1. 直线$y=x+1$的向上方向与$x$轴正方向所夹的锐角为 （）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

1. B 解析:设直线$y=x+1$向上方向与$x$轴正方向所夹的锐角是$α$,$\because \tan α=1$,$\therefore α=45°$,故选 B.

【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数$y=kx+b$中系数$k$的几何意义：直线向上方向与$x$轴正方向所夹锐角的正切值等于$k$。解题时第一步先从给定的直线解析式中提取$k$的值，第二步结合特殊角的三角函数值，找到正切值等于$k$的锐角即可得到答案。
【解析】
设直线$y=x+1$向上方向与$x$轴正方向所夹的锐角为$α$。
对于一次函数$y=kx+b$，直线向上方向与$x$轴正方向夹角的正切值等于斜率$k$，即$\tanα=k$。
在直线$y=x+1$中，$k=1$，因此$\tanα=1$。
又因为$α$是锐角，所以$α=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，重点考查一次函数斜率的几何意义和特殊角三角函数值的应用，熟记相关性质和特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 直线$y=2x$与直线$y=3x$的向上方向与$x$轴正方向所成的角分别为$α,β$,则 （）

A.$α＞β$
B.$α=β$
C.$α＜β$
D.都不对

2. C 解析:直线$y=2x$与直线$y=3x$的向上方向与$x$轴正方向所成的角分别为$α,β$,则$\tan α=2$,$\tan β=3$,$\therefore \tan α＜\tan β$,$\therefore α＜β$,故选 C.

【分析】
解题时首先回忆正比例函数y=kx的系数k的几何意义：k等于直线向上方向与x轴正方向所成锐角的正切值，由此可以先得到α、β的正切值。再结合锐角三角函数的性质：在0°~90°范围内，正切值随角度的增大而增大，通过比较两个正切值的大小，即可推出两个角的大小关系。
【解析】
对于正比例函数y=kx（k＞0），其图象向上方向与x轴正方向所成锐角的正切值等于k。
由题可知，直线y=2x对应夹角为α，因此$\tan α=2$；直线y=3x对应夹角为β，因此$\tan β=3$。
因为α、β均为0°~90°之间的锐角，且锐角范围内正切值随角度增大而增大，
又$2＜3$，即$\tan α＜\tan β$，因此$α＜β$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；锐角正切的增减性；一次函数系数的几何意义
【点评】
本题是基础类考题，将函数图象性质与锐角三角函数知识结合考查，解题的核心是掌握正比例函数中系数k与对应倾斜角正切值的对应关系，结合三角函数增减性即可快速判断。
【难度系数】
0.8

3. 如图，直线$y=\sqrt{3}x-3$与坐标轴交于点A，B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，则点C的坐标为（）

A.$(-3\sqrt{3},0)$
B.$(-6,0)$
C.$(-2\sqrt{3},0)$
D.$(-\sqrt{3},0)$
（第3题）

3. A 解析:$\because$ 直线$y=\sqrt{3}x-3$与坐标轴交于点A,B,$\therefore A(\sqrt{3},0)$,$B(0,-3)$,$\therefore AO=\sqrt{3}$,$OB=3$,$\therefore \tan ∠ ABO = \frac{OA}{OB} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.$\because CB⊥ AB$,$CO ⊥ OB$,$\therefore ∠ ACB = 90° - ∠ BAO = ∠ ABO$,$\therefore \tan ∠ ACB=\tan ∠ ABO = \frac{OB}{OC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,即$\frac{3}{OC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,解得$OC=3\sqrt{3}$,$\therefore C(-3\sqrt{3},0)$,故选 A.

【分析】
要确定点C的坐标，已知C在x轴上，故只需求出OC的长度即可。第一步先根据直线解析式求出A、B两点的坐标，得到OA、OB的长度；第二步结合AB⊥BC的条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，推出∠ACB与∠ABO相等；第三步利用等角的正切值相等，建立关于OC的等式求解OC长度，最后根据C在x轴负半轴写出坐标即可。
【解析】
解：对于直线$y=\sqrt{3}x-3$：
令$y=0$，得$\sqrt{3}x-3=0$，解得$x=\sqrt{3}$，故$A(\sqrt{3},0)$，$OA=\sqrt{3}$；
令$x=0$，得$y=-3$，故$B(0,-3)$，$OB=3$。
在$Rt△ AOB$中，$\tan∠ ABO=\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\because CB⊥ AB$，$\therefore ∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ ACB + ∠ BAO=90°$。
又$\because$在$Rt△ AOB$中，$∠ ABO + ∠ BAO=90°$，$\therefore ∠ ACB=∠ ABO$。
$\therefore \tan∠ ACB=\tan∠ ABO=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
在$Rt△ COB$中，$\tan∠ ACB=\frac{OB}{OC}$，代入得$\frac{3}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$OC=3\sqrt{3}$。
$\because$点C在x轴负半轴，$\therefore C(-3\sqrt{3},0)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一次函数与坐标轴交点 2.直角三角形性质 3.锐角三角函数应用
【点评】
本题是一次函数与几何结合的常见题型，解题核心是先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用角度的等量关系结合三角函数计算线段长度，熟练掌握一次函数性质和直角三角形相关知识就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

4. 如图,若点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$,则$∠1=$,$\sin∠1=$.

