1. 切线长定义
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间，叫作这点到圆的切线长。

1. 线段的长

2. 切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长，并且这一点和圆心的连线两条切线的夹角。

2. 相等 平分

典例 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，切点分别是A，B，Q为$\overset{\frown}{AB}$上一点.过点Q作$\odot O$的切线，分别交PA，PB于E，F两点.已知$PA=12\ \mathrm{cm}$，$∠ P=56°$.
(1)求$△ PEF$的周长；
(2)求$∠ EOF$的度数.

温馨提示 切线长定理包含两个方面：一是从圆外一点引的这两条切线的切线长相等；二是这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长相等可以判定两条线段相等，连线平分夹角可以证明角相等或求角的度数.

解：
(1) ∵ PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴ PA = PB = 12 cm。
∵ EA，EQ是⊙O的切线，切点分别为A，Q，
∴ EA = EQ。
同理可得：FQ = FB。
∴ △PEF的周长 = PE + EF + PF
= PE + EQ + FQ + PF
= PE + EA + FB + PF
= PA + PB
= 12 + 12 = 24(cm)。
(2) ∵ PA，PB是⊙O的切线，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，
∴ ∠OAP = ∠OBP = 90°。
在四边形OAPB中，
∠AOB = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠P
= 360° - 90° - 90° - 56° = 124°。
∵ EA，EQ是⊙O的切线，
∴ OE平分∠AOQ，即∠EOQ = $\frac{1}{2}$∠AOQ。
同理可得：OF平分∠BOQ，即∠FOQ = $\frac{1}{2}$∠BOQ。
∴ ∠EOF = ∠EOQ + ∠FOQ
= $\frac{1}{2}$(∠AOQ + ∠BOQ)
= $\frac{1}{2}$∠AOB
= $\frac{1}{2}$ × 124° = 62°。
综上，(1)△PEF的周长为24 cm；(2)∠EOF的度数为62°。

举一反三 如图，，BC是⊙O的直径，直线l是过点C的切线，切点为C，N是⊙O上的一点，直线BN交l于点M，过点N的切线交l于点P，切点为N.求证:PM=PN.

证明 如图,连接CN.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BNC=90°,
∴∠NCM + ∠NMC = 90°, ∠PNC + ∠PNM=90°.
∵PC,PN是⊙O的切线,
∴PC=PN,
∴∠PCN=∠PNC.
∵∠PCN+∠PMN=∠PNC+∠PNM=90°,
∴∠PNM=∠PMN,
∴PM=PN.