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8 如图,在四边形ABCD中,AB=5,AD=4,CD=0.8,∠A=∠D=120°,在边AD上有一动点P,若以A,B,P为顶点的三角形与以C,D,P为顶点的三角形相似,则AP的长为
2或$\frac{100}{29}$
。答案
8. 2或$\frac{100}{29}$ 【解析】
∵ ∠A=∠D=120°,
∴ 存在△ABP∽△DPC 和△ABP∽△DCP 两种情况. 设AP=m，则DP=AD-AP=4-m. 当△ABP∽△DPC时，$\frac{AP}{DC}=\frac{AB}{DP}$,即$\frac{m}{0.8}=\frac{5}{4-m}$,解得$m_1=m_2=2$. 经检验，$m_1=m_2=2$是所列方程的解，且符合题意.
∴ 此时AP=2. 当△ABP∽△DCP时，$\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{DC}$，即$\frac{m}{4-m}=\frac{5}{0.8}$,解得$m=\frac{100}{29}$.经检验，$m=\frac{100}{29}$是所列方程的解，且符合题意.
∴ 此时$AP=\frac{100}{29}$.综上所述，AP的长为2或$\frac{100}{29}$.
∵ ∠A=∠D=120°,
∴ 存在△ABP∽△DPC 和△ABP∽△DCP 两种情况. 设AP=m，则DP=AD-AP=4-m. 当△ABP∽△DPC时，$\frac{AP}{DC}=\frac{AB}{DP}$,即$\frac{m}{0.8}=\frac{5}{4-m}$,解得$m_1=m_2=2$. 经检验，$m_1=m_2=2$是所列方程的解，且符合题意.
∴ 此时AP=2. 当△ABP∽△DCP时，$\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{DC}$，即$\frac{m}{4-m}=\frac{5}{0.8}$,解得$m=\frac{100}{29}$.经检验，$m=\frac{100}{29}$是所列方程的解，且符合题意.
∴ 此时$AP=\frac{100}{29}$.综上所述，AP的长为2或$\frac{100}{29}$.
三、解答题
9 [2026江西]如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE//BC，AD=3，AB=5，DE=5，求BC的长.
9 [2026江西]如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE//BC，AD=3，AB=5，DE=5，求BC的长.
答案
9.
∵ DE//BC，
∴ ∠B = ∠D，∠C = ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.\therefore \frac{5}{3}=\frac{BC}{5}.\therefore BC=\frac{25}{3}.$
∵ DE//BC，
∴ ∠B = ∠D，∠C = ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.\therefore \frac{5}{3}=\frac{BC}{5}.\therefore BC=\frac{25}{3}.$
10 如图，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，连接AC，FC，HC.
（1）请找出图中相似的两个三角形，并证明；
（2）直接写出∠1，∠2，∠3这三个角的度数之和.
（1）请找出图中相似的两个三角形，并证明；
（2）直接写出∠1，∠2，∠3这三个角的度数之和.
答案
10. (1) △ACF∽△AHC
∵ 在正方形ABCD中，∠ABC=90°,AB=BC=1,
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}$. 在正方形ABEF和正方形EFHG中，AF=FH=1,
∴ AH=AF+FH=2.
∴ $\frac{AC}{AH}=\frac{AF}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
∵ ∠FAC=∠CAH,
∴ △ACF∽△AHC
(2)
∵ △ACF∽△AHC,
∴ ∠2=∠ACH.
∵ ∠1=∠ACH+∠3,
∴ ∠1=∠2+∠3.
∵ 在正方形ABCD中，∠1=45°,
∴ ∠1+∠2+∠3=90°
∵ 在正方形ABCD中，∠ABC=90°,AB=BC=1,
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2}$. 在正方形ABEF和正方形EFHG中，AF=FH=1,
∴ AH=AF+FH=2.
∴ $\frac{AC}{AH}=\frac{AF}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
∵ ∠FAC=∠CAH,
∴ △ACF∽△AHC
(2)
∵ △ACF∽△AHC,
∴ ∠2=∠ACH.
∵ ∠1=∠ACH+∠3,
∴ ∠1=∠2+∠3.
∵ 在正方形ABCD中，∠1=45°,
∴ ∠1+∠2+∠3=90°
11 [2026广东]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AC=2\sqrt{5}$,点$D$在$AB$上,且$BD=3AD$,连接$CD$.过点$A$作$CD$的垂线,交$CD$于点$E$,交$BC$于点$F$,连接$BE$,$AE=2$.
(1) 求$CE$的长;
(2) 求证:$BD^2=9DE· DC$;
(3) 求$\frac{S_{△ BEF}}{S_{△ BDE}}$的值.
(1) 求$CE$的长;
(2) 求证:$BD^2=9DE· DC$;
(3) 求$\frac{S_{△ BEF}}{S_{△ BDE}}$的值.