4. $60°$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 解析:如图,由勾股定理,得$OA=\sqrt{1+3}=2$,$\therefore \sin ∠ 1 = \frac{AB}{OA} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore ∠ 1=60°$.

【分析】
要计算∠1的度数和sin∠1的值，首先过点A向x轴作垂线构造直角三角形，将点A的坐标转化为直角三角形两条直角边的长度；再用勾股定理求出斜边OA的长度；之后根据正弦函数的定义，即锐角的正弦等于对边与斜边的比值，算出sin∠1的值；最后结合特殊角的三角函数值即可得到∠1的度数。
【解析】
过点A作AB⊥x轴于点B，
∵点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，
∴$OB=1$，$AB=\sqrt{3}$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$，
根据正弦的定义可得：
$\sin∠1=\frac{AB}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又
∵$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且∠1为锐角，
∴$∠1=60°$。
【答案】
$60°$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是坐标系中三角函数的基础应用题，核心是通过作垂线构造直角三角形，将点的坐标转化为直角三角形的边长，再结合相关性质求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8

5. ★★★ 如图，已知两点$A(2,0),B(0,4)$，且$∠1=∠2$，则$\tan∠OCA=$。

5. 2 解析:$\because ∠ 1=∠ 2$,$\therefore$ 根据等角的余角相等,可得$∠ BAO=∠ OCA$.$\because A(2,0)$,$B(0,4)$,$\therefore \tan ∠ OCA=\tan ∠ BAO=\frac{4}{2}=2$. 故答案为2.

【分析】
首先观察图形可知x轴与y轴互相垂直，因此△AOB和△AOC均为直角三角形，两个锐角互余。已知∠1=∠2，可根据等角的余角相等推出∠OCA=∠BAO，将求$\tan∠ OCA$转化为求$\tan∠ BAO$；再结合A、B两点的坐标得到Rt△AOB的两条直角边OA、OB的长度，最后根据正切的定义计算即可。
【解析】
∵x轴⊥y轴，
∴$∠ AOB=∠ AOC=90°$，
∴在Rt△AOB中，$∠2 + ∠ BAO = 90°$，
在Rt△AOC中，$∠1 + ∠ OCA = 90°$，
又
∵$∠1=∠2$，
∴$∠ BAO=∠ OCA$（等角的余角相等）。
∵$A(2,0)$，$B(0,4)$，
∴$OA=2$，$OB=4$，
在Rt△AOB中，$\tan∠ BAO=\frac{OB}{OA}=\frac{4}{2}=2$，
∴$\tan∠ OCA=\tan∠ BAO=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 等角的余角相等；2. 正切的定义；3. 坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标系中三角函数计算的典型题，核心解题思路是利用角的等量关系将未知角转化为已知边长的直角三角形中的内角，运用转化思想降低解题难度，需要熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角函数的定义。
【难度系数】
0.7

6. ★★★ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,3)和点B(7,0)，则sin∠ABO的值等于.

6. $\frac{3}{5}$ 解析:如图,过点A作$AC ⊥ x$轴于C,$\because$ 点A(3,3)和点B(7,0),$\therefore OC=3$,$AC=3$,$OB=7$,$\therefore BC=4$. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=5$,$\therefore \sin ∠ ABO = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$.

【分析】
要求$\sin∠ ABO$的值，需结合锐角正弦的定义求解，即直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，因此首先要构造包含$∠ ABO$的直角三角形。我们可以过点A作x轴的垂线，得到$\mathrm{Rt}△ ACB$，再根据点A、B的坐标计算出直角三角形的各边长，最后代入正弦公式即可算出结果。
【解析】
过点A作$AC ⊥ x$轴于点C，

$\because$点A坐标为$(3,3)$，点B坐标为$(7,0)$，
$\therefore OC=3$，$AC=3$，$OB=7$，
$\therefore BC=OB-OC=7-3=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
根据正弦的定义可得：
$\sin∠ ABO=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，坐标的几何意义
【点评】
本题是坐标系中求解三角函数值的基础题型，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将所求角放入直角三角形中，再结合平面直角坐标系中点的坐标的几何意义计算边长，代入三角函数公式求解即可。
【难度系数】
0.7

7. ★★★ 如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4 m，从O，A两处观测P处，仰角分别为α，β，且$\tan α = \frac{1}{2}$，$\tan β = \frac{3}{2}$，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若水面上升1 m，则水面宽为m.

