1. 计算$\tan 60° + 2\sin 45° - 2\cos 30°$的结果是()

A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1

1. C

【分析】
要解这道计算题，首先需要准确记忆30°、45°、60°这类特殊角的三角函数值，再将对应值代入原式，按照先乘除后加减的顺序计算，最后合并同类二次根式就能得到结果。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：$\tan 60°=\sqrt{3}$，$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{3} + 2×\frac{\sqrt{2}}{2} - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对特殊角三角函数值的掌握程度，计算时注意做好二次根式的化简，只要准确记忆三角函数值、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

2. ，A,B,C是$\odot O$上的三点.若$△ OBC$是等边三角形，则$\cos A =$ .

2. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

【分析】
解题时先从已知条件△OBC是等边三角形入手，首先可得到圆心角∠BOC的度数；再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出圆周角∠A的度数；最后代入特殊角的余弦值即可得到结果。
【解析】
解：
∵△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵∠A和∠BOC都是弧BC所对的角，∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$\cos A=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础综合题，将圆的性质与三角函数结合考查，解题的核心是正确运用圆周角定理求得∠A的度数，只要熟记相关性质和特殊角的三角函数值就能快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 已知$\sqrt{(\sinα - \dfrac{1}{2})^2} = \dfrac{1}{2} - \sinα$，则锐角$α$的取值范围是。

3. $30° ≤ α ＜ 90°$

4. 若锐角$x$满足$\tan^2 x - (\sqrt{3} + 1)\tan x + \sqrt{3} = 0$,则$x=$.

4. $45°$或$60°$

【分析】
本题是一元二次方程与锐角三角函数结合的基础题，解题思路分为两步：第一步，把$\tan x$看作整体，求解关于$\tan x$的一元二次方程，可通过十字相乘法因式分解快速求解，也可用求根公式计算；第二步，结合$x$是锐角的条件，根据特殊角的正切值，对应得到$x$的度数。
【解析】
首先对给定的方程进行因式分解：
原方程$\tan^2 x - (\sqrt{3} + 1)\tan x + \sqrt{3} = 0$，用十字相乘法可变形为：
$(\tan x - 1)(\tan x - \sqrt{3}) = 0$
由此可得两个解：
$\tan x = 1$ 或 $\tan x = \sqrt{3}$
已知$x$是锐角，根据特殊角的正切值：
$\tan45° = 1$，$\tan60° = \sqrt{3}$
因此$x = 45°$或$x = 60°$
【答案】
$45°$或$60°$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 特殊角的正切值
3. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是将$\tan x$作为整体求解一元二次方程，再结合锐角范围匹配特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8

5. 等腰三角形的底边长 20 cm, 面积为 $\frac{100}{3}\sqrt{3}$ cm², 求它的各内角的度数.

解：设等腰三角形为△ABC，AB=AC，BC=20cm，过点A作AD⊥BC于点D，则BD=10cm。
由面积公式$S=\frac{1}{2} · BC · AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，代入得$AD=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
在Rt△ABD中，$\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，得∠B=∠C=30°，因此顶角∠BAC=180°-30°-30°=120°。
该等腰三角形三个内角分别为30°、30°、120°。

【分析】
要解决等腰三角形求内角度数的问题，首先结合已知条件思考：已知底边长和面积，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶角顶点作底边的高，一方面可以借助面积公式求出高的长度，另一方面可以构造出直角三角形，将求等腰三角形底角的问题转化为求直角三角形内角的问题，再通过特殊角的三角函数值确定底角度数，最后利用三角形内角和求出顶角即可。
【解析】
设等腰三角形为△ABC，AB=AC，BC=20cm，过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=10\mathrm{cm}$。
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2} · BC · AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，将BC=20代入得：
$\frac{1}{2} × 20 × AD = \frac{100\sqrt{3}}{3}$，解得$AD=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
在Rt△ABD中，$\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠B=30°。
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°，
∴顶角$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-30°=120°$。
【答案】
该等腰三角形的三个内角度数分别为30°、30°、120°。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形面积计算；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是等腰三角形与三角函数的基础综合题，解题的核心是通过作高构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中利用三角函数求解，解题时需熟练掌握特殊角的三角函数值，才能快速根据三角函数值对应得到角度。
【难度系数】
0.7

