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1. 特殊角的三角函数值.
| 锐角三角函数 | μlticolumn{3}{c}{锐角α} |
| --- | --- | --- | --- |
| | 30° | 45° | 60° |
| $\sin α$ |
| | |
| $\cos α$ | | | |
| $\tan α$ | | | |
| 锐角三角函数 | μlticolumn{3}{c}{锐角α} |
| --- | --- | --- | --- |
| | 30° | 45° | 60° |
| $\sin α$ |
| | || $\cos α$ | | | |
| $\tan α$ | | | |
答案
$\sinα$：30°为$\frac{1}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\cosα$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{1}{2}$；$\tanα$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，45°为1，60°为$\sqrt{3}$
解析
【分析】
我们可以结合特殊直角三角形的边长比例，配合锐角三角函数的定义来推导各个值，避免死记硬背：
1. 首先回忆两类特殊直角三角形：含30°的直角三角形三边比为1:√3:2（30°对的直角边:60°对的直角边:斜边）；等腰直角三角形（含45°）的三边比为1:1:√2（直角边:直角边:斜边）。
2. 再对应锐角三角函数的定义：$\sinα$=对边/斜边，$\cosα$=邻边/斜边，$\tanα$=对边/邻边，分别计算30°、45°、60°角的三个三角函数值即可。
【解析】
我们通过特殊直角三角形的边长关系结合三角函数定义计算：
1. 设含30°的直角三角形中，30°角对的直角边长为1，则斜边长为2，另一条直角边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$：
30°角：对边1，邻边$\sqrt{3}$，斜边2，因此$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
60°角：对边$\sqrt{3}$，邻边1，斜边2，因此$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$；
2. 设等腰直角三角形的直角边长为1，则斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，45°角的对边、邻边均为1，斜边为$\sqrt{2}$，因此：
$\sin45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
$\sinα$：30°为$\frac{1}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\cosα$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{1}{2}$；$\tanα$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，45°为1，60°为$\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数定义；特殊直角三角形性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，相关数值是后续解直角三角形、三角函数运算的核心基础，建议结合特殊直角三角形的图形理解记忆，也可以通过“正弦随角度增大而增大、余弦随角度增大而减小”的规律辅助记忆，避免混淆。
【难度系数】
0.9
我们可以结合特殊直角三角形的边长比例，配合锐角三角函数的定义来推导各个值，避免死记硬背：
1. 首先回忆两类特殊直角三角形：含30°的直角三角形三边比为1:√3:2（30°对的直角边:60°对的直角边:斜边）；等腰直角三角形（含45°）的三边比为1:1:√2（直角边:直角边:斜边）。
2. 再对应锐角三角函数的定义：$\sinα$=对边/斜边，$\cosα$=邻边/斜边，$\tanα$=对边/邻边，分别计算30°、45°、60°角的三个三角函数值即可。
【解析】
我们通过特殊直角三角形的边长关系结合三角函数定义计算：
1. 设含30°的直角三角形中，30°角对的直角边长为1，则斜边长为2，另一条直角边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$：
30°角：对边1，邻边$\sqrt{3}$，斜边2，因此$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
60°角：对边$\sqrt{3}$，邻边1，斜边2，因此$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$；
2. 设等腰直角三角形的直角边长为1，则斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，45°角的对边、邻边均为1，斜边为$\sqrt{2}$，因此：
$\sin45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
$\sinα$：30°为$\frac{1}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\cosα$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{1}{2}$；$\tanα$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，45°为1，60°为$\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数定义；特殊直角三角形性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，相关数值是后续解直角三角形、三角函数运算的核心基础，建议结合特殊直角三角形的图形理解记忆，也可以通过“正弦随角度增大而增大、余弦随角度增大而减小”的规律辅助记忆，避免混淆。
【难度系数】
0.9
2. 想一想:在锐角范围内正弦值、余弦值和正切值随着角度的增大有什么变化？
答案
在锐角范围内，正弦值和正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小。
解析
【分析】
我们可以先通过对比30°、45°、60°这几个常见特殊锐角的三角函数值，初步判断变化趋势，再结合直角三角形中锐角三角函数的定义验证结论：在直角三角形中，固定斜边长度时，锐角增大，它所对的直角边长度会增加，相邻的直角边长度会减小，以此推导三类三角函数值随角度的变化规律。
【解析】
1. 先对比特殊锐角的三角函数值：
正弦值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，角度增大时，正弦值逐渐增大；
余弦值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，角度增大时，余弦值逐渐减小；
正切值：$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.333$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$，角度增大时，正切值逐渐增大。
