6. 数形结合 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在数学中，数与形之间可以相互转化。乐乐利用数形结合的方法来验证 $a^2 - b^2 = (a + b) × (a - b)$。在边长为 $a$ 的正方形纸片上剪去一个边长为 $b$（$b ＜ a$）的小正方形，剩余部分的面积可以用两种方法来求出，如图。

(1) 请你帮他将图中的标注补全。
(2) 请你应用上面的方法来计算。
$(1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{2}) × (1 - \frac{1}{3} × \frac{1}{3}) × (1 - \frac{1}{4} × \frac{1}{4}) × ··· × (1 - \frac{1}{2026} × \frac{1}{2026})$

(1)$a+b$ $a-b$ 提示:大正方形的边长是 $a$,剪去的部分是边长为 $b$ 的小正方形,那么拼成的大长方形的长是$(a+b)$,宽是$(a-b)$。
(2)$(1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4}×\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{2026}×\dfrac{1}{2026})$
$=(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{4})×(1-\dfrac{1}{4})×···×(1+\dfrac{1}{2026})×(1-\dfrac{1}{2026})$
$=\dfrac{3}{2}×\dfrac{1}{2}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{5}{4}×\dfrac{3}{4}×···×\dfrac{2027}{2026}×\dfrac{2025}{2026}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2027}{2026}$
$=\dfrac{2027}{4052}$
提示:$1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}=1^2-(\dfrac{1}{2})^2$,$1-\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{3}=1^2-(\dfrac{1}{3})^2······$由上面的方法,可知 $a^2-b^2=(a+b)×(a-b)$,将算式转化为$(a+b)×(a-b)$的形式,化简后即可算出得数。

7. 集合思想 如图,有一种半径为a cm的圆形餐垫。

(1)如图①,两张这样的餐垫部分重叠放在桌面上,如果它们盖住桌面的总面积是500 cm²,那么这两张餐垫重叠部分的面积是多少?(用含a的式子表示)
(2)如图②,三张这样的餐垫两两重叠放在桌面上,如果它们盖住桌面的总面积是b cm²,图中两个涂色部分的面积的和是c cm²,那么这三张餐垫共同重叠部分的面积是多少?(用含a、b、c的式子表示)

(1)$π a^2×2-500=(2π a^2-500)\mathrm{cm}^2$ 提示:已知圆形餐垫半径为 $a$ cm,根据圆的面积公式 $S=π r^2$(这里 $r=a$),可得一张圆形餐垫的面积是 $π a^2\mathrm{ cm}^2$,那么两张圆形餐垫的总面积就是 $2π a^2\mathrm{ cm}^2$。因为两张餐垫盖住桌面的总面积是 500 cm²,由于两张餐垫重叠部分的面积在计算两张餐垫总面积时被重复计算了一次,所以重叠部分面积为两张餐垫总面积减去盖住桌面的面积,即$(2π a^2-500)\mathrm{ cm}^2$。
(2)假设这三张餐垫共同重叠部分面积是 $m\mathrm{ cm}^2$
$3π a^2-c-2m=b$,则 $m=\dfrac{3π a^2-b-c}{2}$ 提示:一张圆形餐垫面积是 $π a^2\mathrm{ cm}^2$,三张圆形餐垫总面积为$3π a^2\mathrm{ cm}^2$。设三张餐垫共同重叠部分的面积为 $m\mathrm{ cm}^2$。观察题图可知,三张餐垫两两重叠,盖住桌面的总面积 $b\mathrm{ cm}^2$ 包含了所有部分,但其中涂色部分(面积和为 $c\mathrm{ cm}^2$)被多计算了一次,共同重叠部分 $m\mathrm{ cm}^2$ 被多计算了两次,由此可得到等式 $3π a^2-c-2m=b$。对这个等式进行变形求解得到 $m=\dfrac{3π a^2-b-c}{2}$。

8. 转化思想 乐乐在探索直角三角形三边关系时发现:直角三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方,例如:如图①, $AB^2 + BC^2 = AC^2$, 则 $AC^2 = 9 + 16 = 25$, 所以 $AC = 5$。

如果直角三角形 $ABC$ 中, $∠ ABC = 90°$, $AB = 12$, $BC = 5$, 回答下面的问题。
(1)若以 $AC$ 为边向外作正方形(如图②),则正方形的面积是()。
(2)若分别以 $AB$、$BC$、$AC$ 为边向外作半圆(如图③),三个半圆的面积之和是多少?
(3)如图④,请求出涂色部分的面积。

(1)169 提示:由题图可知,正方形的面积=$AC^2=AB^2+BC^2=12^2+5^2=169$。
(2)$\dfrac{1}{2}×3.14×[(12÷2)^2+(5÷2)^2+(13÷2)^2]=132.665$ 提示:由题图可知,三个半圆的面积之和$=\dfrac{1}{2}×3.14×[(12÷2)^2+(5÷2)^2+(13÷2)^2]=132.665$。
(3)$\dfrac{1}{2}×12×5=30$ 提示:由题图可知,涂色部分面积=三角形的面积+两个小半圆的面积和-大半圆的面积,又因为两个小半圆的面积和=大半圆的面积,所以涂色部分面积=三角形的面积$=\dfrac{1}{2}×12×5=30$。