9. 如图，木工用角尺的短边紧靠$\odot O$于点A，长边与$\odot O$相切于点B，角尺的直角顶点为C.
已知$AC=6\ \mathrm{cm}$，$CB=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为 $\mathrm{cm}$.

9. $\frac{25}{3}$ 解析 如图,连接 OA,OB,过点 A 作 AD⊥OB 于点 D.
∵角尺长边与⊙O 相切于点B，
∴OB⊥BC.
∵AC⊥BC,AD⊥OB，
∴四边形 ACBD 为矩形，
∴BD=AC=6 cm,AD=BC=8 cm.
设⊙O 的半径为r cm,则OA=OB=r cm，
∴OD=OB−BD=(r−6)cm.
在Rt△OAD 中,AD²+OD²=OA²,即8²+(r−6)²=r²,解得r=$\frac{25}{3}$.
故⊙O 的半径为$\frac{25}{3}$ cm.

10. 如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC，BC于点M，N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E.
(1)求证：ME是⊙O的切线；
(2)若CD=5，AC=8，求ME的长.

10. (1)证明 如图1,连接OM.
∵∠ACB=90°,D 为斜边的中点，
∴ CD = DA = DB=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠ACD=∠A.
∵OC=OM,
∴∠ACD=∠OMC，
∴∠OMC=∠A,
∴OM//AB.
∵ME⊥AB,
∴ME⊥OM.
∵OM 为⊙O 的半径,
∴ME 为⊙O 的切线.
(2)解 如图2,连接 DM.
∵CD=5,∠ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的中线，
∴BD=CD=AD=5.
∵CD 为直径，
∴∠CMD=90°,
∴AM=CM=4，
∴DM=$\sqrt{CD²−CM²}$=3.
∵S△ADM=$\frac{1}{2}$AM·DM=$\frac{1}{2}$AD·ME，
∴ME=$\frac{AM·DM}{AD}$=$\frac{4×3}{5}$=2.4.

11. 如图,已知直线 PA 交$\odot O$于 A,B 两点,AE是$\odot O$的直径,C为$\odot O$上一点,且 AC平分$∠PAE$,过点 C 作$CD⊥PA$,垂足为 D.
(1)求证:CD为$\odot O$的切线;
(2)若$DC+DA=6,\odot O$的直径为 10,求 AB 的长度.

11. (1)证明 如图,连接 OC.
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC.
∵AC 平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA,
∴PB//OC.
∵CD⊥PA,
∴CD⊥OC.
又 CO 为⊙O 的半径，
∴CD 为⊙O 的切线.
(2)解 如图,过点 O 作OF⊥AB,垂足为 F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形 DCOF 为矩形，
∴OC=FD,OF=CD.
∵DC+DA=6，
设 AD=x,则 OF=CD=6−x.
∵⊙O 的直径为 10，
∴DF=OC=5,
∴AF=5−x.
在Rt△AOF 中,由勾股定理,得 AF²+OF²=OA²,即(5−x)²+(6−x)²=25,化简得x²−11x+18=0,解得x₁=2,x₂=9(舍去)，
∴x=2,从而 AD=2,AF=5−2=3.
∵OF⊥AB,由垂径定理知,F 为 AB 的中点，
∴AB=2AF=6.