2. 结合定义验证：在直角三角形中，若斜边长度固定，当锐角$α$增大时，$α$的对边长度增加、邻边长度减小。根据三角函数定义：$\sinα=\frac{对边}{斜边}$、$\cosα=\frac{邻边}{斜边}$、$\tanα=\frac{对边}{邻边}$，可验证上述变化规律成立。
【答案】
在锐角范围内，正弦值和正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小。
【知识点】
1. 锐角三角函数的增减性
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心考查对锐角三角函数增减性的掌握，该规律是后续比较三角函数值大小、解三角函数相关不等式的重要依据，学习时结合特殊角的函数值记忆会更清晰。
【难度系数】
0.9
我们可以先通过对比30°、45°、60°这几个常见特殊锐角的三角函数值，初步判断变化趋势，再结合直角三角形中锐角三角函数的定义验证结论：在直角三角形中，固定斜边长度时，锐角增大，它所对的直角边长度会增加，相邻的直角边长度会减小，以此推导三类三角函数值随角度的变化规律。
【解析】
1. 先对比特殊锐角的三角函数值：
正弦值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，角度增大时，正弦值逐渐增大；
余弦值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，角度增大时，余弦值逐渐减小；
正切值：$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.333$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$，角度增大时，正切值逐渐增大。
2. 结合定义验证：在直角三角形中，若斜边长度固定，当锐角$α$增大时，$α$的对边长度增加、邻边长度减小。根据三角函数定义：$\sinα=\frac{对边}{斜边}$、$\cosα=\frac{邻边}{斜边}$、$\tanα=\frac{对边}{邻边}$，可验证上述变化规律成立。
【答案】
在锐角范围内，正弦值和正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小。
【知识点】
1. 锐角三角函数的增减性
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心考查对锐角三角函数增减性的掌握，该规律是后续比较三角函数值大小、解三角函数相关不等式的重要依据，学习时结合特殊角的函数值记忆会更清晰。
【难度系数】
0.9
合作学习
思考:两块三角尺中有几个不同的锐角?分别是多少度?你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值吗?
提示:还记得我们推导正弦关系时所得的结论吗?即$\sin 30° = \frac{1}{2}, \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
思考:两块三角尺中有几个不同的锐角?分别是多少度?你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值吗?
提示:还记得我们推导正弦关系时所得的结论吗?即$\sin 30° = \frac{1}{2}, \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
答案
共有3个不同的锐角，分别是30°、45°、60°。
30°角：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
45°角：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；
60°角：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
30°角：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
45°角：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；
60°角：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
首先回忆常用两块直角三角尺的内角度数：一块的内角为30°、60°、90°，另一块为45°、45°、90°，先筛选出其中的锐角（小于90°的角），即可得到不同锐角的个数和度数；求三角函数值时，依据锐角三角函数的定义（正弦=对边/斜边、余弦=邻边/斜边、正切=对边/邻边），结合直角三角形的边长比例关系（30°直角三角形三边比为1:√3:2，45°等腰直角三角形三边比为1:1:√2），代入计算即可得到对应结果，也可利用互余两角的三角函数关系简化运算。
【解析】
1. 确定不同锐角的个数和度数
两块三角尺的内角分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°，排除直角90°后，不同的锐角为30°、45°、60°，共3个。
2. 计算30°角的三角函数值
在含30°角的直角三角形中，30°对的直角边是斜边的$\frac{1}{2}$，设30°对的直角边长为1，则斜边长为2，由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据三角函数定义：
$\sin30°=\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. 计算45°角的三角函数值
在等腰直角三角形中，两条直角边相等，设直角边长为1，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
根据三角函数定义：
$\sin45°=\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{1}=1$。
4. 计算60°角的三角函数值
在含30°角的直角三角形中，60°的对边为$\sqrt{3}$，邻边为1，斜边为2。
根据三角函数定义：
$\sin60°=\frac{对边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\frac{对边}{邻边}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$。
【答案】
共有3个不同的锐角，分别是30°、45°、60°。
30°角：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
45°角：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；
60°角：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
【知识点】
锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，通过对常用三角尺的角度分析，结合三角函数定义推导特殊角的三角函数值，熟练掌握这三个特殊锐角的三角函数值，是后续解决解直角三角形、三角函数运算等相关问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