7. $2\sqrt{2}$ 解析:如图,过点P作$PH ⊥ OA$于H,设$PH=3x$ m,在$\mathrm{Rt}△ OHP$中,$\because \tan α = \frac{PH}{OH} = \frac{1}{2}$,$\therefore OH=6x$ m. 在$\mathrm{Rt}△ AHP$中,$\because \tan β = \frac{PH}{AH} = \frac{3}{2}$,$\therefore AH=2x$ m,$\therefore OA=OH+AH=8x$ m.
$\because 8x=4$,$\therefore x=\frac{1}{2}$,$\therefore OH=3$ m,$PH=\frac{3}{2}$ m,$\therefore$ 点P的坐标为$(3,\frac{3}{2})$.若水面上升1 m后到达BC位置,如图,过点$O(0,0)$,$A(4,0)$的抛物线的表达式可设为$y=ax(x-4)$.$\because P(3,\frac{3}{2})$在抛物线$y=ax(x-4)$上,$\therefore 3a(3-4)=\frac{3}{2}$,解得$a=-\frac{1}{2}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x(x-4)$.当$y=1$时,即$-\frac{1}{2}x(x-4)=1$,解得$x_1=2+\sqrt{2}$,$x_2=2-\sqrt{2}$,$\therefore BC=(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}(\mathrm{m})$.

【分析】
解题时先结合仰角条件构造直角三角形求点P的坐标：过P作PH垂直OA于H，利用正切的定义分别表示出OH、AH的长度，结合OA总长为4m求出PH和OH的长度，即可得到P点坐标；再根据抛物线过原点和A(4,0)，设交点式的二次函数解析式，代入P点坐标求出解析式；最后水面上升1m即此时水面对应的y值为1，代入解析式解出对应的两个x值，两值的差就是此时水面的宽度。
【解析】
过点P作$PH ⊥ OA$于H，设$PH=3x$ m，
在$\mathrm{Rt}△ OHP$中，$\because \tan α = \frac{PH}{OH} = \frac{1}{2}$，$\therefore OH=6x$ m，
在$\mathrm{Rt}△ AHP$中，$\because \tan β = \frac{PH}{AH} = \frac{3}{2}$，$\therefore AH=2x$ m，
$\therefore OA=OH+AH=8x$ m，
$\because OA=4\mathrm{m}$，$\therefore 8x=4$，解得$x=\frac{1}{2}$，
$\therefore OH=6×\frac{1}{2}=3$ m，$PH=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ m，即点P的坐标为$(3,\frac{3}{2})$。
已知抛物线过$O(0,0)$、$A(4,0)$，设抛物线的表达式为$y=ax(x-4)$，
将$P(3,\frac{3}{2})$代入表达式得：$3a(3-4)=\frac{3}{2}$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x(x-4)$。
水面上升1 m后，水面对应的纵坐标为$y=1$，代入解析式得：
$-\frac{1}{2}x(x-4)=1$，整理得$x^2-4x+2=0$，解得$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$，
$\therefore$ 此时水面宽为$(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$ m。
【答案】
$2\sqrt{2}$

【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 解直角三角形（仰角）
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题将二次函数与解直角三角形结合考查，需要先通过三角函数定义求得抛物线上关键点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，最后将实际问题转化为解方程问题求解，体现了数形结合思想，注重对知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6

8. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1: y_1 = k_1x + b(k_1 ≠ 0) $ 与直线 $ l_2: y_2 = k_2x + 9(k_2 ≠ 0) $ 相交于点A,直线 $ l_1 $ 过点 $ B(-4,0) $,已知 $ \tan∠ ABO = \frac{1}{2}, AB = 3\sqrt{5} $.
(1)求直线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 的表达式;
(2)将直线 $ l_2 $ 向左平移,使平移后的直线经过坐标原点,且与直线 $ l_1 $ 交于点C,连接AO,求 $ △ AOC $ 的面积.

