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一、选择题
1 若两个相似三角形对应高的比为 $1:\sqrt{3}$，则小三角形与大三角形面积的比为 （
A.$1:3$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$3:1$
1 若两个相似三角形对应高的比为 $1:\sqrt{3}$，则小三角形与大三角形面积的比为 （
A
）A.$1:3$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$3:1$
答案
1. A
2 [2026 山西]如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.将线段AD沿射线AB方向平移,点A,D的对应点分别为点E,F,线段EF分别与OA,OD交于点G,H.当G是OA的中点时,$\frac{GH}{AB}$的值为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
答案
2. A 【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=AB.由平移的性质，得EF//AD.
∴ GH//AD.
∵ G是OA的中点，
∴ OA=2OG.
∵ GH//AD，
∴ 易得△OGH ∽ △OAD.
∴ $\frac{GH}{AD}=\frac{OG}{OA}=\frac{1}{2}.\therefore \frac{GH}{AB}=\frac{1}{2}.$
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=AB.由平移的性质，得EF//AD.
∴ GH//AD.
∵ G是OA的中点，
∴ OA=2OG.
∵ GH//AD，
∴ 易得△OGH ∽ △OAD.
∴ $\frac{GH}{AD}=\frac{OG}{OA}=\frac{1}{2}.\therefore \frac{GH}{AB}=\frac{1}{2}.$
3 [2026 甘肃]如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形。若B'(2,0)，B(4,0)，A'B'=$\sqrt{5}$，则AB的长为（
A.3
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$3\sqrt{5}$
B
）A.3
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$3\sqrt{5}$
答案
3. B 【解析】
∵ B'(2,0),B(4,0),
∴ OB'=2,OB=4.
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形，
∴ OA ：OA' = OB ：OB' = 2 ：1. 又
∵ ∠AOB = ∠A'OB',
∴ △AOB∽△A'OB'.
∴ AB ：A'B' = OB ：OB' = 2 ：1.
∴ AB=2A'B'=2×√5=2√5.
∵ B'(2,0),B(4,0),
∴ OB'=2,OB=4.
∵ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形，
∴ OA ：OA' = OB ：OB' = 2 ：1. 又
∵ ∠AOB = ∠A'OB',
∴ △AOB∽△A'OB'.
∴ AB ：A'B' = OB ：OB' = 2 ：1.
∴ AB=2A'B'=2×√5=2√5.
4 如图,在$△ ABC$中,$AC=4$,$BC=8$,$AB=11$,$P$是$BC$上一点,沿过点$P$的直线剪下一个与$△ ABC$相似的小三角形,如果有4种不同的剪法,那么$CP$长的取值范围是 （
A.$0＜CP≤1$
B.$0＜CP≤2$
C.$1≤ CP＜8$
D.$2≤ CP＜8$
B
）A.$0＜CP≤1$
B.$0＜CP≤2$
C.$1≤ CP＜8$
D.$2≤ CP＜8$
答案
4. B 【解析】如图①，过点P作PD//AB，交AC于点D，作PE//AC，交AB于点E，则易得△PCD∽△BCA 或△BPE∽△BCA，此时0＜PC＜8；如图②，过点P作∠BPF=∠A，PF交AB于点F，则易得△BPF∽△BAC，此时0≤PC＜8；如图③，过点P作∠CPG=∠A，PG交AC于点G，则易得△CPG∽△CAB，
∴ $\frac{CG}{CB}=\frac{CP}{CA}$,即CG·CA=CP·CB.当点G与点A重合时，CA²=CP·CB，即4²=CP×8，
∴ CP=2.
∴ 此时0＜CP≤2.综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤2.
二、填空题
5 如图，将$△ ABC$沿边$BC$上的中线$AD$平移到$△ A'B'C'$的位置，已知$△ ABC$的面积为16，涂色部分三角形的面积为9。若$AA'=1$，则$A'D$的长为
（第5题）（第6题）（第7题）
5 如图，将$△ ABC$沿边$BC$上的中线$AD$平移到$△ A'B'C'$的位置，已知$△ ABC$的面积为16，涂色部分三角形的面积为9。若$AA'=1$，则$A'D$的长为
3
。 （第5题）（第6题）（第7题）
答案
5. 3
6 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$.有下列条件:① $∠ A+∠ B=90°$;② $AB^2=AC^2+BC^2$;③ $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CD}{BD}$;④ $AC^2=AD· AB$.其中,能证明$△ ABC$是直角三角形的为
①②④
(填序号).答案
6. ①②④
7 [2026广东]如图，直线$y=2x+b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第二象限的图象交于点A，B，与x轴交于点C，点A的横坐标为－1，且$AB=2BC$，则反比例函数的表达式为
$y=-\frac{6}{x}$
.答案
7. $y=-\frac{6}{x}$ 【解析】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∴ AE//BF.
∴ $\frac{BF}{AE}=\frac{CB}{CA}=\frac{CB}{CB+BA}=\frac{CB}{3CB}=\frac{1}{3}.$
∵ 点A的横坐标为－1，直线$y=2x+b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第二象限的图象交于点A,B，
∴ OE=1,A(-1,-k).
∴ AE=-k,$-2+b=-k$,即$b=2-k$.
∴ $BF=\frac{1}{3}AE=-\frac{1}{3}k=y_B$.
∴ $B(-3,-\frac{1}{3}k).\therefore -6+b=-\frac{1}{3}k$,即$b=6-\frac{1}{3}k$.
∴ $2-k=6-\frac{1}{3}k$,解得$k=-6$.
∴ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$.
