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1. 在下列式子中，与$\dfrac{-x}{x-1}$不相等的是（）
A.$-\dfrac{x}{x-1}$
B.$\dfrac{x}{1-x}$
C.$-\dfrac{-x}{1-x}$
D.$-\dfrac{x}{1-x}$
A.$-\dfrac{x}{x-1}$
B.$\dfrac{x}{1-x}$
C.$-\dfrac{-x}{1-x}$
D.$-\dfrac{x}{1-x}$
答案
D
解析
根据分式符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变任意两个，分式的值不变，逐一化简各选项：
1. 选项A：$-\frac{x}{x-1}=\frac{-x}{x-1}$，与原式相等；
2. 选项B：$\frac{x}{1-x}=\frac{x}{-(x-1)}=\frac{-x}{x-1}$，与原式相等；
3. 选项C：$-\frac{-x}{1-x}=\frac{x}{1-x}=\frac{x}{-(x-1)}=\frac{-x}{x-1}$，与原式相等；
4. 选项D：$-\frac{x}{1-x}=-\frac{x}{-(x-1)}=\frac{x}{x-1}$，与原式$\frac{-x}{x-1}$不相等。
1. 选项A：$-\frac{x}{x-1}=\frac{-x}{x-1}$，与原式相等；
2. 选项B：$\frac{x}{1-x}=\frac{x}{-(x-1)}=\frac{-x}{x-1}$，与原式相等；
3. 选项C：$-\frac{-x}{1-x}=\frac{x}{1-x}=\frac{x}{-(x-1)}=\frac{-x}{x-1}$，与原式相等；
4. 选项D：$-\frac{x}{1-x}=-\frac{x}{-(x-1)}=\frac{x}{x-1}$，与原式$\frac{-x}{x-1}$不相等。
2. 如果把分式$\frac{3xy}{x-y}$中的$x$和$y$都扩大为原来的3倍，那么分式的值（）
A.不变
B.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
D.扩大为原来的9倍
A.不变
B.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
D.扩大为原来的9倍
答案
B
解析
将分式中的x和y都替换为3x、3y，得到新分式：$\frac{3·(3x)·(3y)}{3x - 3y}$，化简得$\frac{27xy}{3(x-y)}=\frac{9xy}{x-y}=3·\frac{3xy}{x-y}$，可知新分式的值是原分式值的3倍，即分式的值扩大为原来的3倍。
3. 若$a≠b$，则下列分式化简正确的是（）
A.$\frac{a+2}{b+2}=\frac{a}{b}$
B.$\frac{a-2}{b-2}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}$
A.$\frac{a+2}{b+2}=\frac{a}{b}$
B.$\frac{a-2}{b-2}=\frac{a}{b}$
C.$\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}$
答案
C
解析
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一判断：
选项A：分子分母同时加2，不符合分式基本性质，等式不成立；
选项B：分子分母同时减2，不符合分式基本性质，等式不成立；
选项C：分子分母同时除以不为0的数2，符合分式基本性质，等式成立；
选项D：a²/b²是分子分母分别平方，不符合分式基本性质，等式不成立。
综上，化简正确的是选项C。
选项A：分子分母同时加2，不符合分式基本性质，等式不成立；
选项B：分子分母同时减2，不符合分式基本性质，等式不成立；
选项C：分子分母同时除以不为0的数2，符合分式基本性质，等式成立；
选项D：a²/b²是分子分母分别平方，不符合分式基本性质，等式不成立。
综上，化简正确的是选项C。
4. 若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a}{a+b}=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$
解析
解：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，
∴ 设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），
将$a=2k$，$b=3k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{2k}{2k+3k}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$。
最终
∵ $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，
∴ 设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），
将$a=2k$，$b=3k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{2k}{2k+3k}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$。
最终
5. 约分$\frac{2x^2y + 2xy^2}{6x^2y^2} = \frac{x + y}{(\quad)}$，括号内应填（）
A.$6xy$
B.$3y$
C.$3xy$
D.$3x$
A.$6xy$
B.$3y$
C.$3xy$
D.$3x$
答案
C
解析
先对分子因式分解：$2x^2y + 2xy^2 = 2xy(x+y)$，原分式可改写为$\frac{2xy(x+y)}{6x^2y^2}$，分子分母同时约去公因式$2xy$，可得$\frac{x+y}{3xy}$，因此括号内应填$3xy$。
6. 若分式$\frac{(x-1)(x+2)}{(x^2 - A)x}$可以进行约分，则该分式中的A不可以是（）
A.1
B.x
C.$-x$
D.4
A.1
B.x
C.$-x$
D.4
答案
C
解析
分式可约分的条件是分子、分母含有公因式，分子因式为$(x-1)$、$(x+2)$，逐一分析选项：
1. 当$A=1$时，$x^2-A=x^2-1=(x-1)(x+1)$，分母含公因式$(x-1)$，可约分；
2. 当$A=x$时，$x^2-A=x^2-x=x(x-1)$，分母含公因式$(x-1)$，可约分；
3. 当$A=-x$时，$x^2-A=x^2+x=x(x+1)$，分子因式$(x-1)$、$(x+2)$与分母因式$x$、$(x+1)$无公共因式，无法约分；