8. (1)过点A作$AH ⊥ x$轴于H,$\because \tan ∠ ABO = \frac{1}{2}$,$\therefore k_1=\frac{1}{2}$.又$\because$ 点$B(-4,0)$在直线$l_1$上,$\therefore$ 将点$B(-4,0)$代入直线$l_1$的表达式可得$\frac{1}{2}×(-4)+b=0$,解得$b=2$,$\therefore$ 直线$l_1$的表达式为$y_1=\frac{1}{2}x+2$.$\because \tan ∠ ABO = \frac{1}{2}$,$AB=3\sqrt{5}$,$\therefore AH=3$,$BH=6$.又$\because B(-4,0)$,$\therefore OH=2$,$\therefore A(2,3)$,把$A(2,3)$代入直线$l_2$:$y_2=k_2x+9$,可得$3=2k_2+9$,解得$k_2=-3$,$\therefore$ 直线$l_2$的表达式为$y_2=-3x+9$.
(2)$\because$ 直线$l_2$向左平移后的直线经过坐标原点,$\therefore$ 直线$OC$的表达式为$y=-3x$.联立方程组$\begin{cases} y=-3x, \\ y=\frac{1}{2}x+2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=-\frac{4}{7}, \\ y=\frac{12}{7}, \end{cases}$
$\therefore C(-\frac{4}{7},\frac{12}{7})$,$\therefore S_{△ AOC} = S_{△ ABO} - S_{△ CBO} = \frac{1}{2}×4×3 - \frac{1}{2}×4×\frac{12}{7} = \frac{18}{7}$.

【分析】
(1) 求直线$l_1$的表达式：$\tan∠ABO$是直线$l_1$与x轴形成的锐角的正切值，等于直线$l_1$的斜率$k_1$，得到$k_1$后将点$B(-4,0)$代入$l_1$的解析式即可求出b，得到$l_1$的表达式。接下来求点A的坐标：过A作AH垂直x轴于H，由$\tan∠ABO=\frac{1}{2}$可得AH与BH的比值，结合$AB=3\sqrt{5}$，用勾股定理求出AH、BH的长度，再结合点B的坐标得到A点坐标，最后将A点代入$l_2$的解析式求出$k_2$，即可得到$l_2$的表达式。
(2) 直线平移时斜率不变，平移后过原点则常数项为0，可直接写出平移后直线的解析式，联立该解析式与$l_1$的解析式即可求出点C的坐标。计算$△ AOC$的面积时采用割补法，用$△ ABO$的面积减去$△ CBO$的面积，两个三角形同底OB，高分别为A、C的纵坐标，计算更简便。
【解析】
(1) 过点A作$AH ⊥ x$轴于H，$\because \tan ∠ ABO = \frac{1}{2}$，$\therefore k_1=\frac{1}{2}$。
又$\because$ 点$B(-4,0)$在直线$l_1$上，将$B(-4,0)$代入$y_1 = k_1x + b$得：
$\frac{1}{2}×(-4)+b=0$，解得$b=2$，$\therefore$ 直线$l_1$的表达式为$y_1=\frac{1}{2}x+2$。
$\because \tan ∠ ABO = \frac{AH}{BH} = \frac{1}{2}$，设$AH=m$，则$BH=2m$，在$Rt△ABH$中由勾股定理得：
$m^2+(2m)^2=(3\sqrt{5})^2$，解得$m=3$（舍去负解），$\therefore AH=3$，$BH=6$。
$\because B(-4,0)$，$\therefore OH=BH-OB=6-4=2$，即点A的横坐标为2，代入$l_1$解析式得$y=\frac{1}{2}×2+2=3$，$\therefore A(2,3)$。
把$A(2,3)$代入直线$l_2:y_2=k_2x+9$，得$3=2k_2+9$，解得$k_2=-3$，$\therefore$ 直线$l_2$的表达式为$y_2=-3x+9$。
(2) 直线平移时斜率不变，$\because$ 平移后的直线经过坐标原点，$\therefore$ 平移后直线OC的表达式为$y=-3x$。
联立$\begin{cases} y=-3x \\ y=\frac{1}{2}x+2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=-\frac{4}{7} \\ y=\frac{12}{7} \end{cases}$，$\therefore C(-\frac{4}{7},\frac{12}{7})$。
$△ AOC$的面积可通过割补法计算：
$S_{△ AOC} = S_{△ ABO} - S_{△ CBO} = \frac{1}{2}×4×3 - \frac{1}{2}×4×\frac{12}{7} = 6-\frac{24}{7}=\frac{18}{7}$。
【答案】
(1) 直线$l_1$的表达式为$\boldsymbol{y_1=\frac{1}{2}x+2}$，直线$l_2$的表达式为$\boldsymbol{y_2=-3x+9}$；
(2) $△ AOC$的面积为$\boldsymbol{\frac{18}{7}}$。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数平移性质，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的应用，结合三角函数、勾股定理求点坐标，通过割补法简化坐标系内三角形面积的计算，解题时需熟练掌握一次函数的性质，灵活选用面积计算方法降低运算量。
【难度系数】
0.6