首先回忆常用两块直角三角尺的内角度数：一块的内角为30°、60°、90°，另一块为45°、45°、90°，先筛选出其中的锐角（小于90°的角），即可得到不同锐角的个数和度数；求三角函数值时，依据锐角三角函数的定义（正弦=对边/斜边、余弦=邻边/斜边、正切=对边/邻边），结合直角三角形的边长比例关系（30°直角三角形三边比为1:√3:2，45°等腰直角三角形三边比为1:1:√2），代入计算即可得到对应结果，也可利用互余两角的三角函数关系简化运算。
【解析】
1. 确定不同锐角的个数和度数
两块三角尺的内角分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°，排除直角90°后，不同的锐角为30°、45°、60°，共3个。
2. 计算30°角的三角函数值
在含30°角的直角三角形中，30°对的直角边是斜边的$\frac{1}{2}$，设30°对的直角边长为1，则斜边长为2，由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据三角函数定义：
$\sin30°=\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. 计算45°角的三角函数值
在等腰直角三角形中，两条直角边相等，设直角边长为1，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
根据三角函数定义：
$\sin45°=\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{1}=1$。
4. 计算60°角的三角函数值
在含30°角的直角三角形中，60°的对边为$\sqrt{3}$，邻边为1，斜边为2。
根据三角函数定义：
$\sin60°=\frac{对边}{斜边}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{邻边}{斜边}=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\frac{对边}{邻边}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$。
【答案】
共有3个不同的锐角，分别是30°、45°、60°。
30°角：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
45°角：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$；
60°角：$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
【知识点】
锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，通过对常用三角尺的角度分析，结合三角函数定义推导特殊角的三角函数值，熟练掌握这三个特殊锐角的三角函数值，是后续解决解直角三角形、三角函数运算等相关问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
【归纳总结】
| 锐角三角函数 | μlticolumn{3}{c}{锐角A} |
| --- | --- | --- | --- |
| | 30° | 45° | 60° |
| $\sin A$ |
| | |
| $\cos A$ | | | |
| $\tan A$ | | | |
对于$\sin A$与$\tan A$，角度越大，函数值也越大；对于$\cos A$，角度越大，函数值越小。
| 锐角三角函数 | μlticolumn{3}{c}{锐角A} |
| --- | --- | --- | --- |
| | 30° | 45° | 60° |
| $\sin A$ |
| | || $\cos A$ | | | |
| $\tan A$ | | | |
对于$\sin A$与$\tan A$，角度越大，函数值也越大；对于$\cos A$，角度越大，函数值越小。
答案
$\sin A$：30°为$\frac{1}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\cos A$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{1}{2}$；
$\tan A$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，45°为1，60°为$\sqrt{3}$。
$\cos A$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{1}{2}$；
$\tan A$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，45°为1，60°为$\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要填写30°、45°、60°的锐角三角函数值，可借助两类特殊直角三角形的边长关系推导记忆：①含30°的直角三角形，三边比为$1:\sqrt{3}:2$（30°对边:60°对边:斜边）；②含45°的等腰直角三角形，三边比为$1:1:\sqrt{2}$（直角边:直角边:斜边）。再结合锐角三角函数的定义（$\sin A=\frac{对边}{斜边}$，$\cos A=\frac{邻边}{斜边}$，$\tan A=\frac{对边}{邻边}$）即可算出对应值，也可结合题中给出的增减性验证结果。
【解析】
1. 计算$\sin A$的值：
30°角：对边与斜边的比值为$\frac{1}{2}$，因此$\sin30°=\frac{1}{2}$；
45°角：对边与斜边的比值为$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
60°角：对边与斜边的比值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 计算$\cos A$的值：
30°角：邻边与斜边的比值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
45°角：邻边与斜边的比值为$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
60°角：邻边与斜边的比值为$\frac{1}{2}$，因此$\cos60°=\frac{1}{2}$。
3. 计算$\tan A$的值：
30°角：对边与邻边的比值为$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
45°角：对边与邻边的比值为$\frac{1}{1}=1$，因此$\tan45°=1$；
60°角：对边与邻边的比值为$\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，因此$\tan60°=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sin A$：30°为$\frac{1}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\cos A$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{1}{2}$；
$\tan A$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，45°为1，60°为$\sqrt{3}$。
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义
