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3. 〔分段计费问题〕某商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件售价60元，利润率为50%。
计算公式：利润率=$\frac{售价-进价}{进价}×100\%$
(1)每件A商品的利润率是(
(2)若该商场同时购进A、B两种商品共计40件，总进价为2200元，求购进A商品多少件。
(3)在元旦期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动，在促销期间，如果张叔叔一次性购买商品实际付款1044元，那么张叔叔所购商品优惠前的总金额是多少元？
计算公式：利润率=$\frac{售价-进价}{进价}×100\%$
(1)每件A商品的利润率是(
25
)%,每件B商品的进价为(40
)元。(2)若该商场同时购进A、B两种商品共计40件，总进价为2200元，求购进A商品多少件。
(3)在元旦期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动，在促销期间，如果张叔叔一次性购买商品实际付款1044元，那么张叔叔所购商品优惠前的总金额是多少元？
答案
(1)25 40 提示:根据题意可知,利润率=(售价-进价)÷进价×100%,A 商品每件进价80 元,售价 100 元,代入公式计算即可求出 A 商品的利润率:$(100-80)÷80×100\%=25\%$。B 商品每件的售价是 60 元,利润率是 50%,即(60-进价)÷进价×100%=50%,即 60-进价=50%×进价,所以进价=$60÷(1+50\%)=40$(元),即 B 商品的进价是 40 元。
(2)假设都是 A 商品
$80×40=3200$(元) $3200-2200=1000$(元)
B 商品:$1000÷(80-40)=25$(件)
A 商品:$40-25=15$(件)
提示:这是典型的“鸡兔同笼”问题,假设都是 A商品,根据单价×数量=总价,可得总价是$80×40=3200$(元)。而实际进价是 2200 元,这样就相差了$3200-2200=1000$(元),由于每件 A 商品比每件 B商品贵 $80-40=40$(元),所以 B 商品的件数是$1000÷40=25$(件),最后用购进的商品总数减去 B商品的件数,就是 A 商品的件数,即 $40-25=15$(件)。还可以假设购进的都是 B 商品,先求出购进的总价,再用实际的总价减去假设的总价,求出差,再用这个差除以两种商品的进价差,就是 A商品的件数。
(3)第一种情况:原购物金额超过 900 元,不超过1200 元 $1044÷(1-10\%)=1160$(元)
第二种情况:原购物金额超过 1200 元
$1200×(1-20\%)=960$(元)
$(1044-960)÷(1-30\%)=120$(元)
$1200+120=1320$(元)
所以张叔叔所购商品优惠前的总金额是 1160 元或 1320 元。 提示:根据题意,分两种情况进行讨论。第一种情况:原购物金额超过 900 元,但不超过 1200 元,所以原购物金额$×(1-10\%)=$实际付款 1044 元,据此求出原购物金额。第二种情况:原购物金额超过 1200 元,则先计算出 1200 元的部分需要实际付款的金额,再用总的实际付款金额 1044 元减去 1200 元部分实际付款的金额算出超过 1200 元的部分实际付款的金额,根据超过1200 元的部分金额$×(1-30\%)=$超过 1200 元的部分实际付款的金额,求出超过 1200 元的部分金额,再加上 1200 元就是张叔叔所购商品优惠前的总金额。
(2)假设都是 A 商品
$80×40=3200$(元) $3200-2200=1000$(元)
B 商品:$1000÷(80-40)=25$(件)
A 商品:$40-25=15$(件)
