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1.某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套.设销售单价为$x$（$x≥40$）元，销售量为$y$套.
(1)求出$y$与$x$之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
(1)求出$y$与$x$之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
答案
(1)解:$y=200-\frac{x-40}{4}×20=200-5(x-40)=400-5x$,自变量的取值范围是$40≤x≤80$.
(2)设一个月的利润为$w$元,则$w=(400-5x)(x-20)=-5x^2+500x-8000=-5(x-50)^2+4500$.
$\because -5＜0,40≤x≤80,\therefore$当$x=50$时,$w$有最大值,最大值是4500.
答:当销售单价为50元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是4500元.
(2)设一个月的利润为$w$元,则$w=(400-5x)(x-20)=-5x^2+500x-8000=-5(x-50)^2+4500$.
$\because -5＜0,40≤x≤80,\therefore$当$x=50$时,$w$有最大值,最大值是4500.
答:当销售单价为50元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是4500元.
2. 某小区业主委员会决定把一块长50m、宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m、不大于26m.设绿化区较长边为xm，活动区的面积为y m².
(1) ①用含x的式子表示出口的宽度为
②写出y与x的函数关系式及x的取值范围：
(2)求活动区的面积y的最大值.
(1) ①用含x的式子表示出口的宽度为
(50-2x)
m；②写出y与x的函数关系式及x的取值范围：
$y=-4x^2+40x+1500$
；$12≤x≤18$
；(2)求活动区的面积y的最大值.
答案
(1)①$(50-2x)$ ②$y=-4x^2+40x+1500(12≤x≤18)$
(2)解:$y=-4x^2+40x+1500=-4(x-5)^2+1600$.
$\because -4＜0$,对称轴为直线$x=5$,$\therefore$当$12≤x≤18$时,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore$当$x=12$时,$y_{最大}=1404$.
答:活动区的面积$y$的最大值为$1404\mathrm{m}^2$.
(2)解:$y=-4x^2+40x+1500=-4(x-5)^2+1600$.
$\because -4＜0$,对称轴为直线$x=5$,$\therefore$当$12≤x≤18$时,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore$当$x=12$时,$y_{最大}=1404$.
答:活动区的面积$y$的最大值为$1404\mathrm{m}^2$.
3.丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源.某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量$y$(件)与销售单价$x$(元/件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)$y$与$x$的函数关系式是
(2)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
(1)$y$与$x$的函数关系式是
$y=-2x+160$
；(2)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
答案
(1)$y=-2x+160$
(2)解:设每天获利$w$元,$w=(x-30)·(-2x+160)=-2x^2+220x-4800=-2(x-55)^2+1250$,
$\because -2＜0$,对称轴是直线$x=55$,当$x≤55$时,$w$随$x$的增大而增大.
$\because 30≤x≤54$,$\therefore x=54$时,$w$取最大值,最大值是$-2×(54-55)^2+1250=1248$(元).
答:当销售单价为54元时,每天获利最大,最大利润是1248元.
(2)解:设每天获利$w$元,$w=(x-30)·(-2x+160)=-2x^2+220x-4800=-2(x-55)^2+1250$,
$\because -2＜0$,对称轴是直线$x=55$,当$x≤55$时,$w$随$x$的增大而增大.
$\because 30≤x≤54$,$\therefore x=54$时,$w$取最大值,最大值是$-2×(54-55)^2+1250=1248$(元).
答:当销售单价为54元时,每天获利最大,最大利润是1248元.
4.某工厂生产销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超过4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元。设生产并销售B型车床x台。
(1)当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，则生产并销售B型车床
(2)当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润。
(1)当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，则生产并销售B型车床
10
台。(2)当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润。
答案
(1)①$14-x$ $21-x$ ②10
(2)解:当$0＜x≤4$时,$W=10(14-x)+17x$,整理,得$W=7x+140$.
$\because 7＞0$,$\therefore$当$x=4$时,总利润$W$最大,最大利润为$7×4+140=168$(万元);
当$4＜x≤14$时,$W=10(14-x)+(21-x)x$,整理,得$W=-x^2+11x+140$.
$\because -1＜0$,$\therefore$当$x=-\frac{11}{2×(-1)}=5.5$时,总利润$W$最大.
又由题意知$x$只能取整数,$\therefore$当$x=5$或$x=6$时,总利润$W$最大,$\therefore$当$x=5$时,最大利润为$-5^2+11×5+140=170$(万元).
又$\because 168＜170$,$\therefore$当$x=5$或$x=6$时,总利润$W$最大.
又$\because 14-5=9$(台),$14-6=8$(台),$\therefore$当生产并销售A,B两种车床各为9台、5台或8台、6台时,获得的总利润$W$最大,最大利润为170万元.
(2)解:当$0＜x≤4$时,$W=10(14-x)+17x$,整理,得$W=7x+140$.
$\because 7＞0$,$\therefore$当$x=4$时,总利润$W$最大,最大利润为$7×4+140=168$(万元);
当$4＜x≤14$时,$W=10(14-x)+(21-x)x$,整理,得$W=-x^2+11x+140$.
$\because -1＜0$,$\therefore$当$x=-\frac{11}{2×(-1)}=5.5$时,总利润$W$最大.
又由题意知$x$只能取整数,$\therefore$当$x=5$或$x=6$时,总利润$W$最大,$\therefore$当$x=5$时,最大利润为$-5^2+11×5+140=170$(万元).
又$\because 168＜170$,$\therefore$当$x=5$或$x=6$时,总利润$W$最大.
又$\because 14-5=9$(台),$14-6=8$(台),$\therefore$当生产并销售A,B两种车床各为9台、5台或8台、6台时,获得的总利润$W$最大,最大利润为170万元.