4. 当$A=4$时，$x^2-A=x^2-4=(x+2)(x-2)$，分母含公因式$(x+2)$，可约分。
因此A不可以是$-x$。
1. 当$A=1$时，$x^2-A=x^2-1=(x-1)(x+1)$，分母含公因式$(x-1)$，可约分；
2. 当$A=x$时，$x^2-A=x^2-x=x(x-1)$，分母含公因式$(x-1)$，可约分；
3. 当$A=-x$时，$x^2-A=x^2+x=x(x+1)$，分子因式$(x-1)$、$(x+2)$与分母因式$x$、$(x+1)$无公共因式，无法约分；
4. 当$A=4$时，$x^2-A=x^2-4=(x+2)(x-2)$，分母含公因式$(x+2)$，可约分。
因此A不可以是$-x$。
7. 约分：
(1) $\frac{-10mn^2}{15m^2n} =$ ；
(2) $\frac{x^2 - x}{x^2 - 2x + 1} =$ 。
(1) $\frac{-10mn^2}{15m^2n} =$ ；
(2) $\frac{x^2 - x}{x^2 - 2x + 1} =$ 。
答案
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{2n}{3m}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{x}{x-1}}$
解析
解：
(1) 原式$=\frac{-5mn · 2n}{5mn · 3m}=-\frac{2n}{3m}$
(2) 原式$=\frac{x(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{x}{x-1}$
最终
(1) 原式$=\frac{-5mn · 2n}{5mn · 3m}=-\frac{2n}{3m}$
(2) 原式$=\frac{x(x-1)}{(x-1)^2}=\frac{x}{x-1}$
最终
8. 对分式$\frac{1}{a-b}$与$\frac{1}{a+b}$通分以后，$\frac{1}{a+b}$的结果是（）
A.$\frac{a+b}{a^2 - b^2}$
B.$\frac{a - b}{a^2 - b^2}$
C.$\frac{a+b}{(a+b)^2}$
D.$\frac{(a+b)(a - b)}{(a^2 - b^2)^2}$
A.$\frac{a+b}{a^2 - b^2}$
B.$\frac{a - b}{a^2 - b^2}$
C.$\frac{a+b}{(a+b)^2}$
D.$\frac{(a+b)(a - b)}{(a^2 - b^2)^2}$
答案
B
解析
先确定两个分式的最简公分母：分式$\frac{1}{a-b}$和$\frac{1}{a+b}$的分母分别为$a-b$、$a+b$，因此最简公分母是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。将$\frac{1}{a+b}$的分子、分母同时乘$(a-b)$，可得$\frac{1×(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a-b}{a^2-b^2}$。
9. 把$\frac{4}{3a^2b}$与$\frac{a-b}{ab^2c}$通分，下列计算正确的是（）
答案
$\boxed{B}$
解析
解：
先确定两个分式的最简公分母：
分式$\frac{4}{3a^2b}$的分母是$3a^2b$，分式$\frac{a-b}{ab^2c}$的分母是$ab^2c$，因此最简公分母为$3a^2b^2c$。
对$\frac{4}{3a^2b}$通分：
$\frac{4}{3a^2b} = \frac{4 · bc}{3a^2b · bc} = \frac{4bc}{3a^2b^2c}$
对$\frac{a-b}{ab^2c}$通分：
$\frac{a-b}{ab^2c} = \frac{(a-b) · 3a}{ab^2c · 3a} = \frac{3a^2 - 3ab}{3a^2b^2c}$
因此计算正确的是选项B。
先确定两个分式的最简公分母：
分式$\frac{4}{3a^2b}$的分母是$3a^2b$，分式$\frac{a-b}{ab^2c}$的分母是$ab^2c$，因此最简公分母为$3a^2b^2c$。
对$\frac{4}{3a^2b}$通分：
$\frac{4}{3a^2b} = \frac{4 · bc}{3a^2b · bc} = \frac{4bc}{3a^2b^2c}$
对$\frac{a-b}{ab^2c}$通分：
$\frac{a-b}{ab^2c} = \frac{(a-b) · 3a}{ab^2c · 3a} = \frac{3a^2 - 3ab}{3a^2b^2c}$
因此计算正确的是选项B。
10. 通分：
(1) $\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{5}{6b^2c}$；
(2) $\frac{1}{a-b}$与$\frac{ab}{a^2 - b^2}$。
(1) $\frac{3}{4a^2b}$与$\frac{5}{6b^2c}$；
(2) $\frac{1}{a-b}$与$\frac{ab}{a^2 - b^2}$。
答案
解：
(1) 两个分式的最简公分母是$12a^2b^2c$。
$\frac{3}{4a^2b} = \frac{3 · 3bc}{4a^2b · 3bc} = \frac{9bc}{12a^2b^2c}$，
$\frac{5}{6b^2c} = \frac{5 · 2a^2}{6b^2c · 2a^2} = \frac{10a^2}{12a^2b^2c}$。
(2) 对分母因式分解得$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，两个分式的最简公分母是$(a+b)(a-b)$，即$a^2 - b^2$。
$\frac{1}{a-b} = \frac{1 · (a+b)}{(a-b) · (a+b)} = \frac{a+b}{a^2 - b^2}$，
$\frac{ab}{a^2 - b^2} = \frac{ab}{a^2 - b^2}$。
(1) 两个分式的最简公分母是$12a^2b^2c$。
$\frac{3}{4a^2b} = \frac{3 · 3bc}{4a^2b · 3bc} = \frac{9bc}{12a^2b^2c}$，
$\frac{5}{6b^2c} = \frac{5 · 2a^2}{6b^2c · 2a^2} = \frac{10a^2}{12a^2b^2c}$。
(2) 对分母因式分解得$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，两个分式的最简公分母是$(a+b)(a-b)$，即$a^2 - b^2$。
$\frac{1}{a-b} = \frac{1 · (a+b)}{(a-b) · (a+b)} = \frac{a+b}{a^2 - b^2}$，
$\frac{ab}{a^2 - b^2} = \frac{ab}{a^2 - b^2}$。
