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14. 如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为
$\sqrt{3}$
。答案
14. $\sqrt{3}$ 解析 正六棱柱的底面如图所示,过点A作AH⊥BC于点H.由题意得,2AH+BD=4.
∵∠BAC=120°,AC=AB,
∴∠CAH=∠BAH=60°,
∴∠ABH=30°,
∴AB=2AH,
∴4AH=4,
∴AH=1,
∴$BH=\sqrt{3}AH=\sqrt{3}$,
∴a的值为$\sqrt{3}$.
15.如图,在边长为12的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E,F,G分别在AB,BC,FD上.若BF=3,则小正方形的边长为
$\frac{15}{4}$
.答案
15. $\frac{15}{4}$ 解析 如图,
∵四边形ABCD,EFGH都是正方形,
∴∠EFG=90°,∠B=∠C=90°,
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3.
∵∠B=∠C=90°,
∴△BEF∽△CFD,
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{BF}{CD}$.
∵BF=3,BC=12,
∴CF=BC-BF=12-3=9.又
∵$FD=\sqrt{CD^2+CF^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$,
∴$\frac{EF}{15}=\frac{3}{12}$,解得$EF=\frac{15}{4}$.
三、解答题(本大题共8小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)如图,已知$∠ ACB=∠ CBD=90°$,$AC=b$,$CB=a$,当$BD$与$a$,$b$之间满足怎样的关系时,$△ ACB ∽ △ CBD$?
16.(8分)如图,已知$∠ ACB=∠ CBD=90°$,$AC=b$,$CB=a$,当$BD$与$a$,$b$之间满足怎样的关系时,$△ ACB ∽ △ CBD$?
答案
16. 解:
∵∠ACB=∠CBD=90°,
∴当$\frac{AC}{CB}=\frac{CB}{BD}$,即$\frac{b}{a}=\frac{a}{BD}$时,△ACB∽△CBD,
∴当$BD=\frac{a^2}{b}$时,△ACB∽△CBD.
∵∠ACB=∠CBD=90°,
∴当$\frac{AC}{CB}=\frac{CB}{BD}$,即$\frac{b}{a}=\frac{a}{BD}$时,△ACB∽△CBD,
∴当$BD=\frac{a^2}{b}$时,△ACB∽△CBD.
17.(10分)如图,在平面直角坐标系内,$△ ABC$的三个顶点坐标分别为$A(-3,1),B(-1,1),C(0,3)$.
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$.
(2)在第四象限画出$△ ABC$以点$O$为位似中心的位似图形$△ A_2B_2C_2$,使$△ ABC$与$△ A_2B_2C_2$的位似比为$1:2$.
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$.
(2)在第四象限画出$△ ABC$以点$O$为位似中心的位似图形$△ A_2B_2C_2$,使$△ ABC$与$△ A_2B_2C_2$的位似比为$1:2$.
答案
17. 解:(1)△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁如图所示.
(2)△A₂B₂C₂如图所示.
18.(10分)如图,在正方形ABCD中,$BD=6\sqrt{2}$,点E为AD上一点,连接CE交BD于点F,延长CE交BA的延长线于点G,连接AF,若$AG=2$,求AF的长. 
答案
18. 解:如图,过点F作FM⊥AB,延长MF交DC于点N,由题意可得,∠DBC=∠BDC=45°,AB//DC,$AB=AD=DC=\frac{BD}{\sqrt{2}}=6$,
∴△GFB∽△CFD.
∵FM⊥AB,AB//DC,
∴FN⊥DC,
∴$\frac{GB}{CD}=\frac{FM}{FN}=\frac{6+2}{6}=\frac{4}{3}$.
∵∠AMN=∠DAM=∠ADN=90°,
∴四边形ADNM为矩形,
∴MN=AD=6.
易得$FM=\frac{4}{7}MN=\frac{24}{7}$.
∵∠MBF=45°,
∴BM=FM=$\frac{24}{7}$,
∴AM=AB-BM=$\frac{18}{7}$,
∴$AF=\sqrt{AM^2+FM^2}=\frac{30}{7}$.
19.(12分)如图是由6个相同的小正方体组成的几何体.
(1)请画出该几何体的左视图和俯视图.
(2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体,并保持主视图和俯视图不变,最多可以添加
(1)请画出该几何体的左视图和俯视图.
(2)如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体,并保持主视图和俯视图不变,最多可以添加
1
个小正方体.答案
19. 解:(1)如图所示.
(2)1
20.(12分)如图,一个不透明的袋子中装有三个小球,这三个小球上各标有一个数字,分别是-2,1,-1,这些小球除标有的数字不同外其他都相同.(1)从袋中随机摸出一个小球,则摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为
(2)先从袋中随机摸出一个小球,将小球上面的数字记作a,放回搅匀后再从中随机摸出一个小球,将小球上面的数字记作b.请通过列表或画树状图的方法,求出点(a,b)在第三象限的概率.
$\frac{2}{3}$
.(2)先从袋中随机摸出一个小球,将小球上面的数字记作a,放回搅匀后再从中随机摸出一个小球,将小球上面的数字记作b.请通过列表或画树状图的方法,求出点(a,b)在第三象限的概率.
答案
20. 解:(1)$\frac{2}{3}$
(2)列表如下.
| | -2 | 1 | -1 |
| --- | --- | --- | --- |
| -2 | (-2,-2) | (-2,1) | (-2,-1) |
| 1 | (1,-2) | (1,1) | (1,-1) |
| -1 | (-1,-2) | (-1,1) | (-1,-1) |
由表可以看出,共有9种等可能的结果,其中点(a,b)在第三象限的结果共有4种,因此点(a,b)在第三象限的概率为$\frac{4}{9}$.
(2)列表如下.
| | -2 | 1 | -1 |
| --- | --- | --- | --- |
| -2 | (-2,-2) | (-2,1) | (-2,-1) |
| 1 | (1,-2) | (1,1) | (1,-1) |
| -1 | (-1,-2) | (-1,1) | (-1,-1) |
由表可以看出,共有9种等可能的结果,其中点(a,b)在第三象限的结果共有4种,因此点(a,b)在第三象限的概率为$\frac{4}{9}$.