提示:这是典型的“鸡兔同笼”问题,假设都是 A商品,根据单价×数量=总价,可得总价是$80×40=3200$(元)。而实际进价是 2200 元,这样就相差了$3200-2200=1000$(元),由于每件 A 商品比每件 B商品贵 $80-40=40$(元),所以 B 商品的件数是$1000÷40=25$(件),最后用购进的商品总数减去 B商品的件数,就是 A 商品的件数,即 $40-25=15$(件)。还可以假设购进的都是 B 商品,先求出购进的总价,再用实际的总价减去假设的总价,求出差,再用这个差除以两种商品的进价差,就是 A商品的件数。
(3)第一种情况:原购物金额超过 900 元,不超过1200 元 $1044÷(1-10\%)=1160$(元)
第二种情况:原购物金额超过 1200 元
$1200×(1-20\%)=960$(元)
$(1044-960)÷(1-30\%)=120$(元)
$1200+120=1320$(元)
所以张叔叔所购商品优惠前的总金额是 1160 元或 1320 元。 提示:根据题意,分两种情况进行讨论。第一种情况:原购物金额超过 900 元,但不超过 1200 元,所以原购物金额$×(1-10\%)=$实际付款 1044 元,据此求出原购物金额。第二种情况:原购物金额超过 1200 元,则先计算出 1200 元的部分需要实际付款的金额,再用总的实际付款金额 1044 元减去 1200 元部分实际付款的金额算出超过 1200 元的部分实际付款的金额,根据超过1200 元的部分金额$×(1-30\%)=$超过 1200 元的部分实际付款的金额,求出超过 1200 元的部分金额,再加上 1200 元就是张叔叔所购商品优惠前的总金额。
4. 动点问题 如图，AB是圆O的一条直径，且AB=10 cm。C是圆O上一点，CD是三角形ABC的一条高。
(1)三角形ABC的面积最大是多少平方厘米？此时三角形ABC的形状是什么样的？
(2)假设点D从A点出发，在线段AB上匀速移动，那么符合点A和点C之间弧的长度变化的图像是(
(1)三角形ABC的面积最大是多少平方厘米？此时三角形ABC的形状是什么样的？
(2)假设点D从A点出发，在线段AB上匀速移动，那么符合点A和点C之间弧的长度变化的图像是(
A
)。答案
(1)$10×(10÷2)÷2=25(\mathrm{cm}^2)$ 等腰直角三角形
提示:AB 的长一定,则三角形的高最大时面积最大,此时三角形 ABC 为等腰直角三角形,底是 10 cm,高是 $10÷2=5(\mathrm{cm})$,根据三角形的面积计算公式计算面积即可。
(2)A 提示:当 D 点在 A 点时,弧长为 0,当 D点在 O 点上时,弧长为圆周长的$\dfrac{1}{4}$,当 D 点在 B点时,弧长为圆周长的$\dfrac{1}{2}$,当 D 点到圆心之前,弧长的变化速度由快到慢,当 D 点过圆心后又由慢到快,符合的图像是 A。
提示:AB 的长一定,则三角形的高最大时面积最大,此时三角形 ABC 为等腰直角三角形,底是 10 cm,高是 $10÷2=5(\mathrm{cm})$,根据三角形的面积计算公式计算面积即可。
(2)A 提示:当 D 点在 A 点时,弧长为 0,当 D点在 O 点上时,弧长为圆周长的$\dfrac{1}{4}$,当 D 点在 B点时,弧长为圆周长的$\dfrac{1}{2}$,当 D 点到圆心之前,弧长的变化速度由快到慢,当 D 点过圆心后又由慢到快,符合的图像是 A。
5. 推导证明问题 在一个半径为1的圆内，随意放置7个点，证明必有两个点之间的距离不超过1。
答案
如图,把圆平均分为六份,分两种情况。
情况一:1 点在圆心,剩下 6 点分别在六段圆弧的中点(或圆弧同样位置)上,存在两点距离为 1;
情况二:7 个点随机分在六个扇形里,由鸽巢原理,$7÷6=1$(个)$······1$(个),所以必有一个扇形至少有两个点,此两点间距离小于 1;
根据两种情况得出:在一个半径为 1 的圆内,随意放置 7 个点,必有两个点之间距离不超过 1,问题得证。 提示:可以通过画图分析,把圆平均分为六份,然后分析情况讨论。情况一:任意两个点之间的距离都是 1;情况二:根据抽屉原理,至少有两个点之间的距离小于 1,据此解答。
