登录
10.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯。如果一共碰杯55次，那么参加酒会的人数为（
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
C
）A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
答案
10.C
11.某航空公司有若干个飞机场，每2个飞机场之间都开辟了1条航线，一共开辟了28条航线，该航空公司共有
8
个飞机场。答案
11.8
12.(新考法)阅读下列内容,并答题:
我们知道n边形的对角线条数公式为:$\frac{1}{2}n(n-3)$.如果一个n边形共有20条对角线,那么可以得到方程$\frac{1}{2}n(n-3)=20$.整理得$n^2 -3n -40=0$,解得$n=8$或$n=-5$.$\because n≥3,\therefore n=-5$不合题意,舍去.$\therefore n=8$,即该多边形是八边形.
根据以上内容,回答下列问题:
(1)若一个多边形共有14条对角线,则这个多边形的边数是多少?
(2)A同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为A同学的说法正确吗?为什么?
我们知道n边形的对角线条数公式为:$\frac{1}{2}n(n-3)$.如果一个n边形共有20条对角线,那么可以得到方程$\frac{1}{2}n(n-3)=20$.整理得$n^2 -3n -40=0$,解得$n=8$或$n=-5$.$\because n≥3,\therefore n=-5$不合题意,舍去.$\therefore n=8$,即该多边形是八边形.
根据以上内容,回答下列问题:
(1)若一个多边形共有14条对角线,则这个多边形的边数是多少?
(2)A同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为A同学的说法正确吗?为什么?
答案
12.(1)解:设这个多边形的边数为 $n$,根据题意,得 $\frac{1}{2}n(n-3)=14$,整理,得$n^2 -3n -28=0$,解得 $n=7$ 或 $n=-4$. $\because n≥3,\therefore n=-4$ 不合题意,舍去. $\therefore n=7$,即这个多边形的边数是 7.
(2)A同学的说法不正确.理由如下:当 $\frac{1}{2}n(n-3)=10$ 时,整理,得 $n^2 -3n -20=0$,解得 $n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$,$\therefore$符合方程 $n^2 -3n -20=0$ 的正整数 $n$ 不存在,$\therefore$多边形的对角线不可能有 10 条,即 A 同学的说法不正确.
(2)A同学的说法不正确.理由如下:当 $\frac{1}{2}n(n-3)=10$ 时,整理,得 $n^2 -3n -20=0$,解得 $n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$,$\therefore$符合方程 $n^2 -3n -20=0$ 的正整数 $n$ 不存在,$\therefore$多边形的对角线不可能有 10 条,即 A 同学的说法不正确.
13.(核心素养·运算能力)【提出问题】
“数学源于生活、寓于生活、用于生活”，生活中的很多实际问题，都可以抽象成数学问题，通过建立数学模型的方式来解决。例如:在世界杯的小组赛阶段，通过抽签的形式将32支参赛队分为八个小组，每组4个队循环比赛，每支球队都必须和其他三支球队进行且只进行一场比赛，则每个小组内要进行多少场比赛?
【建立模型】
对于这个实际问题，可以建立如下的数学模型:如图所示，在平面内画出4个点(任意3个点都不在同一条直线上)，其中每个点各代表一支足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.
【解决问题】
(1)通过阅读材料，直接写出每个小组内要进行多少场比赛；
(2)D2007是从呼和浩特东开往成都东的高铁，高铁票价与站点间距离有关，若途中任两站的距离都不相等，在大同南——太原南路段中共设有21种不同的二等座票价，求该路段共有多少个站点(含首尾站点)?
“数学源于生活、寓于生活、用于生活”，生活中的很多实际问题，都可以抽象成数学问题，通过建立数学模型的方式来解决。例如:在世界杯的小组赛阶段，通过抽签的形式将32支参赛队分为八个小组，每组4个队循环比赛，每支球队都必须和其他三支球队进行且只进行一场比赛，则每个小组内要进行多少场比赛?
【建立模型】
对于这个实际问题，可以建立如下的数学模型:如图所示，在平面内画出4个点(任意3个点都不在同一条直线上)，其中每个点各代表一支足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数.
【解决问题】
(1)通过阅读材料，直接写出每个小组内要进行多少场比赛；
(2)D2007是从呼和浩特东开往成都东的高铁，高铁票价与站点间距离有关，若途中任两站的距离都不相等，在大同南——太原南路段中共设有21种不同的二等座票价，求该路段共有多少个站点(含首尾站点)?
答案
13.(1)解:每个小组内要进行 6 场比赛.
(2)设该路段共有 $x$ 个站点,由题意,得 $\frac{1}{2}x(x-1)=21$,整理,得 $x^2 -x -42=0$,解得 $x_1=7,x_2=-6$(不符合题意,舍去).故该路段共有 7 个站点.
(2)设该路段共有 $x$ 个站点,由题意,得 $\frac{1}{2}x(x-1)=21$,整理,得 $x^2 -x -42=0$,解得 $x_1=7,x_2=-6$(不符合题意,舍去).故该路段共有 7 个站点.