答案
11. (1)
∵ AC = 2√5，AE = 2，AE ⊥ CD，
∴ CE = $\sqrt{AC^2-AE^2}$ = 4
(2)
∵ ∠BAC = 90°, AE ⊥ CD，
∴ ∠AED=∠CAD=90°.
∵ ∠ADE=∠CDA,
∴ △ADE∽△CDA.
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{DE}{DA}$.
∴ AD² = DE · DC.
∵ BD = 3AD，
∴ AD² = $\frac{1}{9}BD²$ .
∴ BD² = 9DE · DC
(3)
∵ AE ⊥ CD，
∴ ∠AED=∠CEA=90°.
∵ ∠DAE=∠ACD=90°-∠ADC，
∴ △AED∽△CEA.
∴ $\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{AE}=\frac{AD}{CA}.\therefore \frac{2}{4}=\frac{DE}{2}=\frac{AD}{2\sqrt{5}}.$
∴ DE=1,AD=$\sqrt{5}$ .
∴ BD=3AD=3$\sqrt{5}$ .
∴ AB=AD+BD=4$\sqrt{5}$ .
∴ AD · AB = $\sqrt{5} × 4\sqrt{5}$ = 20.
∵ AC² = $(2\sqrt{5})^2$ = 20，
∴ AC² = AD · AB.
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$ .
∵ ∠DAC = ∠CAB，
∴ △DAC∽△CAB.
∴ ∠ACD = ∠ABC.
∵ ∠DAE = ∠ACD,
∴ ∠DAE = ∠ABC.
∴ FA = FB.
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠DAE + ∠FAC = ∠ABC + ∠FCA = 90°.
∴ ∠FAC = ∠FCA.
∴ FC = FA.
∴ FB = FC.
∵ ∠BAC = 90°,
∴ FA = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×\sqrt{AC^2+AB^2}=\frac{1}{2}×\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2}=5$.
∴ EF=AF-AE=3. 设$S_{△ADE}=S$，
∵ BD=3AD，
∴ $S_{△BDE}=3S$.
∴ $S_{△ABE} = S_{△ADE} + S_{△BDE} = 4S$.
∵ $\frac{AE}{EF}=\frac{2}{3}$ ,
∴ $\frac{S_{△ABE}}{S_{△BEF}}=\frac{AE}{EF}=\frac{2}{3}$ .
∴ $S_{△BEF}=6S$.
∴ $\frac{S_{△BEF}}{S_{△BDE}}=\frac{6S}{3S}=2$
∵ AC = 2√5，AE = 2，AE ⊥ CD，
∴ CE = $\sqrt{AC^2-AE^2}$ = 4
(2)
∵ ∠BAC = 90°, AE ⊥ CD，
∴ ∠AED=∠CAD=90°.
∵ ∠ADE=∠CDA,
∴ △ADE∽△CDA.
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{DE}{DA}$.
∴ AD² = DE · DC.
∵ BD = 3AD，
∴ AD² = $\frac{1}{9}BD²$ .
∴ BD² = 9DE · DC
(3)
∵ AE ⊥ CD，
∴ ∠AED=∠CEA=90°.
∵ ∠DAE=∠ACD=90°-∠ADC，
∴ △AED∽△CEA.
∴ $\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{AE}=\frac{AD}{CA}.\therefore \frac{2}{4}=\frac{DE}{2}=\frac{AD}{2\sqrt{5}}.$
∴ DE=1,AD=$\sqrt{5}$ .
∴ BD=3AD=3$\sqrt{5}$ .
∴ AB=AD+BD=4$\sqrt{5}$ .
∴ AD · AB = $\sqrt{5} × 4\sqrt{5}$ = 20.
∵ AC² = $(2\sqrt{5})^2$ = 20，
∴ AC² = AD · AB.
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$ .
∵ ∠DAC = ∠CAB，
∴ △DAC∽△CAB.
∴ ∠ACD = ∠ABC.
∵ ∠DAE = ∠ACD,
∴ ∠DAE = ∠ABC.
∴ FA = FB.
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠DAE + ∠FAC = ∠ABC + ∠FCA = 90°.
∴ ∠FAC = ∠FCA.
∴ FC = FA.
∴ FB = FC.
∵ ∠BAC = 90°,
∴ FA = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×\sqrt{AC^2+AB^2}=\frac{1}{2}×\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2}=5$.
∴ EF=AF-AE=3. 设$S_{△ADE}=S$，
∵ BD=3AD，
∴ $S_{△BDE}=3S$.
∴ $S_{△ABE} = S_{△ADE} + S_{△BDE} = 4S$.
∵ $\frac{AE}{EF}=\frac{2}{3}$ ,
∴ $\frac{S_{△ABE}}{S_{△BEF}}=\frac{AE}{EF}=\frac{2}{3}$ .
∴ $S_{△BEF}=6S$.
∴ $\frac{S_{△BEF}}{S_{△BDE}}=\frac{6S}{3S}=2$
