8 如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,对角线 AC 和 BD 交于点 O.若$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}=\frac{1}{3}$,则$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}}$的值为 ,$\frac{C_{△ AOD}}{C_{△ BOC}}$的值为 .

8. $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{3}$

9 如图，DE是$△ ABC$的中位线，F为DE的中点，连接AF并延长，交BC于点G。若$S_{△ EFG}=1$，则$S_{△ ABC}$的值为。

9. 24 【解析】$\because DE$ 是$△ABC$ 的中位线, $\therefore DE// AC.$ 取AG 的中点 M,连接 DM,证$△DFM≌△EFG$,得 $MF = GF = \frac{1}{2}GM=\frac{1}{2}AM,S_{△DFM}=S_{△EFG}=1. \therefore S_{△ADM}=2S_{△DFM}=2.$ 证$△ADM∽△ABG$,得 $S_{△ABG}=4S_{△ADM}=8.$ 证$△EFG∽△CAG$,得 $S_{△CAG}=16S_{△EFG}=16. \therefore S_{△ABC}=S_{△ABG}+S_{△CAG}=24.$

10 如图，连接$△ ABC$三边的中点，得到$△ A_{1}B_{1}C_{1}$，再连接$△ A_{1}B_{1}C_{1}$三边的中点，得到$△ A_{2}B_{2}C_{2}$，$···$.若$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的周长为$\frac{1}{2}$，则$△ A_{2027}B_{2027}C_{2027}$的周长为.

10. $\frac{1}{2^{2027}}$

11 如图，E，F是$□ ABCD$对角线AC上的两点，$AE=CF=\frac{1}{4}AC$。连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH。求$\frac{S_{△ ADG}}{S_{△ BGH}}$的值。

11. 连接 $BD. \because AE=\frac{1}{4}AC, \therefore \frac{AE}{CE}=\frac{1}{3}. \because$ 四边形 ABCD 是平行四边形, $\therefore BA// CD, BA = CD, S_{△ABD}=S_{△BAC}=\frac{1}{2} · S_{□ABCD}. \therefore$ 易得$△AEG∽△CED. \therefore \frac{AE}{CE}=\frac{AG}{CD}=\frac{1}{3}. \therefore \frac{AG}{BA}=\frac{1}{3}. \therefore \frac{BG}{BA}=\frac{2}{3}, S_{△ADG}=\frac{1}{3} S_{△ABD}.$ 同理,可得 $\frac{BH}{BC}=\frac{2}{3}.$ $\therefore \frac{BG}{BA}=\frac{BH}{BC}. \because ∠GBH=∠ABC, \therefore △BGH ∽ △BAC.$ $\therefore \frac{S_{△BGH}}{S_{△BAC}} = (\frac{BG}{BA})^2 = \frac{4}{9}. \therefore S_{△BGH}=\frac{4}{9} S_{△BAC}=\frac{4}{9} S_{△ABD}.$ $\therefore \frac{S_{△ADG}}{S_{△BGH}} = \frac{\frac{1}{3} S_{△ABD}}{\frac{4}{9} S_{△ABD}} = \frac{1}{3} × \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$

12 新考向 探究题 [2025 宜宾]如图,一张锐角三角形纸片$ABC$,点$D$,$E$分别在边$AB$,$AC$上,$AD=2DB$,沿$DE$将$△ ABC$剪成面积相等的两部分,求$\frac{AE}{EC}$的值.

12. 如图,过点 D 作 $DF// BC$,交 AC 于点 F. $\because AD=2DB$, $\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}. \because DF// BC, \therefore$ 易得$△AFD∽△ACB. \therefore \frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}, \frac{S_{△AFD}}{S_{△ACB}} = (\frac{AD}{AB})^2. \therefore \frac{S_{△AFD}}{S_{△ACB}}=\frac{4}{9}.$ 设 $S_{△AFD}=4S$,则$S_{△ACB}=9S. \because DE$ 将 $△ABC$ 剪成面积相等的两部分, $\therefore S_{△AED}=\frac{1}{2} S_{△ACB} = \frac{9}{2} S. \therefore \frac{S_{△AED}}{S_{△AFD}} = \frac{AE}{AF} = \frac{\frac{9}{2} S}{4S} = \frac{9}{8}.$ $\therefore \frac{AF}{AC} × \frac{AE}{AF} = \frac{2}{3} × \frac{9}{8},即 \frac{AE}{AC}=\frac{3}{4}. \therefore \frac{AE}{EC}=3$