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9. 推理意识 下图中的自然数是按一定规律排列的。6 的位置用有序数对(3,2)表示,15 的位置用有序数对(2,4)表示,70 的位置用有序数对(
9,6
)表示。答案
(9,6) 提示:由题图可知,第 1 列上的数都是某个数的平方,比如第 1 列第 4 行是 16,$16=4^2$,1 到 16这 16 个数正好排成 4 行 4 列,组成一个正方形。$70=8×8+6$,说明 70 是在第 9 列第 6 行的位置。
10.（几何直观）在现代科技中，数学的应用也是无处不在，如上面飞行器中的数学问题。飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道分别是以点O和点O'为圆心的两个圆形轨道（如图）。已知飞行器甲的飞行速度为40千米/分，飞行器乙的飞行速度为20千米/分，某行星在B点（假定不动），弧BC与弧AC的长度差为3600 km。早上9:00飞行器甲准时发射，此时飞行器乙正好在A点，要求在C点处对接。
（1）请你计算两个飞行器在几时对接。
（2）飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数）
（1）请你计算两个飞行器在几时对接。
（2）飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数）
答案
(1)$3600÷(40-20)=180$(分钟)
180 分钟=3 小时
9 时+3 小时=12 时
(2)弧 BC 的长度:$40×180=7200(\mathrm{km})$
弧 AC 的长度:$20×180=3600(\mathrm{km})$
飞行器甲运行一圈长:$7200÷\dfrac{3}{4}=9600(\mathrm{km})$
飞行器甲的发射轨道的半径:$9600÷3.14÷2\approx1529(\mathrm{km})$
飞行器乙运行一圈长:$3600÷\dfrac{1}{4}=14400(\mathrm{km})$
飞行器乙的运行轨道的半径:$14400÷3.14÷2\approx2293(\mathrm{km})$ 提示:(1)已知飞行器甲、乙的飞行速度分别是 40 千米/分、20 千米/分,弧 BC 与弧 AC 的长度差为 3600 km,即两个飞行器在 C 点处对接时飞行的路程差是 3600 km,根据追及时间=路程差÷速度差,求出两个飞行器从出发到对接所需的时间,再加上发射的时刻,即可求出两个飞行器的对接时刻。注意单位的换算:1 小时=60 分钟。
(2)先根据“速度×时间=路程”分别求出对接时飞行器甲、乙飞行的路程,即弧 BC 与弧 AC 的长度;从题图中可知,弧 BC 的长度占它所在圆周长的$\dfrac{3}{4}$,弧 AC 的长度占它所在圆周长的$\dfrac{1}{4}$,分别把两个圆的周长看作单位“1”,单位“1”未知,根据分数除法的意义求出两个圆的周长:由圆的周长公式 $C=2π r$,可知 $r=C÷π÷2$,据此求出飞行器甲的发射轨道的半径与飞行器乙的运行轨道的半径。
180 分钟=3 小时
9 时+3 小时=12 时
(2)弧 BC 的长度:$40×180=7200(\mathrm{km})$
弧 AC 的长度:$20×180=3600(\mathrm{km})$
飞行器甲运行一圈长:$7200÷\dfrac{3}{4}=9600(\mathrm{km})$
飞行器甲的发射轨道的半径:$9600÷3.14÷2\approx1529(\mathrm{km})$
飞行器乙运行一圈长:$3600÷\dfrac{1}{4}=14400(\mathrm{km})$