【点评】
特殊锐角的三角函数值是解直角三角形相关题型的基础，需要熟练掌握，可结合特殊直角三角形的边长关系或三角函数的增减性辅助记忆，避免混淆。
【难度系数】
0.9
要填写30°、45°、60°的锐角三角函数值，可借助两类特殊直角三角形的边长关系推导记忆：①含30°的直角三角形，三边比为$1:\sqrt{3}:2$（30°对边:60°对边:斜边）；②含45°的等腰直角三角形，三边比为$1:1:\sqrt{2}$（直角边:直角边:斜边）。再结合锐角三角函数的定义（$\sin A=\frac{对边}{斜边}$，$\cos A=\frac{邻边}{斜边}$，$\tan A=\frac{对边}{邻边}$）即可算出对应值，也可结合题中给出的增减性验证结果。
【解析】
1. 计算$\sin A$的值：
30°角：对边与斜边的比值为$\frac{1}{2}$，因此$\sin30°=\frac{1}{2}$；
45°角：对边与斜边的比值为$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
60°角：对边与斜边的比值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 计算$\cos A$的值：
30°角：邻边与斜边的比值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
45°角：邻边与斜边的比值为$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
60°角：邻边与斜边的比值为$\frac{1}{2}$，因此$\cos60°=\frac{1}{2}$。
3. 计算$\tan A$的值：
30°角：对边与邻边的比值为$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
45°角：对边与邻边的比值为$\frac{1}{1}=1$，因此$\tan45°=1$；
60°角：对边与邻边的比值为$\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，因此$\tan60°=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sin A$：30°为$\frac{1}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
$\cos A$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，45°为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，60°为$\frac{1}{2}$；
$\tan A$：30°为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，45°为1，60°为$\sqrt{3}$。
【知识点】
特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义
【点评】
特殊锐角的三角函数值是解直角三角形相关题型的基础，需要熟练掌握，可结合特殊直角三角形的边长关系或三角函数的增减性辅助记忆，避免混淆。
【难度系数】
0.9
1. 求下列各式的值.
(1) $\cos^2 60° + \sin^2 60°$;
(2) $\dfrac{\cos 45°}{\sin 45°} - \tan 45°$.
(1) $\cos^2 60° + \sin^2 60°$;
(2) $\dfrac{\cos 45°}{\sin 45°} - \tan 45°$.
答案
(1) 原式=$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
(2) 原式=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 1 = 1 - 1 = 0$
(2) 原式=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 1 = 1 - 1 = 0$
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题思路如下：1. 先准确记忆60°、45°的正弦、余弦、正切的函数值；2. 将对应三角函数值代入原式，按照实数的运算规则依次计算即可。另外第(1)题也可直接利用同角三角函数的平方关系$\sin^2α+\cos^2α=1$直接得出结果，两种方法都符合要求。
【解析】
(1) 先写出特殊角的三角函数值：$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式得：
原式=$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
(2) 先写出特殊角的三角函数值：$\cos45°=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$，代入原式得：
原式=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 1 = 1 - 1 = 0$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 三角函数混合运算
3. 同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础计算题，核心是对特殊角三角函数值的准确记忆，计算时按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可，只要识记数值准确，基本不会失分。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题思路如下：1. 先准确记忆60°、45°的正弦、余弦、正切的函数值；2. 将对应三角函数值代入原式，按照实数的运算规则依次计算即可。另外第(1)题也可直接利用同角三角函数的平方关系$\sin^2α+\cos^2α=1$直接得出结果，两种方法都符合要求。
【解析】
(1) 先写出特殊角的三角函数值：$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入原式得：
原式=$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
(2) 先写出特殊角的三角函数值：$\cos45°=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$，代入原式得：
原式=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 1 = 1 - 1 = 0$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 三角函数混合运算
3. 同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础计算题，核心是对特殊角三角函数值的准确记忆，计算时按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可，只要识记数值准确，基本不会失分。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AB = $\sqrt{6}$,BC = $\sqrt{3}$,求 ∠A 的度数.
