
∴ ∠BOD=∠AOC=18°。
【答案】
(1) $\boxed{70°}$；(2) $\boxed{18°}$
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，邻补角互补
【点评】
本题是相交线的基础应用题，解题核心是理清图中角的位置关系，熟练运用相交线相关性质和角平分线定义建立角的数量关系即可求解，运算量小。
【难度系数】
0.8
(1) 首先观察图形特征，直线AB与CD相交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角，根据对顶角相等可先求出∠AOC的度数；再结合OA平分∠EOC的条件，利用角平分线的定义，可得∠EOC是∠AOC的2倍，代入数值即可算出结果。
(2) 首先∠EOC和∠EOD是邻补角，二者之和为180°，结合已知的角度比例关系，可先求出∠EOC的度数；再由角平分线的定义求出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等的性质，即可得到∠BOD的度数。
【解析】
(1)
∵ 直线AB,CD相交于点O，∠BOD=35°，
∴ ∠AOC=∠BOD=35°（对顶角相等）。
∵ OA平分∠EOC，
∴ ∠EOC=2∠AOC=2×35°=70°。
(2)
∵ ∠EOC:∠EOD=1:4，且∠EOC与∠EOD互为邻补角，∠EOC+∠EOD=180°，
∴ ∠EOC+4∠EOC=180°，
解得∠EOC=36°。
∵ OA平分∠EOC，
∴ ∠AOC=$\frac{1}{2}$∠EOC=$\frac{1}{2}$×36°=18°。
∵ ∠BOD和∠AOC是对顶角，
∴ ∠BOD=∠AOC=18°。
【答案】
(1) $\boxed{70°}$；(2) $\boxed{18°}$
【知识点】
对顶角相等，角平分线的定义，邻补角互补
【点评】
本题是相交线的基础应用题，解题核心是理清图中角的位置关系，熟练运用相交线相关性质和角平分线定义建立角的数量关系即可求解，运算量小。
【难度系数】
0.8