1. $\sin 45° + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 的值等于()

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

1. B

【分析】
解题时首先回忆特殊锐角的三角函数值，明确sin45°的具体数值，再将其代入原式，合并同类二次根式得到计算结果，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知：$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
将其代入原式得：
$\sin 45° + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及简单的二次根式计算，熟练掌握常见特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.9

2. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B$都是锐角，且$\sin A = \frac{1}{2},\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则$△ ABC$是()

A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.无法确定

2. B

【分析】
解题时首先明确已知条件：∠A、∠B均为锐角，且给出了二者的三角函数值。我们先结合特殊锐角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再利用三角形内角和为180°计算出第三个角∠C的度数，最后根据最大内角的类型判断三角形的形状即可。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，$\sin A=\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∵∠B是锐角，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠B=30°，
根据三角形内角和定理，$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-30°=120°$，
∵120°是钝角，
∴△ABC是钝角三角形。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握30°、45°、60°等特殊锐角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速判断三角形类型。
【难度系数】
0.8

3. $△ ABC$在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1),$AD ⊥ BC$于点$D$,下列选项中错误的是()

A.$\sin α = \cos α$
B.$\tan C = 2$
C.$\sin β = \cos β$
D.$\tan α = 1$

3. C

【分析】
要判断各选项的正误，首先结合网格和AD⊥BC的条件，确定Rt△ABD和Rt△ACD的各直角边长度，再根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，分别计算每个选项中的三角函数值，对比判断即可得出错误的选项。
【解析】
已知每个小正方形边长为1，AD⊥BC，可得：
BD=2，AD=2，DC=1，
在Rt△ABD中，$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
在Rt△ACD中，$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
逐一判断选项：
A. $\sinα=\frac{BD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cosα=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\sinα=\cosα$，A正确，不符合题意；
B. $\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{2}{1}=2$，B正确，不符合题意；
C. $\sinβ=\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cosβ=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，显然$\sinβ≠\cosβ$，C错误，符合题意；
D. $\tanα=\frac{BD}{AD}=\frac{2}{2}=1$，D正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角函数计算
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的相关计算，解题的关键是从网格中准确提取直角三角形各边的长度，再结合三角函数的定义逐一验证即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7

4. 在直角坐标系$xOy$中，点$P(4,y)$在第一象限内，且$OP$与$x$轴正半轴的夹角为$60°$，则$y$的值是（）

A.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$8$
D.$2$

4. B

【分析】
遇到平面直角坐标系中已知线段与坐标轴夹角求点坐标的问题，可先过该点向坐标轴作垂线构造直角三角形。本题中过点P向x轴作垂线，可得直角三角形，其中x轴上的直角边长度等于点P的横坐标，垂直于x轴的直角边长度等于y的绝对值，再结合已知的60°夹角，利用锐角三角函数的定义即可建立等式求出y的值，结合点P在第一象限可确定y为正数。
【解析】
过点P作$PA ⊥ x$轴于点A，则$∠ OAP = 90°$。
$\because$点$P$的坐标为$(4,y)$，
$\therefore OA = 4$，$PA = y$。
由题意得$∠ POA = 60°$，在$\mathrm{Rt}△ POA$中，根据正切的定义：
$\tan∠ POA = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{PA}{OA}$，
代入已知值可得：$\tan60° = \frac{y}{4}$，
$\because \tan60° = \sqrt{3}$，
$\therefore y = 4 × \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$，
又$\because$点P在第一象限，$y＞0$，符合计算结果。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将点的坐标与直角三角形的边长对应，再结合特殊角的三角函数值列式计算即可。
【难度系数】
0.8

