知识点一 分式的乘法与除法
1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的________，分母的积作为积的________. 用式子表示为$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \_\_\_\_\_\_$.
2. 分式的除法法则：分式除以分式，把________的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 用式子表示为$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$.
例1 计算：$\frac{x}{a+1} · \frac{a^2 -1}{2x}$.
解 $\frac{x}{a+1} · \frac{a^2 -1}{2x} = \frac{x}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{2x} = \frac{a-1}{2}$.

1. 分子，分母，$\frac{ac}{bd}$
2. 除式，$\frac{d}{c}$，$\frac{ad}{bc}$

例2 若$\frac{x^2 +1}{x-6} ÷ \frac{x^3 +x}{□}$计算的结果为整式，则“”中的式子可能是（）

A.$\frac{1}{x^2 -6}$
B.$x^2 -6$
C.$x^2 -6x$
D.$x-6$
解析 设“”中的式子为$M$，
原式$=\frac{x^2 +1}{x-6} · \frac{M}{x(x^2 +1)} = \frac{M}{x(x-6)}$，所以当$M=x^2 -6x =x(x-6)$时，原式$=\frac{x(x-6)}{x(x-6)}=1$，结果为整式。
答案 C

答案 C
解析 设“”中的式子为$M$，原式$=\frac{x^2 +1}{x-6} · \frac{M}{x(x^2 +1)} = \frac{M}{x(x-6)}$，所以当$M=x^2 -6x =x(x-6)$时，原式$=\frac{x(x-6)}{x(x-6)}=1$，结果为整式。

例3 甲瓶盐水含盐量（含盐量=盐的克数÷盐水的克数）为$\frac{1}{m}$，乙瓶盐水含盐量为$\frac{1}{n}$，从甲、乙两瓶中各取质量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（）

$\boldsymbol{\frac{m+n}{2mn}}$

解：
设从甲、乙两瓶中各取质量为$a$克的盐水。
从甲瓶取出的盐的质量为：$a · \frac{1}{m} = \frac{a}{m}$ 克，
从乙瓶取出的盐的质量为：$a · \frac{1}{n} = \frac{a}{n}$ 克，
混合后新盐水中盐的总质量为：$\frac{a}{m} + \frac{a}{n} = \frac{a(m+n)}{mn}$ 克，
混合后新盐水的总质量为：$a + a = 2a$ 克，
因此新盐水的含盐量为：
$\frac{\frac{a(m+n)}{mn}}{2a} = \frac{a(m+n)}{mn} · \frac{1}{2a} = \frac{m+n}{2mn}$
最终