飞行器乙的运行轨道的半径:$14400÷3.14÷2\approx2293(\mathrm{km})$ 提示:(1)已知飞行器甲、乙的飞行速度分别是 40 千米/分、20 千米/分,弧 BC 与弧 AC 的长度差为 3600 km,即两个飞行器在 C 点处对接时飞行的路程差是 3600 km,根据追及时间=路程差÷速度差,求出两个飞行器从出发到对接所需的时间,再加上发射的时刻,即可求出两个飞行器的对接时刻。注意单位的换算:1 小时=60 分钟。
(2)先根据“速度×时间=路程”分别求出对接时飞行器甲、乙飞行的路程,即弧 BC 与弧 AC 的长度;从题图中可知,弧 BC 的长度占它所在圆周长的$\dfrac{3}{4}$,弧 AC 的长度占它所在圆周长的$\dfrac{1}{4}$,分别把两个圆的周长看作单位“1”,单位“1”未知,根据分数除法的意义求出两个圆的周长:由圆的周长公式 $C=2π r$,可知 $r=C÷π÷2$,据此求出飞行器甲的发射轨道的半径与飞行器乙的运行轨道的半径。
11. 模型意识 如图,两个圆只有一个公共点C,大圆直径AC为36 cm,小圆直径BC为27 cm。甲、乙两只蚂蚁同时从点C出发,甲蚂蚁以每秒0.6π cm的速度沿着大圆圆周顺时针爬行,乙蚂蚁以同样的速度沿着小圆圆周顺时针爬行。
(1)(
① BC上方 ② BC下方 ③ B点
(2)当乙蚂蚁第一次回到C点时,甲蚂蚁是否已经经过A点?距A点的圆上距离是多少厘米?(计算结果保留π)
(3)$t_1$秒后,甲、乙两只蚂蚁第$n$次相遇,用含$n$的式子表示$t_1$和甲蚂蚁此时爬完的圈数$m$。
(4)$t_2$秒后,甲、乙两只蚂蚁第$n$次相距最远,用含$n$的式子表示$t_2$。
(1)(
60
)秒后,甲蚂蚁第一次回到C点,此时乙蚂蚁在(②
)(填序号)。① BC上方 ② BC下方 ③ B点
(2)当乙蚂蚁第一次回到C点时,甲蚂蚁是否已经经过A点?距A点的圆上距离是多少厘米?(计算结果保留π)
(3)$t_1$秒后,甲、乙两只蚂蚁第$n$次相遇,用含$n$的式子表示$t_1$和甲蚂蚁此时爬完的圈数$m$。
(4)$t_2$秒后,甲、乙两只蚂蚁第$n$次相距最远,用含$n$的式子表示$t_2$。
答案
(1)60 ② 提示:根据圆的周长公式 $C=π d$,求出大圆的周长,再根据时间=路程÷速度,用大圆的周长除以甲蚂蚁的速度,即 $36π÷(0.6π)=60$(秒)。60 秒时,乙蚂蚁爬的路程也是 $36π\mathrm{ cm}$,小圆的周长是 $27π$,$36π÷(27π)=\dfrac{4}{3}$(圈),即乙蚂蚁在 BC 下方。
(2)$36π÷2=18π(\mathrm{cm})$
$18π＜27π$
$27π-18π=9π(\mathrm{cm})$
已经经过 A 点,距 A 点的圆上距离是 $9π\mathrm{ cm}$。
提示:从 C 点到 A 点,是大圆周长的一半,大圆周长的一半是 $36π÷2=18π(\mathrm{cm})$,小圆的周长是$27π\mathrm{ cm}$,因为 $27π＞18π$,所以甲蚂蚁已经经过A 点,距 A 点的圆上距离为已爬行的距离减去大圆周长的一半,即 $27π-18π=9π(\mathrm{cm})$。
(3)$36π÷(0.6π)=60$(秒)
$27π÷(0.6π)=45$(秒)
60 和 45 的最小公倍数是 180,也就是第一次相遇用时 180 秒,第 $n$ 次相遇用时 $t_1=180n$ 秒,
$m=180n÷60=3n$(圈)
提示:大圆直径 36 cm,周长是 $36π\mathrm{ cm}$,甲蚂蚁速度是每秒 $0.6π\mathrm{ cm}$,所以甲蚂蚁爬完大圆一圈用时$36π÷(0.6π)=60$(秒);小圆直径 27 cm,周长是$27π\mathrm{ cm}$,乙蚂蚁爬完小圆一圈用时 $27π÷(0.6π)=45$(秒)。两个圆只有一个公共点 C,所以两只蚂蚁要再次相遇,只能是同时回到 C 点。60 和 45 的最小公倍数是 180,所以第一次相遇是 180 秒,此后每隔 180 秒甲、乙两只蚂蚁会再次相遇,所以甲、乙两只蚂蚁第 $n$ 次相遇时,$t_1=180n$ 秒。此时甲蚂蚁爬完的圈数为 $m=180n÷60=3n$(圈)。