5. 在$△ ABC$中，$\sin B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos C = \dfrac{4}{5}$，$AC = 5$，则$△ ABC$的面积为()

A.10.5
B.13
C.14
D.21

5. A

【分析】
要计算△ABC的面积，我们可以通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解：过点A作BC边上的高AD，先在Rt△ADC中利用cosC的三角函数值求出CD和高AD的长度，再根据sinB=√2/2得出∠B=45°，推导得到Rt△ABD为等腰直角三角形，求出BD的长度，最终得到BC的总长度，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
1. 在Rt△ADC中：
已知$\cos C=\frac{CD}{AC}=\frac{4}{5}$，$AC=5$，
$\therefore CD=AC×\cos C=5×\frac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
2. 在Rt△ABD中：
已知$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$∠ B=45°$，
$\therefore ∠ BAD=90°-∠ B=45°=∠ B$，
$\therefore BD=AD=3$。
（注：若$∠ B=135°$，计算得到的面积为1.5，无对应选项，故排除该情况）
3. 计算面积：
$BC=BD+CD=3+4=7$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×3=10.5$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形，等腰直角三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查斜三角形的常规求解方法，核心是作高将斜三角形转化为直角三角形，结合三角函数定义、特殊角的三角函数值和勾股定理即可求解，属于解三角形的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

6.若$(\sqrt{3}\tan A - 3)^2 + |2\cos B - \sqrt{3}| = 0$，则$△ ABC(\quad)$

A.是直角三角形
B.是等边三角形
C.是含有$60°$的任意三角形
D.是顶角为钝角的等腰三角形

A

【分析】
解题时首先利用平方与绝对值的非负性：两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，据此列出关于tanA和cosB的方程，求解得到三角函数值后，结合特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再通过三角形内角和定理计算∠C的度数，最终判断三角形的类型。
【解析】
∵ 平方数和绝对值均具有非负性，即$(\sqrt{3}\tan A - 3)^2 ≥ 0$，$|2\cos B - \sqrt{3}| ≥ 0$，且二者的和为0
∴ $\begin{cases}\sqrt{3}\tan A - 3 = 0 \\ 2\cos B - \sqrt{3} = 0\end{cases}$
解第一个方程：
$\sqrt{3}\tan A = 3$，即$\tan A = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
∵ ∠A是三角形内角，$0° ＜ ∠ A ＜ 180°$
∴ $∠ A = 60°$
解第二个方程：
$2\cos B = \sqrt{3}$，即$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$
∵ ∠B是三角形内角，$0° ＜ ∠ B ＜ 180°$
∴ $∠ B = 30°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 30° = 90°$
∴ $△ ABC$是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，准确记忆常见特殊角的三角函数值，再结合三角形内角和即可快速判断三角形类型。
【难度系数】
0.75

7. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，设$∠ A, ∠ B, ∠ C$所对的边分别为$a,b,c$，若$b = c◆$，则“◆”表示().

A.$\sin A$
B.$\sin B$
C.$\cos B$
D.$\tan A$

7. B

【分析】
首先明确本题是直角三角形中边角关系的应用，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义。第一步先确定直角三角形中各角对应的边：∠C=90°，因此c是斜边，b是∠B的对边，a是∠A的对边。题目要求找到$b=c◆$中的◆，即求$\frac{b}{c}$对应的三角函数表达式，结合各三角函数的定义对比判断即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B$的对边为$b$，斜边为$c$，
根据锐角正弦函数的定义：锐角的正弦值等于其对边与斜边的比值，可得：
$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边} = \frac{b}{c}$
对等式变形可得：$b = c·\sin B$
因此“◆”表示$\sin B$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正弦函数定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对锐角三角函数定义的理解和应用，熟记正弦、余弦、正切对应的边的比例关系是解题的关键，这类题型也是三角函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8