21.(12分)如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处.点E到地面的高度$ED=4\ \mathrm{m}$，点F到地面的高度$FC=1.5\ \mathrm{m}$，灯泡到木板的水平距离$AC=5.4\ \mathrm{m}$，墙到木板的水平距离为$CD=5\ \mathrm{m}$，由物理知识可知$∠ FBC=∠ GBA$，且图中点A，B，C，D在同一水平平面上.
(1)求BC的长.
(2)求手电筒灯泡到地面的高度AG.

21. 解:(1)易得FC//DE,则△BFC∽△BED,则$\frac{BC}{BD}=\frac{FC}{ED}$,即$\frac{BC}{BC+5}=\frac{1.5}{4}$,
∴BC=3 m.
(2)
∵AC=5.4 m,
∴AB=5.4-3=2.4(m).
∵∠FBC=∠GBA,∠FCB=∠GAB,
∴△BFC∽△BGA,
∴$\frac{AB}{CB}=\frac{AG}{CF}$,
∴$\frac{2.4}{3}=\frac{AG}{1.5}$,解得AG=1.2 m.答:手电筒灯泡到地面的高度AG为1.2 m.

22.(12分)项目式学习
项目背景:山西省晋中市榆次区无限城前面的LED球形屏,是华北首个旋转LED球形屏.某校综合实践活动小组的同学围绕“测量LED球形屏的直径”这一主题开展项目学习活动.
项目主题 测量LED球形屏的直径
活动准备 无人机、卷尺(可测量距离)等
活动过程
方案说明 如图是该综合实践活动小组的测量示意图,MN表示水平地面,线段AB表示LED球形屏的直径($AB ⊥ MN$).无人机从距AB水平距离12 m的点C处竖直向上飞行到点D,此时测得点B的仰角为$26°$,再竖直向上飞行25 m到达点F,此时测得点A的俯角为$18°$,图中各点均在同一竖直平面内,点C,M,N在同一水平直线上.
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据,计算LED球形屏的直径.(结果精确到1 m,参考数据:$\sin 18° \approx 0.31$, $\cos 18° \approx 0.95$, $\tan 18° \approx 0.32$, $\sin 26° \approx 0.44$, $\cos 26° \approx 0.90$, $\tan 26° \approx 0.49$)

22. 解:如图,过点A,B分别作CF的垂线,垂足分别为点G,H,过点D作AB的垂线,与AB的延长线交于点Q,则四边形DQBH,AGHB均为矩形,
∴AB=GH,BQ=DH,DQ=BH=AG=12 m.
在Rt△BDQ中,$\tan∠ BDQ=\frac{BQ}{DQ}=\frac{BQ}{12}\approx0.49$,
∴BQ≈12×0.49=5.88(m),
∴DH=BQ=5.88 m.
在Rt△FAG中,∠AGF=90°,$\tan∠ FAG=\frac{GF}{AG}=\frac{GF}{12}\approx0.32$,
∴GF≈12×0.32=3.84(m).
∵FG+GH+DH=25,即3.84+GH+5.88=25,
∴GH=25-3.84-5.88=15.28(m),
∴AB=GH=15.28 m≈15 m.答:LED球形屏的直径约为15 m.

23.(14分)如图,点D在△ABC的边BC上,连接AD.
(1)如图①,M为AD的中点.
①若CD=3BD,求$S_{△ ABD}:S_{△ CMD}$的值.
②若$∠ B=2∠ BAD=α,∠ MCD=∠ MDC$,求$∠ AMC$的度数.(用含$α$的式子表示)
(2)如图②,若$△ ABD$与$△ ACD$的周长相等,设$BC=a,AC=b,AB=c$.求BD的长.(用含$a,b,c$的式子表示)

23. 解:(1)①
∵CD=3BD,
∴$S_{△ACD}:S_{△ABD}=CD:BD=3:1$,
∴$S_{△ACD}=3S_{△ABD}$.由题意得,$S_{△CMD}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{3}{2}S_{△ABD}$,
∴$S_{△ABD}:S_{△CMD}=\frac{2}{3}$.
②
∵∠B=2∠BAD=α,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}α$,
∴∠MDC=∠B+∠BAD=$\frac{3}{2}α$.
∵∠MCD=∠MDC,
∴∠AMC=∠MCD+∠MDC=2∠MDC=3α.
(2)
∵AB+AD+BD=AC+CD+AD,
∴AB+BD=AC+CD=AC+BC-BD,
∴$BD=\frac{1}{2}(AC+BC-AB)=\frac{1}{2}(a+b-c)$.