答案
解：在Rt△ABC中，$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此∠A=45°。
解析
【分析】
本题是直角三角形中求锐角度数的问题，解题思路如下：首先观察已知条件，Rt△ABC中∠C=90°，已知∠A的对边BC和斜边AB的长度，根据正弦函数的定义（锐角的正弦=对边/斜边），我们可以先计算出sinA的值，再结合特殊角的三角函数值，即可对应求出∠A的度数。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦的定义可得：
$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
代入已知$AB=\sqrt{6}$，$BC=\sqrt{3}$，得：
$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
因为$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且∠A是锐角，所以∠A=45°。
【答案】
$∠ A=45°$
【知识点】
正弦的定义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，核心考查对正弦函数定义的理解运用，以及特殊角三角函数值的记忆，解题时只要选对对应三角函数，计算准确就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中求锐角度数的问题，解题思路如下：首先观察已知条件，Rt△ABC中∠C=90°，已知∠A的对边BC和斜边AB的长度，根据正弦函数的定义（锐角的正弦=对边/斜边），我们可以先计算出sinA的值，再结合特殊角的三角函数值，即可对应求出∠A的度数。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦的定义可得：
$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
代入已知$AB=\sqrt{6}$，$BC=\sqrt{3}$，得：
$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
因为$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且∠A是锐角，所以∠A=45°。
【答案】
$∠ A=45°$
【知识点】
正弦的定义、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，核心考查对正弦函数定义的理解运用，以及特殊角三角函数值的记忆，解题时只要选对对应三角函数，计算准确就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的$\sqrt{3}$倍,求α的值.
答案
解：在Rt△AOB中，$\tanα = \frac{AO}{OB} = \sqrt{3}$，因此α=60°。
解析
【分析】
首先观察图形，圆锥的高AO垂直于底面，因此△AOB是直角三角形，∠AOB=90°。要求角α的度数，我们可以利用直角三角形的边角关系求解：角α是Rt△AOB的一个锐角，它的对边是AO，邻边是OB，题目已知AO与OB的数量关系，因此可以先求出α的正切值，再结合特殊角的三角函数值即可得到α的度数。
【解析】
∵ AO是圆锥的高，
∴ AO⊥底面，即∠AOB=90°，△AOB为直角三角形。
在Rt△AOB中，$\tanα = \frac{∠α的对边}{∠α的邻边} = \frac{AO}{OB}$，
由题可知$AO=\sqrt{3}OB$，代入得$\tanα = \frac{\sqrt{3}OB}{OB} = \sqrt{3}$，
又
∵ $\tan60°=\sqrt{3}$，且α为锐角，
∴ $α=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
正切的定义；特殊角的三角函数值；圆锥的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是将圆锥中的几何关系转化为直角三角形的边角关系，结合三角函数的定义和特殊角的三角函数值即可求解，重在考查学生对基础知识的掌握和空间几何转化为平面几何的思维能力。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，圆锥的高AO垂直于底面，因此△AOB是直角三角形，∠AOB=90°。要求角α的度数，我们可以利用直角三角形的边角关系求解：角α是Rt△AOB的一个锐角，它的对边是AO，邻边是OB，题目已知AO与OB的数量关系，因此可以先求出α的正切值，再结合特殊角的三角函数值即可得到α的度数。
【解析】
∵ AO是圆锥的高，
∴ AO⊥底面，即∠AOB=90°，△AOB为直角三角形。
在Rt△AOB中，$\tanα = \frac{∠α的对边}{∠α的邻边} = \frac{AO}{OB}$，
由题可知$AO=\sqrt{3}OB$，代入得$\tanα = \frac{\sqrt{3}OB}{OB} = \sqrt{3}$，
又
∵ $\tan60°=\sqrt{3}$，且α为锐角，
∴ $α=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
正切的定义；特殊角的三角函数值；圆锥的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是将圆锥中的几何关系转化为直角三角形的边角关系，结合三角函数的定义和特殊角的三角函数值即可求解，重在考查学生对基础知识的掌握和空间几何转化为平面几何的思维能力。
【难度系数】
0.9