(4)当甲蚂蚁爬到 A 点,乙蚂蚁爬到 C 点时,两只蚂蚁相距最远。
$36π÷2=18π(\mathrm{cm})$
18 和 27 的最小公倍数是 54,且 54 正好是 18 的奇数倍,
从出发到第一次相距最远所用时间:$54π÷(0.6π)=90$(秒),
第一次相距最远到第二次相距最远所用时间:$54π×2÷(0.6π)=180$(秒),
$t_2=90+180×(n-1)=(180n-90)$秒。
提示:当两只蚂蚁分别在直径的两端,即甲蚂蚁爬到 A 点,乙蚂蚁爬到 C 点时,两只蚂蚁相距最远。甲蚂蚁爬奇数个 $36π÷2=18π(\mathrm{cm})$ 时,在 A点,乙蚂蚁从 C 点出发,则每爬完 $27π\mathrm{ cm}$ 都在 C点。由于 18 和 27 的最小公倍数是 54,$54÷18=3$,正好是 18 的奇数倍,所以从出发到第一次相距最远所需的时间为 $54π÷(0.6π)=90$(秒),进而可知第一次相距最远到第二次相距最远所用时间为 $54π×2÷(0.6π)=180$(秒),甲、乙两只蚂蚁第 $n$ 次相距最远时,$t_2=90+180×(n-1)=(180n-90)$秒。
(2)$36π÷2=18π(\mathrm{cm})$
$18π＜27π$
$27π-18π=9π(\mathrm{cm})$
已经经过 A 点,距 A 点的圆上距离是 $9π\mathrm{ cm}$。
提示:从 C 点到 A 点,是大圆周长的一半,大圆周长的一半是 $36π÷2=18π(\mathrm{cm})$,小圆的周长是$27π\mathrm{ cm}$,因为 $27π＞18π$,所以甲蚂蚁已经经过A 点,距 A 点的圆上距离为已爬行的距离减去大圆周长的一半,即 $27π-18π=9π(\mathrm{cm})$。
(3)$36π÷(0.6π)=60$(秒)
$27π÷(0.6π)=45$(秒)
60 和 45 的最小公倍数是 180,也就是第一次相遇用时 180 秒,第 $n$ 次相遇用时 $t_1=180n$ 秒,
$m=180n÷60=3n$(圈)
提示:大圆直径 36 cm,周长是 $36π\mathrm{ cm}$,甲蚂蚁速度是每秒 $0.6π\mathrm{ cm}$,所以甲蚂蚁爬完大圆一圈用时$36π÷(0.6π)=60$(秒);小圆直径 27 cm,周长是$27π\mathrm{ cm}$,乙蚂蚁爬完小圆一圈用时 $27π÷(0.6π)=45$(秒)。两个圆只有一个公共点 C,所以两只蚂蚁要再次相遇,只能是同时回到 C 点。60 和 45 的最小公倍数是 180,所以第一次相遇是 180 秒,此后每隔 180 秒甲、乙两只蚂蚁会再次相遇,所以甲、乙两只蚂蚁第 $n$ 次相遇时,$t_1=180n$ 秒。此时甲蚂蚁爬完的圈数为 $m=180n÷60=3n$(圈)。
(4)当甲蚂蚁爬到 A 点,乙蚂蚁爬到 C 点时,两只蚂蚁相距最远。
$36π÷2=18π(\mathrm{cm})$
18 和 27 的最小公倍数是 54,且 54 正好是 18 的奇数倍,
从出发到第一次相距最远所用时间:$54π÷(0.6π)=90$(秒),
第一次相距最远到第二次相距最远所用时间:$54π×2÷(0.6π)=180$(秒),
$t_2=90+180×(n-1)=(180n-90)$秒。
提示:当两只蚂蚁分别在直径的两端,即甲蚂蚁爬到 A 点,乙蚂蚁爬到 C 点时,两只蚂蚁相距最远。甲蚂蚁爬奇数个 $36π÷2=18π(\mathrm{cm})$ 时,在 A点,乙蚂蚁从 C 点出发,则每爬完 $27π\mathrm{ cm}$ 都在 C点。由于 18 和 27 的最小公倍数是 54,$54÷18=3$,正好是 18 的奇数倍,所以从出发到第一次相距最远所需的时间为 $54π÷(0.6π)=90$(秒),进而可知第一次相距最远到第二次相距最远所用时间为 $54π×2÷(0.6π)=180$(秒),甲、乙两只蚂蚁第 $n$ 次相距最远时,$t_2=90+180×(n-1)=(180n-90)$秒。
